UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU AVM FACULDADE INTEGRADA

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1 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU AVM FACULDADE INTEGRADA PROCESSOS APLICADOS A CIRCUITOS DA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA: APLICABILIDADE DAS DISCIPLINAS DE CIRCUITOS DO 5 o AO 6 o PERÍODO Por: Mauro Migon Orientador Prof a. Mônica Ferreira de Melo Rio de Janeiro 2012

2 2 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU AVM FACULDADE INTEGRADA PROCESSOS APLICADOS A CIRCUITOS DA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA: APLICABILIDADE DAS DISCIPLINAS DE CIRCUITOS DO 5 o AO 6 o PERÍODO Apresentação de monografia à AVM Faculdade Integrada como requisito parcial para obtenção do grau de especialista em Docência do Ensino Superior. Por: Mauro Migon

3 3 AGRADECIMENTOS...A Deus porque sem Ele nada é possível. A professora Mônica Ferreira de Melo pela orientação.

4 4 DEDICATÓRIA...A todos aqueles que incentivaram na elaboração deste trabalho.

5 5 RESUMO O objetivo desta pesquisa foi o de analisar e aplicar os métodos matemáticos necessários à análise de circuitos da engenharia elétrica. Foram aplicadas as ferramentas necessárias para análise das malhas elétricas no tocante a correntes e tensões em seus diversos pontos mediante a utilização da transformada de Laplace. Com este processo foi eliminada a necessidade em grande escala de utilizar as equações íntegro diferenciais. Para analisar o sinal de saída em relação ao sinal de entrada foi abordado o conceito de função de transferência à luz da transformada de Laplace e foi aproveitado o momento adequado para conceituar pólos e zeros desta função. Para o estudo do sinal de saída em relação ao seu conteúdo harmônico e espectral foi analisada a série e a transformada de Fourier aplicadas em funções periódicas, a série temporal e discreta e em funções não periódicas, a transformada de Fourier. Ao longo dos capítulos foram realizadas aplicações adequadas dos processos abordados como exemplificação da sua utilização.

6 6 METODOLOGIA A natureza deste trabalho é uma pesquisa qualitativa, explicativa expost-facto de cunho bibliográfico. Foi realizada através de livros de matemática e circuitos elétricos tendo em vista a sua utilização plena nos currículos do curso de engenharia elétrica. Foram propostas situações e dando soluções a elas durante a elaboração do trabalho monográfico, mediante os autores James Holbrook, John Bird, B. Lathi e James Nilson.

7 7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 8 CAPÍTULO I - TRANSFORMADA DE LAPLACE DIRIGIDA A CIRCUITOS DO 5 o AO 6 o PERÍODO 10 CAPÍTULO II - SÉRIE DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 22 CAPÍTULO III - TRANSFORMADA DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 31 CONCLUSÃO 39 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 41 ÍNDICE 42

8 8 INTRODUÇÃO Um circuito elétrico é formado por resistores, capacitores, indutores e transformadores. São alimentados por fontes de tensão, corrente ou ambas. Normalmente as fontes são AC ou DC. Os circuitos eletrônicos são formados por componentes ativos que em DC são analisados por suas propriedades terminais, mas em AC são analisados por modelos compostos pelos componentes já enumerados mais as fontes controladas. Mediante a aplicação de teoremas de circuitos podemos analisá-los encontrando correntes de malha, correntes nos nós e tensões em diversos pontos do circuito. Após a aplicação dos teoremas encontramos como resultado, um conjunto de equações íntegro-diferenciais que são mais facilmente resolvidas pela transformada de Laplace. Na saída dos circuitos encontramos formas de onda (sinais) complexas que podem ser analisadas através de suas componentes. A série e a transformada de Fourier fornecem essas componentes puras e senoidais e também seu espectro discreto ou contínuo de freqüências. Foi possível conceituar a função de transferência dos circuitos. Ela permite a obtenção de dados de grande valia no estudo de sua estabilidade e do conhecimento de suas freqüências de corte. Também permite dimensionar corretamente um circuito segundo a sua aplicação.

