Análise de sistemas no domínio da frequência

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1 Análise de sistemas no domínio da frequência Quando se analisa um sistema no domínio da frequência, pretende-se essencialmente conhecer o seu comportamento no que respeita a responder a sinais periódicos, que têm uma frequência associada. x(t) y(t) Sistema??????????????????? É de prever que se faça uma análise dos sistemas recorrendo a entradas cuja expressão analítica seja um seno ou um coseno: xt () = sin( ω t + θ) ou xt () = cos( ω t+ θ)

2 No entanto, esta escolha implicaria um aumento na complexidade analítica. + + () = ()( τ τ) τ yt () = cos ωτ + θ ht ( τ) dτ yt x ht d Note-se desde já que há uma relação muito próxima entre as funções periódicas que são mais comuns (senos e cosenos) e as exponenciais complexas: j e jsin θ = cos θ + θ cos 1 j θ jθ θ = e + e 2 sin 1 jθ jθ θ = e e 2 j A utilização de exponenciais simplifica o tratamento matemático dos sistemas quando têm na sua entrada sinais periódicos. Apesar de serem inicialmente menos intuitivas que funções como senos e cosenos, a sua utilização revela-se vantajosa.

3 1 xt () = sint = e e 2 j jt jt y(t) Sistema??????????????????? 1 xt () = cos t = e + e 2 jt jt y(t) Sistema??????????????????? Dado que sinais sinusoidais podem ser descritos por exponenciais complexas, o que implica que as exponenciais complexas são sinais mais básicos que os sinusoidais, interessa estudar o caso seguinte: y(t) jt x() t = e Sistema???????????????????

4 Resposta de um sistema LIC a uma exponencial complexa Vejamos então o que sucede quando se injecta um sinal exponencial complexo num sistema LIC: y(t) x ( t) = e st onde s é complexo Sistema???????????????? A resposta de um sistema a um sinal de entrada é dada por: y t = x t h t y t = x τ h t τ dτ y t = h τ x t τ dτ Comutatividade da convolução

5 Resposta de um sistema LIC a uma exponencial complexa y t = h τ x t τ dτ st ( τ) y t = h τ e dτ y t h e e d st sτ = τ τ x ( t) = e st sτ = τ τ st y t e h e d sτ = τ τ st y t e h e d = y t H s e H s st = e st x t onde s é complexo Sistema = y t H s e st

6 Resposta de um sistema LIC a uma exponencial complexa Então, quando num sistema LIC se injecta uma exponencial complexa o resultado é a mesma exponencial complexa pesada por um valor que depende da entrada. = st x t e Sistema y( t) = H s e st A exponencial injectada faz parte da saída Mas com uma amplitude diferente da entrada. A função e st tem como resposta num sistema LIC uma função igual e st apenas com um peso diferente (dependente do valor s). Por esse facto, a função e st designa-se de função própria do sistema. O valor H(s) designa-se valor próprio do sistema.

7 Resposta de um sistema LIC a uma soma de exponenciais complexas Pelo resultado anterior e pela linearidade dos sistemas LIC: st 1 x ( t) = ae Sistema 1 1 y t ah s e = st 2 x ( t) = a e Sistema 2 2 y t a H s e st = st 3 x ( t) = a e Sistema 3 3 y t a H s e st = Se considerarmos um sinal de entrada que seja a soma pesada de diversas exponenciais complexas: st 1 st 2 3 x t = x t + x t + x t = ae + a e + a e Pela linearidade do sistema: st 1 st 2 3 y t = y t + y t + y t = ah s e + a H s e + a H s e st st st

8 Resposta de um sistema LIC a uma soma de exponenciais complexas st 1 st 2 3 x t = x t + x t + x t = ae + a e + a e st Sistema st 1 st 2 3 y t = y t + y t + y t = ah s e + a H s e + a H s e Generalizando para uma qualquer combinação linear de exponenciais discretas: st x ( t) = a e Sistema ( ) y t = a H s e onde st = sτ τ τ H s h e d Note-se que se se conseguir representar um sinal como sendo a soma de exponenciais complexas, a resposta do sistema é imediatamente composta pelas mesmas exponenciais complexas com um peso H(s ). st

9 Série de Fourier Verifica-se então que é importante estudar sinais que possam ser interpretados como combinações de exponenciais complexas. Considere-se a exponencial complexa periódica: x t jω0t = e Existe um conjunto de exponenciais complexas relacionadas harmonicamente com esta, ou seja, com frequência múltipla de ω 0 : jω t φ = = ± ± ± t e 0 0, 1, 2, 3,... Cada uma destas exponenciais é periódica de período, apesar do seu período fundamental ser uma fracção inteira de. Assim, uma combinação linear destas exponenciais gerará também um sinal periódico de período : jω0t = = x t = a φ t = a e A representação de um sinal pela expressão anterior designa-se por representação em série de Fourier.

