Fundamentos de Controle

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Bernardo Rubens do Amaral Caiado
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1 Fundamentos de Controle Modelagem matemática de sistemas de controle Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina, 2017 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

2 Objetivos 1 Modelagem matemática de sistemas de controle Introdução Função de transferência Revisão de transformada de Laplace Diagramas de blocos Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

3 Introdução Para projetar um controlador para um sistema dinâmico é necessário ter um modelo matemático da respota dinâmica do sistema. O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema. A dinâmica de muitos sistemas mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos ou outros pode ser descrita em termos de equações diferenciais. Na obtenção de um modelo matemático deve-se estabelecer um conciliação entre simplicidade e precisão. Neste curso, assume-se que os sistemas estudados respeitam: o princípio da causalidade, ou seja, não depende de instantes futuros de tempo; o princípio da superposição, ou seja, são lineares. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

4 Função de transferência Considere o sistema linear definido pela seguinte equação diferencial a 0 (n) y +a 1 (n 1) y + +a n 1 ẏ + a n y = onde y é a saída do sistema e x é a entrada. b 0 (m) x +b 1 (m 1) x + +b m 1 ẋ + b m x (n m) A função de transferência desse sistema é definida como G(s) = L[saída] L[entrada] condições iniciais nulas = Y(s) X(s) = b 0s m + b 1 s m 1 + +b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n 1 + +a n 1 s + a n Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

5 Revisão de transformada de Laplace: definição A transformada de Laplace é um método que pode ser usado para resolver equações diferenciais lineares. O método da transformada de Laplace permite converter equações diferenciais em equações algébricas. Seja f(t) uma função do tempo t tal que f(t) = 0 para t < 0. Então, a transformada de Laplace de f(t) é definida por L(f(t)) = F(s) = onde s é uma variável complexa. 0 f(t) e st dt Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

6 Revisão de transformada de Laplace: tabela f(t) F(s) δ(t) (impulso unitário) 1 u(t) (degrau unitário) 1 s t n, n = 1, 2, 3,... n! s n+1 1 e at s + a 1 t e at (s + a) 2 t n e at, n = 1, 2, 3,... sen ωt cos ωt n! (s + a) n+1 ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

7 Revisão de transformada de Laplace: propriedades L[Af(t)] = AF(s) L[f 1(t) ± f 2(t)] = F 1(s) ± F 2(s) [ ] d L dt f(t) = sf(s) f(0) [ ] d 2 L dt f(t) = s 2 F(s) sf(0) ḟ(0) 2 [ ] d n L dt f(t) = s n F(s) s n 1 f(0) s n 2 ḟ(0) sḟ n 2 (0) ḟ n 1 (0) n L[e at f(t)] = F(s + a) L[f(t α)1(t α)] = e αs F(s), α > 0 L[tf(t)] = df(s) ds L[t n f(t)] = ( 1) n dn ds n F(s) Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

8 Revisão de transformada inversa de Laplace O processo reverso de obter um função f(t) a partir da transformada de Laplace F(s) é denotada transformada inversa de Laplace. A transformada inversa de Laplace de F(s) pode ser obtida como L 1 (F(s)) = f(t) = 1 2πj c+jω c jω F(s) e st ds, para t > 0 onde c, a abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida maior que as partes reais de todos os pontos singulares de F(s). O uso da integral da transformada inversa de Laplace é complicado. Um método conveniente para obter a transformada inversa é usar a tabela de transformada de Laplace. Se F(s) não está disponível na tabela, então o método da expansão em frações parciais pode ser utilizado. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

9 Revisão de transformada de Laplace: aplicações Exercício 1 Usando o método das frações parciais, determine a transformada inversa de Laplace de s + 3 F(s) = (s + 1)(s + 2) Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

10 Revisão de transformada de Laplace: aplicações Exercício 2 Usando o método das frações parciais, determine a transformada inversa de Laplace de F(s) = s2 + 2s + 3 (s + 1) 3 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

11 Diagrama de blocos Um sistema de controle pode ter vários componentes. As funções desempenhada por cada componente e o fluxo de sinais entre eles podem ser representada graficamente pelo diagrama de blocos. Todo sistema de controle linear pode ser representado por diagramas de blocos formado pelos seguintes elementos: blocos: somador: X(s) Função de transferência G(s) Y(s) A + A B ponto de ramificação: B Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

12 Diagrama de blocos Um exemplo de diagrama de blocos de um sistema de malha fechada é E(s) R(s) + B(s) G(s) C(s) H(s) A partir desse diagrama são definidas as seguintes relações: Função de transferência de malha aberta = B(s) E(s) = G(s)H(s) Função de transferência de ramo direto = C(s) E(s) = G(s) Função de transferência de malha fechada = C(s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

13 Diagrama de blocos Considere um sistema de malha fechada submetido a um distúrbio D(s) R(s) + G + G 1 (s) 2 (s) C(s) H(s) Fazendo R(s) = 0, tem-se a resposta C D (s) devido ao distúrbio C D (s) D(s) = G 2 (s) 1+G 1 (s)g 2 (s)h(s) Fazendo D(s) = 0, tem-se resposta C R (s) devido a entrada de referência C R (s) R(s) = G 1 (s)g 2 (s) 1+G 1 (s)g 2 (s)h(s) A resposta C(s) devido a aplicação simultânea de R(s) e D(s) é dada por C(s) = C D (s)+c R (s) = G 2 (s) 1+G 1 (s)g 2 (s)h(s) [G 1(s)R(s)+D(s)] Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

14 Procedimentos para construir um diagrama de blocos Os passos para construir um diagrama de blocos de um sistema são: obter as equações de cada componente; obter a transformada de Laplace dessas equações, assumindo condições iniciais nulas; representar em forma de bloco a transforma de Laplace de cada equação; agrupar os elementos em um diagrama de blocos completo. Exercíco 3 Construa o diagrama de blocos do circuito RC mostrado na figura. R i e i C eo Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

15 Redução do diagrama de blocos Exemplos de álgebra em diagramas de blocos: U 1 G 1 Y 1 U 1 G 1 Y 1 1 G 1 Y 2 Y 2 U 1 + Y1 U 1 G 1 + Y 1 G1 U 2 U 2 G 1 R + U 1 G 1 Y 1 Y R 1 U 1 G 2 + G 2 G 1 Y Y 2 G 2 U 2 Essas equivalências podem ser utilizadas para simplificar um diagrama de blocos. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

16 Redução do diagrama de blocos Exercício 4 Encontre a função de transferência do diagrama de blocos mostrado na figura. 2 R + 4 s + 1 s Y Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

17 Redução do diagrama de blocos Exercício 5 Encontre a função de transferência do diagrama de blocos mostrado na figura. G 6 R G 1 G 2 G Y G 3 G 4 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 17

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