9 9 A série e a transformada de Fourier quando aplicadas no processamento de sinais e na engenharia de telecomunicações é uma poderosa ferramenta que fornece dados para o projeto de filtros não só analógicos como digitais. Na medicina apresenta grande aplicação no processamento das imagens das ultrasonografias, nas tomografias e na ressonância magnética nuclear. A presente pesquisa visa mostrar esses processos matemáticos e como aplicá-los na engenharia elétrica.

10 10 CAPÍTULO I TRANSFORMADA DE LAPLACE DIRIGIDA A CIRCUITOS DO 5 o AO 6 o PERÍODO 1.1 Conceito A transformada de Laplace permite transformar uma função do tempo numa função da freqüência. Após a aplicação da transformada teremos outra função, porém, aplicando a transformada inversa de Laplace voltaremos à função inicial. Nos problemas envolvendo análise de circuitos elétricos encontramos componentes cuja relação tensão/corrente é dada por equações diferenciais e integrais no domínio do tempo. A solução destas equações é um processo exaustivo. Aplicando a transformada de Laplace obteremos equações algébricas no domínio da freqüência, cuja solução recai em processos simples. Um exemplo de transformação é a logarítmica (BOLTON, pag.158), onde produtos e divisões são transformados em somas e subtrações. de Z. pela equação: Z = x.y log Z = log x.y = log x + log y Aplicando a transformação logarítmica inversa obteremos o valor A transformada de Laplace de uma função do tempo f(t) é dada L = = A transformada inversa de Laplace de uma função da freqüência F(s) é dada pela equação: -1 F(s) = f (t) =

11 11 A variável s é a variável de Laplace e também é uma variável complexa dada por: s = σ + jω ω = 2π/T = 2πf σ é a parte real e fornece as características do transitório do circuito elétrico ω é a freqüência angular e fornece as características em regime permanente do circuito elétrico T é o período em segundos f é a freqüência em hertz 1.2 Propriedades básicas da Transformada de Laplace A transformada da soma de funções do tempo f 1 (t) e f 2 (t) é dada pela soma das funções transformadas: L = A transformada da diferença de funções do tempo f 1 (t) e f 2 (t) é dada pela diferença das funções transformadas: L 1 2 = 1 2 A transformada do produto de uma constante a por uma função do tempo f(t) é dada pelo produto da constante pela função transformada: L = A transformada da derivada de primeira ordem de uma função do tempo f(t) é s vezes a função transformada menos o valor da função do tempo no instante t = 0: L = 0

12 12 A transformada da integral de uma função do tempo f(t) é dada pela função transformada dividida por s mais o valor da integral em t = 0 também dividida por s L = + = Propriedades específicas da Transformada de Laplace Deslocamento no tempo L = F(s) Deslocamento na freqüência L = + Teorema do valor inicial lim f (t) t 0 = sf(s) s Teorema do valor final lim f (t) t = s F(s) s 0

13 Transformada de Laplace de funções básicas Função Degrau f(t) = u(t) Esta função é importante, pois representa o fechamento de um circuito elétrico provocando uma variação abrupta na voltagem que o alimenta. É definida por: u(t) = 1 para t 0 e u(t) = 0 para t < 0 F(s) = L = Aplicando a Transformada de Laplace, encontramos: 1. dt = Função exponencial f(t) = Esta função é importante, pois aparece na resposta de vários circuitos elétricos. É definida por: f(t) = para t 0 e f(t) = 0 para t < 0

14 14 f(t )= u(t)e -at t F(s) = L = Aplicando a Transformada de Laplace, encontramos: dt = Função impulso f(t) = (t) Esta função é importante, pois nela estão contidas todas as freqüências. F(s) = L = É definida por: (t) = 0 para t 0 e (t) dt = 1 Aplicando a Transformada de Laplace, encontramos: dt = 1 Tabela de transformadas básicas da Engenharia Elétrica (HOLBROOK, pag. 77) # f (t) F(s) 1 u (t) 2 Au (t) 3 4 ± 5 cos