10 Série de Fourier Somando algumas exponenciais complexas de frequência angular múltipla de uma fundamental: 1 j2πt 1 -j2πt 3 j4πt 3 -j4πt j6πt -j6πt 5 j8πt 5 -j8πt x( t ) = e + e + e + e +6e +6e + e + e ( j2 π t -j2 π t ) ( j4 π t -j4 π t π π π π ) ( j6 t -j6 t ) ( j8 t -j8 t ) = e +e +3 e +e +12 e +e +5 e +e j Regra de Euler ( θ jθ cos θ = e + e ) 1 2 x( t ) = cos ( 2πt ) +3cos ( 4πt ) +12cos ( 6πt ) +5cos ( 8πt) e obtemos um sinal que é a soma de sinusóides de frequências angulares múltiplas.

11 Mesmo que estas sinusóides tenham fase inicial não nula: x ( t ) =cos ( 2πt ) +3cos ( 4πt+10 ) +12cos ( 6πt-20 ) +5cos ( 8πt+50) odas as frequências neste sinal são múltiplas de π, pelo que essa será a frequência fundamental, sendo o período 2: π π π ω= 2 = 2 = 2 = 2 ω π =2

12 Exemplos de aplicações que sintetizam sinais periódicos a partir de sinais elementares (sinusóides = soma de exponenciais complexas) Note-se: - o efeito de acrescentar mais componentes complexas na construção do sinal; - o facto de os coeficientes espectrais serem conjugados; - o efeito da variação das amplitudes e das fases dos coeficientes espectrais; - o facto de os coeficientes serem conjugados conduzir a que a série de Fourier possa ser interpretada como uma soma de sinusóides, pelo que poderemos pensar apenas em coeficientes de índice positivo; - o significado do coeficiente a 0 ;

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16 Série de Fourier x t jω0t = a e = É de notar que exprimir um sinal periódico na sua série de Fourier não é mais do que interpretá-lo como sendo uma soma de exponenciais complexas, cada uma delas com um peso a, que se designa por coeficiente de Fourier ou coeficiente espectral. Há ainda a ter em conta que se o sinal em questão é real, as exponenciais complexas hão-de ter coeficientes a que convertam as suas somas em sinais reais. Do conhecimento prévio que temos, esses sinais serão senos ou cosenos, pois cos sin j j ( θ jθ θ = e + e ) jθ jθ ( θ ) = ( e e )

17 Série de Fourier x t jω0t = a e = Para se conhecer na integra a representação de um sinal em série de Fourier, há apenas que determinar duas coisas: - a primeira é a frequência fundamental ω 0 do sinal: x t jω0t = a e = - a segunda são os coeficientes a que pesam cada exponencial complexa da soma: x t jω0t = a e =

18 ω 0 Série de Fourier x t jω0t = a e = O valor de retira-se imediatamente por inspecção, quer o sinal seja dado na sua forma analítica quer seja dado de forma gráfica. Por exemplo, o sinal x () t =cos ( 2πt ) +3cos ( 4πt+10 ) +12cos ( 6πt-20 ) +5cos ( 9πt+50) tem como frequência fundamental π. O sinal: tem uma frequência angular dada por 2π ω = ω = 2π

19 Série de Fourier x t jω0t = a e = Já a determinação dos coeficientes espectrais a passa por um processo não tão simples. Note-se que por cada exponencial complexa que estamos a considerar, de frequência múltipla da frequência fundamental, teremos um coeficiente espectral a associado. Considere-se o exemplo do coseno: cos ( t ) A frequência fundamental retira-se de imediato: ω =ω 0 ω 0

20 Série de Fourier Para determinar os coeficientes espectrais será necessário interpretar o coseno como uma soma de exponenciais complexas: De onde se retira que: cos 1 j ( ω 0t jω0t ω 0t = e + e ) 2 jω ( 0t jω0t jω0t jω0t j1 ω j 1 0t ) ( e e ) e e ae 1 a 1e = = a 1 = ; a1 = 2 2 Quando o número de exponenciais complexas que constituem o sinal é reduzido, é possível enumerar estes coeficientes espectrais. No entanto, para sinais menos simples o número de coeficientes a pode ser infinito. orna-se necessário determinar uma expressão para os coeficientes a em vez de os enumerar. ω t

21 Nos exemplos anteriores vimos como sintetizar sinais periódicos a partir de sinais elementares (sinusóides ou exponenciais complexas). A seguir analisamos como determinar os coeficientes espectrais a partir de um dado sinal.

