Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto

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1 Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva jmauricio@cear.ufpb.br 1

2 Definição de Sistemas Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de Transformação T{.} Sistema no Tempo Contínuo x(t) y(t) Sistema no Tempo Discreto x[n] y[n] 2

3 Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Contínuo 3

4 Sistemas Lineares de Tempo Contínuo Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou seja, satisfaz as propriedades de: Aditividade Homogeneidade. O princípio de superposição é a base para o estudo aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia: Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem, etc. 4

5 Propriedade da Aditividade y1 (t ) T x1 (t ) y (t ) y1 (t ) y2 (t ) T x1 (t ) x2 (t ) y (t ) T x (t ) 2 2 5

6 Propriedade da Homogeneidade y(t ) T x(t ) ay(t ) T ax(t ) 6

7 Determinar se sistema é Linear? 2 y y a 2 b c u (t ) t t Aditividade Homogeneidade 2 y1 y1 a 2 b c x1 (t ) t t 2 y2 y a 2 b 2 c x2 (t ) t t ( y1 y2 ) ( y1 y2 ) b 2c x1 (t ) x2 (t ) t 2 t 2 a 2 y y a 2 b c x(t ) t t 2 ( y ) ( y ) a b c x(t ) 2 t t 2 ( y) ( y) a b c x(t ) t 2 t É um sistema Não Linear 7

8 Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo Um sistema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída y(t ) T{x(t )} 0 0 y(t t0 ) T{x(t t0 )} Deslocamento na entrada Deslocamento na saída 8

9 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo são descritos utilizando equações diferenciais com coeficientes constantes. d k y(t ) M d k x(t ) bk ak k dt dt k k 0 k 0 N Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância no tempo em cada operação. 9

10 Exemplo Sistema Mecânico Equação Diferencial x(t) 2 y y m 2 b ky u (t ) t t y(t) tempo (s) x(t-t0) tempo (s) y(t-t0) tempo (s) tempo (s) É um sistema Invariante no tempo 10

11 Modelagem do Motor de Corrente Continua 11

12 Aspectos Construtivos de um Motor CC 12

13 Aplicações Típicas de Motor CC Máquinas de Papel Bobinadeiras e desbobinadeiras Laminadores Máquinas de Impressão Extrusoras Prensas Elevadores Movimentação e Elevação de Cargas Moinhos de rolos Indústria de Borracha Mesa de testes de motores 13

14 Modelagem do Motor CC A modelagem do motor de corrente contínua envolve duas etapas: Modelagem elétrica; Modelagem mecânica. 14

15 Modelagem Elétrica Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da armadura: Quando a armadura está girando é induzida nesta uma tensão proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular. 15

16 Modelagem Elétrica Em seguida tem-se o circuito equivalente completo do motor com campo separado. 16

17 Modelagem Elétrica Corrente em função da diferença da tensão terminal aplicada e a contraforça eletromotriz de armadura. 17

18 Modelagem Elétrica 18

19 Modelagem Mecânica 19

20 Modelagem Mecânica 20

21 Modelagem Completa Controle da velocidade do motor em função da tensão terminal do motor de corrente contínua. 21

22 Parâmetros para simulação Ra= La= e-3 J= e-3 B= e-3 kw= kt= TL = 0 22

23 Resposta ao Degrau e Impulso Step Response Impulse Response System: sys Time (seconds): 0.33 Amplitude: Amplitude Time (seconds) Time (seconds) Resposta ao impulso finito Sistema de primeira ordem (aproximadamente) 63%*1,8 = 1,13 Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal) 23

24 Resposta em Frequência Bode Diagram 10 Magnitude (db) =-3 db 0 System: sys Frequency (rad/s): Magnitude (db): 4.97 System: sys Frequency (rad/s): 3.07 Magnitude (db): Phase (deg) w Frequency (rad/s)

25 Exemplo - Circuito Elétrico Linear Invariante no Tempo 2 di(t ) 3i(t ) v(t ) dt Não Linear 2 di(t ) 3i 2 (t ) v(t ) dt Não Linear 2 di(t ) 3i(t ) 4 v(t ) dt Variante no Tempo 2 di(t ) 3t i(t ) v(t ) dt 25

