Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

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1 Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares 1. Funções de transferência de sistemas lineares 2. Diagramas de blocos 3. ráfico de fluxo de sinais 4. Modelagem matemática de sistemas físicos pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

2 Funções de Transferência Sistema de entrada e saída únicas A função de transferência, (s) de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT), é definida como a transformada de Laplace de sua resposta impulsiva, com todas as condições iniciais nulas: (s) = L {g(t)} = Y (s) U(s) A resposta impulsiva (ou resposta ao impulso), g(t), caracteriza um sistema linear e corresponde à saída desse sistema, y(t), quando sua entrada, u(t), é o impulso unitário, δ(t) Dificuldade? Sempre obter a resposta impulsiva... pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

3 Funções de Transferência No entanto, é mais conveniente obter a função de transferência diretamente a partir da equação diferencial aplicando a transformada de Laplace... ( s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 ) Y (s) = (bm s m b 1 s + b 0 ) U(s) (s) = Y (s) U(s) = b m s m b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 Exemplo Controle de posição de satélite J d2 θ dt 2 = T Js2 Θ(s) = T(s) Θ(s) T(s) = 1 Js 2 pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

4 Funções de Transferência Propriedades vale apenas para sistemas LIT aplicam-se apenas a sistemas com condições inicias nulas independete do sinal de entrada é função racional da variável complexa s não inclui qualquer informação sobre a estrutura física do sistema (a mesma FT pode descrever sistemas físicos completamente diferentes!) pode ser determinada a partir de medições dos sinais de entrada e saída pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

5 Propriedades de FT Para a FT (s) = Y (s) U(s), m n = grau do numerador = grau do denominador (s) é própria sse ( ) = c <, c R (ie, n = m) (s) é estritamente própria sse ( ) = 0 (ie, n > m) (s) é imprópria sse ( ) = (ie, n < m) Um pólo de uma função de transferência própria, é todo escalar λ tal que (λ) =, e um zero é um valor λ tal que (λ) = 0 pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

6 Equação característica Para a FT (s) = Y (s) U(s) = b m s m b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 Equação característica é obtida igualando-se o denominador da FT a zero ec = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 = 0 Nota Como será mostrado, as raízes ou pólos da equação característica determinam o comportamento dinâmico do sistema em termos de características de resposta temporal, particularmente, estabilidade pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

7 Diagrama de Blocos Representação ilustrada das funções desempenhadas por cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais correspondentes Inclui apenas informações sobre comportamento dinâmico, ie, sistemas diferentes podem ter mesmo diagrama FT são introduzidas nos blocos correspondentes nos quais a saída = entrada FT U(s) (s) Y (s) = (s)u(s) pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

8 Diagrama de Blocos R(s) + U(s) (s) Y (s) Ponto de soma B(s) H(s) Ponto de junção R(s) sinal de referência (set-point) Y (s) sinal de saída (variável controlada) U(s) desvio (sinal de erro, E(s), quando H(s) = 1) H(s) FT da realimentação (sensor) M(s) = Y (s) R(s) = (s) 1 + (s)h(s) FT da malha fechada pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

9 Sistema Sujeito a Sinais de Pertubações R(s) + E(s) C(s) U(s) + W(s) + (s) D(s) + + Y (s) H(s) + N(s) + Y (s) = (s)c(s) 1 + (s)c(s)h(s) R(s) (s)c(s)h(s) D(s) (s)c(s)h(s) W(s) CH 1 + (s)c(s)h(s) N(s) E(s) = (s)c(s)h(s) R(s) H 1 + (s)c(s)h(s) D(s) H 1 + (s)c(s)h(s) W(s) H 1 + (s)c(s)h(s) N(s) pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

10 Construção de um Diagrama de Blocos Exemplo Circuito RC série cuja saída é a tensão no capacitor (v C ) i = e i v C R ; v C = 1 C Z idt L I(s) = 1 R (E i(s) V C (s)) ; V C (s) = 1 sc I(s) + E i (s) 1 R I(s) 1 sc V C (s) FT malha fechada M(s) = V C(s) E i (s) = 1 src + 1 pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

11 Redução de Diagramas de Blocos Blocos só podem ser conectados em série se a saída não for afetada pelo bloco seguinte Rearranjos e substituições simplificam a análise. Regras: 1. O produto das FT no sentido direto deve permanecer o mesmo 2. O produto das FT ao redor de um laço deve permanecer o mesmo É indiferente a seqüência, ie, 1 2 = 2 1 (SISO) O denominador da FT em malha fechada é simplesmente 1 (Produto das FT ao redor de cada laço) pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

12 MASTER 18 TABLE 2.8 Block Diagram Transformations Transformation Original Diagram Equivalent Diagram 1. Combining blocks in cascade 1 (s) X 2 2 (s) X X 3 or 2 1 X 3 2. Moving a summing point behind a block X 3 X 3 X 2 X 2 3. Moving a pickoff point ahead of a block X 2 X 2 X 2 X 2 4. Moving a pickoff point behind a block X 2 X Moving a summing point ahead of a block X 2 X 3 1 X 3 X 2 6. Eliminating a feedback loop X 2 1 H X 2 H Table 2.8 Block diagram transformations Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

13 MASTER 19 H 2 R(s) Y(s) H 1 H 3 Figure 2.24 Multiple-loop feedback control system H 2 4 R Y(s) H 1 H 3 (a) H 2 4 R H 1 Y(s) H 3 (b) R H H 2 H 3 Y(s) R(s) H H H 3 Y(s) (c) (d) Figure 2.25 Block diagram reduction of the system of Fig Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