22 Expressão para os coeficientes espectrais a Um sinal periódico pode ser representado na forma: x t jω0t = a e = Recorre-se agora a um artifício matemático cuja aplicação ficará jn mais clara posteriormente multiplicar ambos os membros por e jnω0t = jω0t jnω0t = x t e a e e Integrando ambos os membros da expressão ao longo de um período (de 0 até por exemplo): jnω0t ( ) ω = j n 0t x t e dt a e dt 0 0 = rocando a ordem do somatório e do integral: jnω0t j( n) ω0t x ( t ) e dt = a e dt 0 = 0 ω 0 t

23 Expressão para os coeficientes espectrais a Os coeficientes a integração: jnω0t j( n) ω0t x ( t ) e dt = a e dt 0 = 0 são constantes pelo que podem sair da jnω0t j( n) ω0t x ( t ) e dt = a e dt 0 = 0 A exponencial complexa dentro do integral do 2º membro pode ser convertida, usando as relações de Euler, para: jnω0t cos 0 = 0 ( 0 ) sin( 0 ) x t e dt = a n ω t + j n ω t dt É importante analisar a função integranda obtida na busca de simplificação.

24 Expressão para os coeficientes espectrais a jnω0t cos 0 = 0 ( 0 ) sin( 0 ) x t e dt = a n ω t + j n ω t dt cos ( ) sin n ω t + j n ω t 0 0 Para n, quer a função cos quer a função sin são funções periódicas de frequência (-n)ω 0. O período delas será portanto: 2π 2π 2π ω= ' = = = ' ω n ω n ou seja, no intervalo de 0 até cabe um número inteiro de períodos das funções cos e sin. 0

25 Expressão para os coeficientes espectrais a jnω0t cos 0 = 0 (( ) ω 0 ) sin n t ( 0 ) sin( 0 ) x t e dt = a n ω t + j n ω t dt = ( n) ' (( ) ω 0 ) cos n t Ao integrarmos um seno ou um coseno um número inteiro de períodos, o resultado é nulo. A área positiva por baixo dos sinais iguala a área negativa, pelo que o cálculo do integral resulta em zero.

26 Expressão para os coeficientes espectrais a Conclui-se então que para n, o integral do 2º membro anula-se jnω0t 0 = 0 jnω0t 0 x t e dt = 0 o que não permite obter um expressão para os coeficientes a. Para =n, a expressão converte-se em: cos jnω0t cos 0 = 0 jnω0t cos ( 0 ) sin( 0 ) x t e dt = a n n ω t + j n n ω t dt n 0 0 ( 0 ) sin( 0 ) x t e dt = a n ω t + j n ω t dt ( 0 ) sin( 0 ) x t e dt = a n ω t + j n ω t dt odas as parcelas do somatório são nulas excepto aquela para a qual =n. jnω0t cos ( 0) sin( 0) x t e dt = a + j dt n 0 0

27 Determinação da representação de um sinal periódico em série s de Fourier jnω0t cos ( 0) sin( 0) x t e dt = a + j dt n 0 0 jnω0t x( t) e dt an 1dt 0 0 jnω0t x( t) e dt an 0 = = 1 jnω0t an = x t e dt 0 Dado que o sinal x(t) é periódico de período e que para a exponencial complexa da função integranda o período é um múltiplo inteiro do seu período, a integração não necessita ser feita especificamente no intervalo de 0 a, mas poderá ser feita em qualquer intervalo de duração. 1 jω0t a = x t e dt

28 Série de Fourier: equação de síntese s e equação de análise Então se x(t) é um sinal periódico, ele terá uma representação em série de Fourier na forma: x t jω0t = a e = onde os coeficientes da série são dados por: 1 jω0t a = x t e dt A primeira equação é designada por equação de síntese. A segunda equação é designada por equação de análise. Os coeficientes a são designados por coeficientes espectrais.

