Capítulo 3 Sistemas de Controle com Realimentação

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1 Capítulo 3 Sistemas de Controle com Realimentação Gustavo H. C. Oliveira TE055 Teoria de Sistemas Lineares de Controle Dept. de Engenharia Elétrica / UFPR Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 1/52

2 Este material contém notas de aula para suporte ao curso Teoria de Sistemas Lineares de Controle do Dept. de Engenharia Elétrica da UFPR. Não substitui o estudo dos livros recomendados na bibliografia do curso. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 2/52

3 Sumário 1 Introdução 2 Controle de Erro em Regime Permanente Classificação de Sistemas Cálculo do Erro em Regime Permanente Erro em Regime Permanente para Entradas em Distúrbio 3 Controlador Proporcional Integral Derivativo Estrutura Filtragem da Parte Derivativa Exemplo Realimentação da Parte Derivativa Controle de Posição e Velocidade 4 Métodos de Sintonia Método Ziegler Nichols Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 3/52

4 1. Introdução Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 4/52

5 1. Introdução Estabilidade Rastreamento (Seguimento de trajetória) Regulação Sensibilidade Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 5/52

6 1. Introdução Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 6/52

7 2. Controle de Erro em Regime Permanente Assuma um sistema em malha fechada estável: O sinal de erro é: e(t) = r(t) y(t) E(s) = R(s) Y (s) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 7/52

8 2. Controle de Erro em Regime Permanente Em regime permanente, o sinal de erro é: Este erro pode ser: e( ) = r( ) y( ) lim se(s) = lim s (R(s) Y (s)) s 0 s 0 = 0 0, mas finito 0, mas infinito Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 8/52

9 2. Erro em Regime Permanente: Classificação Sistemas Tipo 0, I, II Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 9/52

10 2. Erro em Regime Permanente: Cálculo Entradas em Degrau Neste caso, a transformada de Laplace da entrada r(t) é: O erro é: e( ) = lim s 0 se(s) = lim s 0 s R(s) = 1/s ( R(s) C(s)H(s) ) 1 + C(s)H(s) R(s) ( e( ) = lim se(s) = lim 1 C(s)H(s) ) s 0 s C(s)H(s) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 10/52

11 2. Erro em Regime Permanente: Cálculo e Portanto: (* ver site, prática 3 *) ( ) 1 e( ) = lim s C(s)H(s) 1 e p = 1 + K p K p = lim s 0 C(s)H(s) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 11/52

12 2. Erro em Regime Permanente: Cálculo Entradas em Rampa Neste caso, a transformada de Laplace da entrada r(t) é: R(s) = 1/s 2 O erro é: ( e( ) = lim se(s) = lim s R(s) C(s)H(s) ) s 0 s C(s)H(s) R(s) ( e( ) = lim se(s) = lim 1 C(s)H(s) ) 1 s 0 s C(s)H(s) s Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 12/52

13 2. Erro em Regime Permanente: Cálculo Portanto: ( e( ) = lim s C(s)H(s) ) 1 s e v = 1 K v e K v = lim s 0 sc(s)h(s) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 13/52

14 2. Erro em Regime Permanente: Cálculo Entradas em Parábola Neste caso, a transformada de Laplace da entrada r(t) é: R(s) = 1/s 3 O erro é: e v = 1 K v e K v = lim s 0 s 2 C(s)H(s) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 14/52

15 2. Erro em Regime Permanente: Distúrbio Assuma um sistema em malha fechada estável: Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 15/52

16 2. Erro em Regime Permanente: Distúrbio Neste caso, a equação do erro em regime, considerando referência e distúrbio, é: e Y (s) = e( ) = r( ) y( ) lim se(s) = lim s (R(s) Y (s)) s 0 s 0 C(s)H(s) 1 + C(s)H(s) R(s) + H(s) 1 + C(s)H(s) D(s) Assuma que a referência é nula, então a saída deve ser nula. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 16/52

17 2. Erro em Regime Permanente: Distúrbio Portanto: e e( ) = lim s 0 se(s) = lim s 0 s ( Y (s)) Y (s) = H(s) 1 + C(s)H(s) D(s) Assuma que a referência é nula, então a saída deve ser nula para erro 0. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 17/52

18 2. Erro em Regime Permanente: Distúrbio Distúrbio em Degrau Portanto: D(s) = 1/s O erro é: ( ) H(s) e( ) = lim se(s) = lim s 0 s C(s)H(s) (* exemplo simulink, baseado exemplo 4.4 livro *) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 18/52

19 3. Controlador Proporcional Integral Derivativo O projeto do controlador passa por: Seleção da estrutura do controlador isto é, qual é forma da função de transferência de C(s) Cálculo dos parâmetros do controlador isto é, quais são os parâmetros da função de transferência de C(s) Por exemplo, (s + a) C(s) = K s Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 19/52

20 3. Controlador PID: Estrutura A estrutura clássica de controle PID é: t ) u(t) = K (e(t) + 1Ti d e(τ)dτ + T d dt e(t) K: ganho proporcional T i : tempo integral T d : tempo derivativo Através da transformada de Laplace: ( U(s) = K ) T i s + T ds E(s) 0 Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 20/52

21 3. Controlador PID: Estrutura A representação, denominada paralelo, é equivalente a: ( U(s) = K + K ) i s + K ds E(s) K i = K/T i : ganho integral K d = KT d : ganho derivativo Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 21/52