14 ráfico de Fluxos de Sinais O diagrama de blocos é representado por um grafo, ie, uma rede de nós conectada por ramos orientados Definições 1. Nó ponto que representa uma variável ou sinal 2. Transmitância ganho entre dois nós 3. Fonte ou nó de entrada só tem ramos de saída 4. Sorvedouro ou nó de saída só tem ramos de chegada 5. Caminho trajetória de ramos orientados 6. Laço caminho fechado (com início e fim no mesmo nó) 7. anho do Laço é o produto das transmitâncias dos ramos do laço 8. Caminho direto parte de um nó de entrada e vai a um nó de saída sem cruzar nenhum nó mais de uma vez pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

15 ráfico de Fluxos de Sinais FS Propriedades básicas 1. Um sinal, y k, que atravessa o ramo entre y k e y j é multiplicado pelo ganho do ramo, g kj, de forma que y j = g kj y k 2. Em um nó, os sinais de todos os ramos de entrada são somados e o resultado é transmitido a todos os ramos de saída 3. Mais de um gráfico de fluxo de sinais pode ser traçado para um mesmo sistema No FS cada bloco do diagrama de blocos é substituído por um ramo orientado e a FT pela transmitância. Os somadores e os pontos de junção são substituídos por nós pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

16 ráfico de Fluxos de Sinais FS Fórmula de Mason O ganho geral (ou transmitância global) entre a entrada, r, e a saída, y, de um FS composto de L laços e N caminhos diretos entre r e y é dado por T = y r = N k=1 M k k M k o ganho do k-ésimo caminho direto entre r e y = 1 L i1 + L j2 L q i j q L rs produto dos ganhos da r-ésima combinação possível dos s laços que não se tocam (1 s L) k = da parte do FS que não toca o k-ésimo caminho direto pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

17 Modelagem Matemática de Sistemas Físicos Suspensão Ativa Veicular Objetivos do Controle asfalto Minimizar distúrbios externos frutos de irregularidades do Conforto é a palavra de ordem Inovação introduzida na F-1 desde 1987 e consagrada em 91/92 pela Williams Uma variação da suspensão ativa veicular é o denominado ABC (Active Body Control, ou controle ativo da carroceria) Corrige inclinação da carroceria Em frações de segundo o sistema reequilibra o carro na curva, evitando capotamento pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

18 Suspensão Ativa Veicular: FW14 da Williams Modelo FW14 da Williams 91/92. A suspensão ativa trabalhava por computador, absorvendo as imperfeições do asfalto. Era como se Nigel Mansell e Ricardo Patrese dirigissem num tapete nas onduladas ruas do principado de Mônaco Em 94, os sistemas de suspensão ativa foram proibidos na F-1... pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

19 Suspensão Ativa Veicular: Novo Mercedes-Benz CL Fonte: DaimlerChrysler pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

20 Suspensão Ativa Veicular: Novo Mercedes-Benz CL A cambagem é realmente ativa, no sentido de se tornar mais negativa (rodas mais afastadas no ponto de contato com o solo) quando um princípio de derrapagem é detectado. Em caso de frenagem intensa, todas as quatro rodas inclinam-se em tempo extremamente reduzido, o que reduz a distância de parada pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

21 Modelo Matemático? Diagrama de blocos: 1/4 do veículo M 2 u x 2 M 1 x 1 K m w 1. M 1 massa do conjunto da roda 2. M 2 porção da massa do veículo (correspondendo a 1/4 de sua massa total) 3. u e K m atuador e rigidez do pneu (uma mola...) 4. x 1 e x 2 deslocamento da roda e do corpo do veículo, respectivamente 5. x 3 e x 4 velocidade relativas às massas M 1 e M 2, respectivamente 6. w distúrbio externo pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

22 Modelo Dinâmico? Equações Diferenciais Utilizando as Leis de Newton para o movimento... Mẍ + bẋ + kx = Força do sistema: x 1 e x 2 deslocamento das massas M 1 e M 2 x 3 = ẋ 1 ẋ 3 = ẍ 1 x 4 = ẋ 2 ẋ 4 = ẍ 2 M 2 ẍ 2 = u ẋ 4 = u/m 2 M 1 ẍ 1 + K m (x 1 w) = u ẋ 3 = 1 M 1 u K m M1 x 1 + K m M1 w pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

23 Representação em espaço de estados e FT 8 >< >: ẋ(t) = y(t) = Ix(t) K m /M {z } A x(t) w(t) + 6 4K m /M {z } B w u(t) 6 4 1/M /M 2 {z } B u FT (s) = Y (s) U(s) = I(sI A) 1 B u para w(t) 0 MATLAB ss pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 2

24 Armature R a Stator winding Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. V f R f i f (t) Field L f i a L a, Load Inertia J Friction b Rotor windings Brush Shaft Inertia load i a Angle N S Bearings Brush Commutator (a) (b) Figure 2.15 A dc motor (a) wiring diagram and (b) sketch MASTER 15

25 Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. Disturbance T d (s) Field Load Speed I T 1 f (s) m (s) T L (s) 1 (s) V f (s) K 1 m R f L f s Js b s Figure 2.17 V f (s) Block diagram model of field-controlled dc motor K (s) m s(js b)(l f s R f ) Output (s) Position (s) Output Figure 2.20 Block diagram of dc motor MASTER 17

26 Hydraulic actuator d Velocity v Valve Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. R(s) Actuator 10 A (s) s 1 (a) Delay h Float Tank e st 3.15 (s) 30s 1 1 f (s) (s 2 /9) (s/3) 1 Y(s) Level (b) Figure 9.32 (a) Liquid level control system (b) Block diagram MASTER 127