29 Exemplos da determinação da representação em série s de Fourier Para os dois sinais seguintes, determine a representação em série de Fourier. Exemplo 1: 1 2 xt t t t 2 3 () = 1+ cos( 2π ) + cos( 4π ) + cos( 5π ) xt Exemplo 2: 2π π 2 e t π 2π 3π

30 Consideremos agora que se pretende determinar a série de Fourier do sinal: x1 ( t) 2π π π 2π 3π Note-se que este sinal se relaciona de alguma forma com o sinal seguinte: xt 2π π 2 e t π 2π 3π O sinal x 1 (t) pode ser obtido a partir de x(t) através de transformações na variável independente (translação temporal, escalonamento temporal, multiplicação por um factor constante). Será então necessário aplicar de novo a equação de análise a x 1 (t) para determinar a sua série de Fourier ou será possível obtê-la a partir da série de Fourier de x(t) já calculada?

31 Propriedades da série s de Fourier Os aspectos fundamentais da série de Fourier são o seu período fundamental (ou frequência fundamental ω 0 ) e os seus coeficientes espectrais a. As propriedades a estudar enunciam o que sucede à representação em série de Fourier quando se altera o sinal original. As propriedades que vamos estudar são: - linearidade; - deslocamento temporal; - inversão temporal; - escalonamento temporal;

32 Simplificação da notação em Série S de Fourier É útil introduzir a seguinte notação: sendo x(t) um sinal periódico cuja representação em série de Fourier é dada por: x t jω0t = a e = a mesma informação será dada indicando apenas: SF, ω 0 x t a

33 Propriedades da Série S de Fourier Linearidade Sendo x(t) e r(t) sinais periódicos com o mesmo período: SF, ω 0 x t a SF, ω 0 r t b A combinação linear destes dois sinais resultará em: SF zt () = Ax( t) + Brt () c = Aa + Bb, ω 0 A frequência fundamental do sinal resultante da soma é a mesma, e os coeficientes espectrais são dados pela soma pesada dos coeficientes de cada sinal.

34 Propriedades da Série S de Fourier Demonstração da propriedade da linearidade da série de Fourier. SF zt () = Ax( t) + Brt () c = Aa + Bb, ω 0 1 jω0t = c z t e dt Os coeficientes espectrais do sinal z(t) serão dados pela equação de análise: 1 jω0t = + c Ax t Br t e dt c ω ω = A 1 j 0t 1 j 0t + x t e dt B r t e dt a c = Aa + Bb A soma de dois sinais com o mesmo período resulta naturalmente num sinal do mesmo período e frequência, neste caso. ω 0 b z() t = Ax t + Br() t

35 Para demonstrar na prática esta propriedade, comecemos por considerar os coeficientes espectrais de dois sinais: Se multiplicarmos os coeficientes de cada um destes sinais por um dado factor, naturalmente obteremos novos sinais. Vamos assumir que multiplicamos os coeficientes do primeiro sinal por ½ e os coeficientes do segundo por 3.

36 Os coeficientes que se obtêm são ilustrados a seguir, tais como os novos sinais. A intenção agora será ilustrar o que acontece se somarmos estes novos coeficientes de um e de outro sinal.

37 O sinal obtido por soma dos coeficientes pesados de cada sinal é o ilustrado a seguir: O próximo slide sumaria os passos dados na demonstração da propriedade da linearidade da série de Fourier.

38 SF, ω 0 x t a SF, ω 0 r t b SF, ω 0 Ax t Aa SF, ω 0 Br t Bb SF zt () = Ax( t) + Brt () c = Aa + Bb, ω 0

39 Propriedades da Série S de Fourier Deslocamento temporal Se tivermos um sinal x(t) periódico representável em série de Fourier: SF, ω 0 x t a Um sinal z(t) que se relaciona com x(t) através de z() t = x t t 0 terá uma representação em série de Fourier: SF jω00 t =, ω0 z t c e a

40 Propriedades da Série S de Fourier Demonstração da propriedade do deslocamento temporal da série de Fourier. Dado que queremos determinar a representação em série de Fourier de um sinal z(t) teremos de recorrer à equação de análise para determinar os seus coeficientes espectrais: 1 jω0t = c z t e dt 1 jω0t = ( 0 ) c x t t e dt Realizando uma mudança de variável: 1 jω0 τ+ t0 τ= t t 0 c = x τ e dτ 1 c e x e d j ω 00 t = τ j ω 0 τ τ z() t = x t t 0

41 Propriedades da Série S de Fourier 1 c e x e d j ω 00 t = τ j ω 0 τ τ a ω00 = j t c e a Quando um sinal x(t) sofre um deslocamento, o período desse sinal é preservado, pelo que ω 0 será ainda a frequência do novo sinal obtido. Demonstrou-se então que: SF jω00 t =, ω0 z t c e a

42 Para demonstrar na prática esta propriedade, comecemos por considerar os coeficientes espectrais do seguinte sinal: Este sinal tem quatro componentes espectrais não nulas cada uma delas com uma fase nula.