22 3. Controlador PID: Estrutura A ação proporcional tende a diminuir o tempo de resposta do sistemas (tempos de subida e de pico); Como contrapartida, pode aumentar o sobre-sinal ou tornar o sistema instável em malha fechada. U(s) = KE(s) A ação integral aumenta um tipo do sistema, diminuindo erros em regime permanente Como contrapartida, pode aumentar o sobre-sinal. U(s) = K i s E(s) A ação derivativa tende a diminuir a oscilação do sinal de saída. U(s) = K d se(s) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 22/52

23 3. Controlador PID: Filtragem da Parte Derivativa O termo derivativo do controlador PID é: U(s) = KT d se(s) O termo derivativo do controlador PID, com limitação de ganho, é: com N entre 3 e 20. U(s) = KT ds 1 + s T d N E(s) O objetivo é tornar o controlador causal e limitar seu ganho em altas frequencias. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 23/52

24 3. Controlador PID: Exemplo Controle de Velocidade Motor A Função de Transferência é: Y (s) = H(s)U(s) H(s) = 1 s + 1 y(t) e u(t) são a velocidade angular do eixo e a tensão nos terminais do motor. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 24/52

25 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 25/52

26 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 26/52

27 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional e Integral, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 27/52

28 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, Integral, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 28/52

29 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, Integral e Derivativa, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 29/52

30 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, Integral e Derivativa, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 30/52

31 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, regulação Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 31/52

32 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, regulação Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 32/52

33 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional e Integral, regulação Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 33/52

34 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional e Integral, regulação Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 34/52

35 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, Integral e Derivativa, regulação Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 35/52

36 3. Controlador PID: Exemplo Ação Proporcional, Integral e Derivativa, regulação Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 36/52

37 3. Controlador PID: Realimentação da Parte Derivativa Para prevenir valores elevados no sinal de controle devido ao termo derivativo, é comum se ter: ( U(s) = K + K ) i E(s) + K ds (s) s K d N s + 1Y no lugar de U(s) = ( K + K i s + ) K ds K d N s + 1 E(s) Isto evita que, no momento de mudança do degrau de referência, u(t) tenda a um impulso. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 37/52

38 3. Controlador PID: Realimentação da Parte Derivativa Ação Proporcional, Integral e Derivativa, rastreamento Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 38/52

39 3. Controlador PID: Controle de Posição e Velocidade Em sistemas de controle onde a variável controlada (saída) é uma posição, como abaixo: Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 39/52

40 3. Controlador PID: Controle de Posição e Velocidade Se existir um sensor de velocidade, pode-se fazer: Este esquema é conhecido como realimentação de posição e velocidade. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 40/52

41 4. Métodos de Sintonia O projeto do controlador passa por: Seleção da estrutura do controlador isto é, qual é forma da função de transferência (a forma PID) ( U(s) = K + K ) i s + K ds E(s) Cálculo dos parâmetros do controlador isto é, quais são os parâmetros da função de transferência Neste caso, K, K i e K d. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 41/52

42 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols Dentre as inúmeras formas de se determinar os parâmetros do PID estão aqueles baseados em curvas de reação do processo. Os mais conhecidos são o métodos formulados por Ziegler e Nichols (ZN). Nos métodos de ZN, aplica-se um sinal no sistema (em malha aberta ou fechada) e observa-se seu comportamento. A determinação dos ganhos do PID é obtida através de tabelas. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 42/52

43 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha aberta Seja um sistema dado por: Assuma que: a) o sistema é retirado da condição de malha fechada; e b) um sinal tipo degrau é aplicado na entrada do processo. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 43/52

44 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha aberta O método é aplicável caso a resposta ao degrau tenha a seguinte forma: Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 44/52

45 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha aberta Neste caso, algumas informações podem ser extraídas do processo: e um modelo para o processo pode ser aproximado. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 45/52

46 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha aberta A partir da reta tangente ao ponto de inflexão da resposta ao degrau, obtem-se: O ganho do sistema é A; O atraso aproximado é τ; A constante de tempo é T e R, a inclinação da curva, é dada por R = A/T. O modelo aproximado é: H(s) = e τs A T s + 1 Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 46/52

47 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha aberta A partir dos dados do modelo, a seleção dos parâmetros do PID é feita conforme: Tipo K T i T d 1 P Rτ 0.9 PI Rτ PID 1.2 Rτ τ 0.3 2τ 0.5τ (ver outra forma de se obter os parâmetros do PID no site do curso) Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 47/52

48 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha aberta Na seleção proposta por Ziegler Nichols, o sistema em malha fechada tende a ter um baixo fator de amortecimento. O objetivo é obter uma taxa de decaimento de 0,25, isto é, o segundo pico de oscilação ser 1/4 Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 48/52

49 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha fechada Seja um sistema dado por: Assuma que: a) o sistema fica na condição de malha fechada; e b) o controlador é substituído por um ganho K. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 49/52

50 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha fechada O método consiste em ir aumentando o ganho até chegar a condição de estabilidade limite: O ganho associado é chamado de ganho crítico K u. Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 50/52

51 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha fechada O período de oscilação quando o valor do ganho é o ganho crítico é chamado de período crítico T u : Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 51/52

52 4. Métodos de Sintonia: Ziegler Nichols, malha fechada A partir da resposta do sistema, a seleção dos parâmetros do PID é feita conforme: Tipo K T i T d P 0, 5K u PI 0, 45K u T u 1, 2 PID 1, 6K u T u 2 T u 8 Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com Realimentação 52/52

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