15 15 6 sen 7 ± t sf(s) f (0) [ ] 1.5 Comportamento dos componentes elétricos básicos Os componentes elétricos básicos são: o resistor (R), o capacitor (C) e o indutor (L). Denominando de i(t) a corrente elétrica que percorrerá o componente e v(t) a voltagem que será desenvolvida entre os terminais do componente elétrico. Será relacionado, a seguir, seu comportamento no domínio do tempo e no domínio da freqüência. Resistor No tempo: v(t) = R i(t) Na freqüência: V(s) = R I(s) Capacitor No tempo: v(t) = Na freqüência: V(s) = Indutor No tempo: v(t) = L Na freqüência: V(s) = L s I(s)

16 16 Deve ser observado que, quem multiplica a corrente na Lei de Ohm é a resistência, porém, no caso do capacitor e do indutor quem multiplica a corrente é a reatância. Pode ser notado que o valor da reatância é função da freqüência angular ω. 1.6 Aplicação ao circuito RC com v c (0) = 0 Seja um circuito RC em série alimentado por uma fonte de tensão v(t) e percorrido por uma corrente i(t). Aplicando a Lei das Malhas, encontramos: = + 1. Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os membros da equação, encontramos: = + simplificações, chegamos, finalmente a: I(s) =. Após Seja v(t) = V u (t), onde V é uma voltagem fixa (DC). V(s) = [#2 da tabela]. Substituindo na equação de I(s), simplificando e ajustando as grandezas convenientemente, obteremos: = Aplicando o teorema do valor inicial e do valor final, será obtido o valor da corrente no instante em que o circuito é ligado e o valor da corrente após o circuito ter sido ligado há muito tempo, sem evoluir a transformada inversa de Laplace. lim i(t) t 0 = si(s) s lim i(t) t 0 = s s =

17 17 lim i(t) t = s s 0 = Transformada Inversa de Laplace Após a resolução do circuito utilizando a transformada de Laplace, será obtida a solução no domínio da freqüência. A transformada inversa de Laplace permitirá a obtenção da solução no domínio do tempo. Conceito de Pólo Dada uma função F(s), denominamos de pólo ao valor de s que conduz F(s) ao infinito. F(s) = o pólo será s = a O gráfico de F(s) será: Seja F(s) = temos um pólo em s = a e outro em s = b. O gráfico de F(s) será:

18 18 F(S) k 1 k 2 a b σ k 1 resíduo em torno do pólo s = a k 2 resíduo em torno do pólo s = b k 1 = (s a) F(s) s =a = (s a) k 1 = s= a k 2 = (s b) F(s) s =b = (s b) s= b k 2 = Integração em torno de um pólo Toda integral fechada envolvendo o pólo fornecerá 2πj. Toda integral fechada não envolvendo o pólo será zero. = 2 é ó = 0 ã é ó A integral fechada envolvendo vários pólos será dada por:

19 19 = 2 k 1 + k2 + k 1, k 2... são os resíduos em torno de cada pólo de F(s). Laplace 1.8 Processos para determinar a transformada inversa de Processo das Frações Parciais Consiste em se desenvolver F(s) em frações parciais onde o denominador da fração será uma função básica em s, cuja transformada inversa poderá ser obtida na Tabela da página 14. Aplicação1: F(s) = F(s) = + = = Comparando com F(s) original: A + B = 2 e 3A + 2B = 0, resolvendo, será encontrado A = -4 e B = 6. Podemos escrever: F(s) = = + Usando a terceira propriedade básica (pag. 10) e #3 da tabela, teremos f (t) = Processo dos Resíduos Consiste em usar a fórmula da transformada de Laplace inversa associada ao conceito de resíduos e integração em torno do pólo. -1 F(s) = f (t) =

20 20 Seja =. A integral fechada envolvendo os pólos de G(s) será dada por: = 2 k 1 + k2 + f (t) = k 1 + k2 + 2 = k 1 + k2 e Aplicação 2: F(s) = G(s) = k 1 = + 2 s = - 2 = - 4 k 2 = + 3 s = - 3 = 6 f (t) = Processo da Convolução O processo da convolução (HOLBROOK, pag.118), também conhecido por teorema de Borel ou integral de Faltung, permite operar com produto de funções complexas e fornece um processo adicional para encontrarmos transformadas inversas de Laplace quando a função complexa pode ser decomposta em outras funções cujas transformadas inversas são conhecidas. F 1 (s). F 2 (s) L [f 1 (t). f 2 (t)] Pela integral de convolução: L -1 F(s) = f(t) = 1(t ).f 2 () d = L -1 [ F 1 (s).f 2 (s) ] (HOLBROOK, pag. 120) Aplicação 3: F(s) = F 1 (s) = f 1 (t) = f 1 (t - ) =