43 Verifiquemos o que acontece caso se introduza um desfasamento para cada componente de valor t. Neste caso fez-se ω t = π ω x() t z() t = x t t 0 SF jω00 t =, ω0 z t c e a z() t Devido aos desfasamentos provocados em cada componente, o sinal total sofreu um deslocamento temporal.

44 Propriedades da Série S de Fourier Inversão temporal Se tivermos um sinal x(t) periódico representável em série de Fourier: SF x( t) a, ω 0 Um sinal z(t) que se relaciona com x(t) através de z() t = x t terá uma representação em série de Fourier: SF z t c = a, ω 0 ou seja, há uma inversão na ordem dos coeficientes espectrais.

45 Propriedades da Série S de Fourier Demonstração da propriedade da inversão temporal da série de Fourier. Dado que queremos determinar a representação em série de Fourier de um sinal z(t) teremos de recorrer à equação de análise para determinar os seus coeficientes espectrais: 1 jω0t = c z t e dt 1 jω0t = ( ) c x t e dt Realizando uma mudança de variável: 1 jω0 τ τ= t c = x τ e dτ 1 j( ) ω0τ c = x τ e dτ z() t = x t

46 Propriedades da Série S de Fourier 1 j( ) ω0τ c = x τ e dτ c = a 1 jω0t a = x t e dt Numa inversão temporal o período mantém-se inalterado, pelo que a frequência do sinal invertido será ainda ω 0. Conclui-se então que para: SF z() t = x t Se obtém uma representação em série de Fourier a partir dos coeficientes espectrais de x(t) na forma: z t c = a, ω 0

47 O sinal a seguir ilustrado representa uma vogal no domínio do tempo e da frequência. No sinal seguinte, trocámos os coeficientes de ordem positiva pelos de ordem negativa. O sinal original é ilustrado a azul.

48 Propriedades da Série S de Fourier Escalonamento temporal Se tivermos um sinal x(t) periódico representável em série de Fourier: SF, ω 0 x t a Um sinal z(t) que se relaciona com x(t) através de z() t = x αt onde α éreal terá uma representação em série de Fourier: SF =, α ω 0 z t c a

49 Propriedades da Série S de Fourier Demonstração da propriedade do escalonamento temporal da série de Fourier. A operação de escalonamento temporal altera o período de um sinal. Se x(t) é um sinal periódico de período e frequência fundamental: ω = 0 2 Então o sinal x(αt) terá período =/α e a frequência passará a ser dada por: 2π 2π 2π ω ' = = = α = αω ' α 0 0 Os coeficientes da série de Fourier mantêm-se inalterados pois os pesos das componentes harmónicas são os mesmos, pelo que: SF =, α ω 0 π z t c a

50 cos t + 3cos 2t = e + e + e + e = e + e + e + e jt jt j2t j2t jt jt j2t j2t 2cos ( t ) = ( e jt jt + e ) 3 ( j2t j2t 3cos 2t = e + e ) 2

51 cos 2t + 3cos 4t = e + e + e + e = e + e + e + e j2t j2t j4t j4t j2t j2t j4t j4t 2cos 2 ( t ) = ( e j2t j2t + e ) 3 ( j4t j4t 3cos 4t = e + e ) 2

52 Propriedades da Série S de Fourier Sinal original 3 3 e e e e 2 2 jt jt j2t j2t a 1 a -1 a 2 a -2 Escalonamento temporal por um factor de 2. Sinal escalonado 3 3 e e e e 2 2 j2t j2t j4t j4t a 1 a -1 a 2 a -2 Após o escalonamento temporal, os coeficientes a mantêm-se inalterados. Apenas a frequência fundamental se modificou para metade.

53 ransformada de Fourier Foi visto como é possível determinar uma representação espectral de sinais periódicos. É interessante notar que também sinais não periódicos podem ser representados como somas de exponenciais complexas, ou de outra forma, como somas de sinusóides. Neste caso, no entanto, não existe uma relação harmónica entre essas exponenciais. Não havendo uma relação harmónica (as exponenciais complexas periódicas deixam de ter períodos múltiplos de um fundamental), deixa de fazer sentido a série de Fourier. Passa então a falar-se de ransformada de Fourier. A dedução da expressão da ransformada de Fourier pode no entanto ser obtida a partir da série de Fourier.