26 Características de Sistemas Lineares e Invariantes A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui a base para a análise de sistemas, tais como: A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma ponderada de impulsos, é a base para o método de convolução. A representação de um sinal x(t) como uma combinação linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier. A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada de exponenciais complexas é a base para as transformadas de Fourier e de Laplace. 26

27 Características de Sistemas Lineares e Invariantes Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo podem ser analisados através de equações diferenciais. Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas usando superposição mesmo tendo condições iniciais diferentes de zero. A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem do sistema, a formulação das equações diferenciais e a avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa. 27

28 Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto 28

29 Sistemas Lineares de Tempo Discreto Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e que a equação do sistema envolva apenas operadores lineares. Pode se utilizar a superposição para um sistema com condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear. Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas adicionais. 29

30 Sistemas Lineares de Tempo Discreto Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero (devido apenas à entrada). Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas lineares na presença de condições iniciais distintas de zero. Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero obedecem à superposição. 30

31 Sistemas Invariante de Tempo Discreto Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada x[n] e não do instante de tempo que é aplicada y[n] sin(a.x[n]) n n n Deslocamento na entrada duas unidades de tempo n Deslocamento na saída duas unidades de tempo 31

32 Exemplo 1 Determinar se o sistema é invariante no tempo y[n] sin( x[n]) SOLUÇÃO: Para uma entrada x1[n] a saída do sistema é : y1[n] sin( x1[n]) (1) Considerando-se uma entrada x2 [n] x1 [n n0 ], a saída é : y2 [n] sin( x2 [n]) sin( x1[n n0 ]) (2) Para um deslocamento da saída y1[n] y1[n no ] sin( x1[n no ]) Comparando (2) e (3): y2 [n] y1[n no ] Portanto, o sistema é invariante no tiempo (3) SLIT

33 Exemplo 2 Determinar se o sistema é invariante no tempo y[n] nx[n] SOLUÇÃO: Para uma entrada x1[n] a saída do sistema é : y1[n] nx1[n] (1) Considerando-se uma entrada x2 [n] x1[n n0 ], a saída é : y2 [n] nx2 [n] nx1[n n0 ] (2) Para um deslocamento da saída y1[n] y1[n no ] (n no ) x1[n no ] Comparando-se (2) e (3) : y2 [n] y1[n no ] Portanto, o sistema é variante no tempo (3) SLIT

34 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com equações em diferença que relacionam a entrada e a saída. y[n] 1 1 y[n 1] y[n 2] 4 x[n]

35 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo discreto, deve-se considerar que: Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída trazem como consequência a não linearidade do sistema. Um termo constante também torna não linear o sistema. Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções explícitas de n tornam o sistema variante no tempo. As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar, por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no tempo. 35

36 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos de uma somatória de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo. 36

37 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes x[n]= + 7 [n+2] + 5 [n+1] + 3 [n] + 5 [n 1] +... x[n]= +x[ 2] [n+2] + x[ 1] [n+1] + x[0] [n] + x[1] [n 1] +... x[n] x[k ] [n k ] k 37

38 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a um impulso localizado no instante k [n-k] T{ } T n k hhkk[n]n Sendo o sistema invariante no tempo: hk n T n k h n k 38

39 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos x[n] x n x k n k k T{ } y[n] y n T x k n k k y n x k T n k k y n x k h n k k 39

40 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Somatoria da Convolução y n k k x k h n k h k x n k y n x n h n h[n]* x[n] Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução. 40

41 Exemplo da Convolução de um SLIT y ( n) h(i) x(n i) i 41

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47 Resultado da Convolução y ( n) h(i) x(n i) i O método da convolução permite encontrar a resposta do sistema a uma entrada arbitraria, conhecendo-se previamente a resposta ao impulso h[n]. 47

48 Características de Sistemas Lineares e Invariantes A representação de um sinal x[n] como uma soma ponderada de impulsos deslocados, é a base para o método de convolução discreta. A representação de um sinal x[n] como uma combinação linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a transformada z. 48

49 Causalidade de um Sistema LIT A saída de um sistema causal somente depende dos valores atuais e passados da entrada. Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve depender de x[k], para k>n: y[n] x[k ]h[n k ] k então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0 49

50 Causalidade de um Sistema LIT Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0: y[n] n x[k ]h[n k ] k Ou de forma equivalente: y[n] h[k ]x[n k ] k 0 50

51 Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva jmauricio@cear.ufpb.br 51