54 O gráfico seguinte ilustra o que acontece quando se somam sinusóides de frequências que não se relacionam harmonicamente (não são múltiplas inteiras de uma fundamental): Sinal aperiódico f(t)=cos(t+12)+1.2cos(7.1t+3)+2cos(3.6t+5)+3cos(9.3t+8) É possível demonstrar que sinais aperiódicos podem ser representados como somas de sinusóides sem relação harmónica.

55 ransformada de Fourier Um sinal aperiódico de duração finita pode ser visto como um sinal periódico cujo período foi tornado infinito. x ( t ) ~ x t t ~ Há um período de x t ao longo do qual este sinal é igual ao sinal ~ À medida que aumenta, x ( t ) torna-se idêntico a x ( t ) num intervalo maior. t x ( t )

56 x( t) ransformada de Fourier ~ x t t Pretende-se obter uma expressão de x t que facilmente permita determinar uma expressão para x t, fazendo. ~ Dado que o sinal x ( t ) é periódico, ele verifica as equações de síntese e de análise de Fourier, ou seja: ~ x t jω0t = a e = ~ 1 jω0t a = x t e dt ~ t ~ x ( t ) Dada a relação entre os sinais e x t a segunda equação pode ser escrita como: 1 jω0t a = x t e dt

57 x( t) ransformada de Fourier ~ x t t 1 jω0t = 1 jω0t a x t e dt a = x t e dt Definindo, para simplificação da notação: Obtém-se: jωt X x t e dt ω = a 1 = X ω 0 t

58 x( t) ransformada de Fourier ~ x t a Substituindo este resultado em t 1 = X ω 0 ~ x t jω0t = a e = t Ou de forma equivalente: ~ 1 jω0t 0 = = ( ω ) x t X e ~ ω x t = X ω e ~ jω0t 0 = 2π 1 jω0t 0 0 2π = 0 x t = X ω e ω ω = 0 2π

59 x( t) ransformada de Fourier ~ x t ~ 1 0 x t X e π jω t = ω0 ω0 2 = ~ x ( t ) À medida que o período, aproxima o sinal x t e consequentemente, no limite, a equação anterior torna-se uma ~ representação não só de como também de x t. x ( t ) x ( t ) t ~ x t = x ( t ) t t

60 ransformada de Fourier ~ 1 x t X e ω = j 0t ω0 ω0 2π = À medida que o período, aproxima o sinal e consequentemente, no limite, a equação anterior torna-se uma ~ representação não só de como também de x t. ~ x t x ( t ) Como o período foi tornado infinito, os elementos da expressão anterior sofrem várias alterações: Pelo que x(t) será dado por: ω0 dω ω = 0 ω 1 ω = ω ω 2π j t x t X e d x t

61 Conclui-se então que: ransformada de Fourier 1 ω = ω ω π j t 2 x t X e d Esta expressão mostra como um sinal não periódico pode ser representado como uma soma de exponenciais complexas. A expressão X(ω) surgiu de uma atribuição feita durante a dedução da transformada de Fourier e é dada por: jωt X x t e dt ω = A primeira expressão recebe a designação de ranformada Inversa de Fourier. A segunda expressão recebe a designação de ranformada (Directa) de Fourier.

62 Série e ransformada de Fourier Série de Fourier ransformada de Fourier Sinal x(t) periódico x t jω0t = a e = Soma de exponenciais de relação harmónica: e j ω 0 t Cada exponencial complexa tem um peso: a O espectro, peso de cada frequência que constitui o sinal, é dado por: 1 jω0t a = x t e dt Sinal x(t) aperiódico 1 ω = ω ω π j t 2 x t X e d Soma de exponenciais sem relação harmónica: jωt e Cada exponencial complexa tem um peso: 1 ( ω) ω 2π X d O espectro, peso de cada frequência que constitui o sinal, é dado por: jωt X ( ω ) = x( t) e dt

63 É possível verificar os conceitos de transformada de Fourier para sinais aperiódicos (e também periódicos como é aproximadamente um assobio) recorrendo a software de determinação do espectro de sinais adquiridos pela placa de som de um PC.

64 Conceitos comuns de áudio como é o da equalização estão intimamente relacionados com esta teoria.

65 ransformada de Fourier de sinais periódicos A transformada de Fourier não é exclusivamente determinável para sinais aperiódicos. A transformada de Fourier de um sinal periódico é também determinável, e pode ser extraída da sua representação em série de Fourier. A transformada resultante consiste num pente de impulsos no domínio da frequência, localizados nas frequências harmónicas da fundamental, impulsos esses com uma área proporcional aos respectivos impulsos espectrais. X(ω) jω0t ae = Sinal periódico no tempo F ω ransformada de um sinal periódico

66 ransformada de Fourier de sinais periódicos Verifiquemos então que cada impulso no domínio da frequência é obtido por transformação de uma exponencial complexa no domínio do tempo. Vamos demonstrá-lo recorrendo à transformada inversa de Fourier. Sendo então, X(ω) um impulso localizado na frequência em ω 0, a sua representação será: X ω =δ ω ω 0 O sinal que no domínio do tempo gera este impulso é determinado por: 1 ω = ω ω π j t 2 1 jωt x t X e d x t = δ ω ω ω π 0 e d 2 1 ω = δ( ω ω ) ω π j 0t x t 0 e d 2 X ( ω) ω 0 ω

67 ransformada de Fourier de sinais periódicos 1 ω = δ ω ω ω π j 0t 0 2 x t e d 1 jω0t x( t) = e δ( ω ω ) ω π 0 d 2 x t 1 2 jω0t = e π O que significa que: ou de outra forma: 1 2π e jω0t F δ ω ω 0 jω0t como queríamos demonstrar. e F 2πδ ω ω 0

68 ransformada de Fourier de sinais periódicos e jω0t F 2πδ ω ω Esta expressão indica que uma exponencial complexa (no tempo) com uma determinada frequência, tem como transformada de Fourier um impulso (na frequência) localizado nessa mesma frequência. Então se considerarmos a série de Fourier de um sinal periódico, que não é mais do que interpretar o sinal como a soma de exponenciais complexas cada uma com uma dada frequência harmónica, a sua transformada será: jω0t ae = F A transformada de Fourier de um sinal periódico é um pente de impulsos localizados nas frequências harmónicas, cada um deles com um peso igual ao produto do respectivo coeficiente espectral por 2π. 0 a 2 πδ ω 0 = ( ω )

69 ransformada de Fourier de sinais periódicos Se tivermos um sinal periódico cujos coeficientes espectrais sejam os ilustrados a seguir. a Determina-se imediatamente a transformada de Fourier como sendo: X(ω) 2π -5ω 0 -ω 0 ω 0 5ω 0 ω

70 Propriedades da transformada de Fourier Considere-se calculada a transformada de Fourier do seguinte sinal: x ( t ) Obtida através da expressão: jωt X x t e dt ω = Se pretendermos determinar as transformadas dos sinais seguintes, será necessário aplicar de novo esta expressão? x 1 ( t) x 2 ( t) t É nestas situações que se torna útil considerar as propriedades da transformada de Fourier. t t

71 Propriedades da transformada de Fourier Linearidade: Se: F ( ω) x t X 1 1 F ( ω) x t X 2 2 Então: F + ( ω ) + ( ω) Ax t Bx t AX BX

72 Propriedades da transformada de Fourier Escalonamento temporal: Se: Então: F X ( ω) x t x at F 1 ω X a a A compressão temporal de um sinal resulta numa expansão espectral e a expansão temporal resulta numa compressão espectral. Este resultado é intuitivo pois se um sinal é comprimido no tempo, as frequências que o constituem tornam-se maiores. Assim, o seu espectro alarga-se de forma a conter essas frequências mais elevadas.

73 Propriedades da transformada de Fourier Deslocamento temporal: Se: F X ( ω) x t Então: F jωt0 0 ω x t t X e Uma das consequências desta propriedade é que o deslocamento no tempo não altera a amplitude da sua transformada de Fourier. O deslocamento de um sinal no tempo reflecte-se apenas na mudança de fase da sua transformada.

74 Propriedades da transformada de Fourier Deslocamento espectral: Se: F X ( ω) x t Então: F jω0t X ( ω ω ) x t e 0

75 Propriedades da transformada de Fourier Consequências da propriedade do deslocamento espectral: F jω0t X ( ω ω ) x t e Esta propriedade indica que se multiplicarmos um sinal por uma exponencial j ω 0 t, o seu espectro se desloca na frequência. e ω 0 Dado que j ω 0 t e não é uma função real, ou seja, não pode ser gerada, o deslocamento na frequência é vulgarmente conseguido pela multiplicação de x(t) por um coseno: cos ( t) x t ω = 0 1 jω0t jω0t x t 2 e + e = 1 2 jω0t jω0t ( x( t) e + x( t) e ) 0

76 Já vimos que: pelo que: então: Propriedades da transformada de Fourier j 0t jω0t 1 ω x( t) cos ( ω 0t) = x( t) e + x( t) e 2 F jω0t X ( ω ω ) x t e x t e j ( ω ) 0 t F 1 F X 0 ( ω+ω ) ( jω ) 0t j ω0 t x t e + x t e X ( ω ω 0) + X ( ω+ ω0) F 1 x t t 2 X X cos ( ω ) ( ω ω ) + ( ω+ω ) O que demonstra que a multiplicação de um sinal no tempo por um coseno de frequência ω 0 desloca o espectro X(ω) para ω 0 e ω 0. 0

77 Propriedades da transformada de Fourier A multiplicação de um sinal por uma sinusóide no tempo (modulação) tem naturalmente um efeito na representação do sinal em frequência. F X ( ω) x t F 1 x t t 2 X X cos ( ω ) ( ω ω ) + ( ω+ω ) A X ( ω) ω A/2 ω 0 ω 0 Aplicações da modulação: ω Frequency division multiplexing (sinais transmitidos pelo mesmo canal); Antenas de dimensão da ordem do comprimento de onda do sinal; amplificação de sinais de baixa frequência (que necessitariam de condensadores de elevada capacidade).

78 X 1 ( ω) F ( ω) x t X 1 1 F ( ω) x t X 2 2 X 2 ( ω) ω ω X ( ω ) + X ( ω) 1 2 F + ( ω ) + ( ω) x t x t X X Depois da soma, não é possível voltar a extrair cada sinal separadamente. ω

79 Recorrendo a modulação: X 1 ( ω) F ( ω) x t X 1 1 F 1 x t t 2 X X cos ( ω ) ( ω ω ) + ( ω+ ω ) A 1 A 1 /2 ω F ( ω) x t X 2 2 ω 1 ω 1 A 2 X 2 ( ω) ω F 1 x t t 2 X X cos ( ω ) ( ω ω ) + ( ω+ω ) ω A 2 /2 ω 2 ω 2 ω

80 F 1 1 x ( ω ) + ( ω ) ( ω ω ) + ( ω+ω ) + ( ω ω ) + ( ω+ω ) 1 t cos 1t x2 t cos 2t X1 1 X1 1 X2 2 X ω 1 ω 1 ω ω 2 ω 2 ω ω 2 ω ω ω 1 ω 1 2 Dado que os sinais se encontram separados no domínio da frequência, é possível extraí-los separadamente usando filtragem. ω 2 ω 1 ω 1 ω ω 2

81 Por desmodulação é possível recuperar os sinais originais. ω 2 ω 1 ω 1 ω ω 2 X 1 A 1 ( ω) ω A 2 X 2 ( ω) ω

82 X 1 A 1 ( ω) A 2 X 2 ( ω) ω ω Modulação ω ω 2 1 ω 1 ω ω 2 Desmodulação A 2 X 2 ( ω) ω X 1 A 1 ( ω) ω

83 X 1 A 1 ( ω) ω Rádio 2 sintonizada! A 2 X 2 ( ω) Rádio 1 Vários sinais usam o mesmo meio sem que haja interferências entre eles! ω Modulação ω ω 2 1 ω 1 ω ω 2 Rádio 2 A 2 X 2 ( ω) X 1 A 1 ( ω) ω Rádio 1 sintonizada! ω

84 Propriedades da transformada de Fourier No domínio do tempo, a multiplicação de um coseno cos(ω 0 t) por x(t) faz com que modulemos com os valores de x(t) a sinusóide cos(ω 0 t): x(t) x(t)cos(ω 0 t) O fenómeno descrito designa-se por modulação. A sinusóide cos(ω 0 t) chama-se portadora. O sinal x(t) é o sinal modulador. O sinal x(t)cos(ω 0 t) é o sinal modulado.

85 Propriedades da transformada de Fourier Diferenciação e integração: Se: F X ( ω) x t Então: dx t dt F jωx ω t F 1 x d X X jω ( τ) τ ( ω ) + π ( 0) δ( ω) Esta é uma propriedade extremamente importante na medida em que se substitui uma diferenciação por uma multiplicação no domínio da frequência, e uma integração por uma divisão e uma soma no domínio da frequência.

86 Propriedades da ransformada de Fourier Convolução: F = * ( ω ) = ( ω) ( ω) y t x t h t Y X H Esta propriedade é extremamente importante pois mostra que a operação de convolução no tempo pode ser substituída por uma simples multiplicação no domínio da frequência.

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