21 21 F 2 (s) = f 2 (t) = f 2 ( ) = f(t) = d = resolvendo: f (t) = 1.9 Conceito de função de transferência Função de transferência é definida como a relação, no domínio da freqüência, entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada. É representada em geral, por H(s). será: específicas. Sendo X o a transformada da saída e X i a transformada da entrada, H(s) = Num circuito eletrônico H(s) pode aparecer em quatro situações X o (s) e X i (s) são tensões H(s) será o ganho de tensão do circuito X o (s) e X i (s) são correntes H(s) será o ganho de corrente do circuito X o (s) uma tensão e X i (s) uma corrente H(s) será o ganho de transresistência do circuito X o (s) uma corrente e X i (s) uma tensão H(s) será o ganho de transcondutância do circuito A determinação dos pólos de uma função de transferência H(s) permitirá o conhecimento das freqüências de corte do circuito em análise.

22 22 A solução da maioria dos problemas elétricos pode ser reduzida em definitivo à solução das equações diferenciais, sendo que o uso das transformadas de Laplace proporciona um método alternativo aos que são empregados normalmente (BIRD, 2009, pag. 535) Concluímos o capítulo I onde foi mostrado que os problemas de circuitos elétricos podem ser resolvidos em sua maior parte por equações algébricas e não por equações diferenciais, usando a transformada de Laplace.

23 23 CAPÍTULO II SÉRIE DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 2.1 Conceito Fourier descobriu, ao estudar problemas referentes à transmissão de calor que, uma função periódica pode ser representada por uma soma infinita de funções seno e cosseno de freqüências múltiplas de uma fundamental, chamadas de freqüências harmônicas. 2.2 Funções Periódicas Uma função f(t) é periódica se f(t + nt o ) = f(t) onde n é um número inteiro e T o é o período ou intervalo de tempo em que a função se repete. 2.3 Série de Fourier geral Uma função f(t) que satisfaça as condições de Dirichlet pode ser desenvolvida numa série do tipo f(t) = a o + a 1 cos ω o t + a 2 cos 2ω o t + b 1 sen ω o t + b 2 sen 2 ω o t + [ref. 2, Pag. 51] ou f(t) = a o + + é a freqüência da fundamental

24 24 são harmônicas da fundamental = 2π/T o A expressão de f(t) é conhecida por série de Fourier. Caso seja uma função representativa de uma onda de calor, uma onda num lago ou uma onda numa corda, o período será designado por L e a série de Fourier, por = + cos + sin finitos. Para a série de Fourier existir os coeficientes a n, b n e a o devem ser A integral / / <. A função f(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos num período e pode ter somente um número finito de descontinuidades finitas no período. Estas condições são conhecidas por condições de Dirichlet. 2.4 Relações matemáticas importantes para o desenvolvimento de Fourier (n inteiro). (LATHI, pag. 764 e 772) / / = 0 / / = 0 / / = 0

25 25 / / = = / / = = sen ωot = cos ωot = ± = cos ± ± = 1 n par e -1 n ímpar 2.5 Coeficientes de Fourier Ao ser definida a função periódica f(t), determinamos os coeficientes a o, a n e b n. Para a o : integramos ambos os lados da equação f(t) = a o + em um período T o. cos + / = / / / + + / / / = / ao T o + 0 a o = / / Para a n : multiplicamos ambos os lados da equação f(t) = a o + cos +

26 26 por cos nω o t e integramos ambos os lados em um período T o. / cos = / / cos + / / onde A = a n cos nωot cos nωot + b n cos nωot sen nωot / cos = / / / = / Para b n : multiplicamos ambos os lados da equação f(t) = a o + cos + por sen nω o t e integramos ambos os lados em um período T o. / sen = / / sen + / / Onde B = a n sen nωot.cos nωot + b n sen nωot.sen nωot / / sen = / / = / 2.6 Funções com simetria Uma função periódica f(t) = f(-t) é definida como função par. Somente polinômios com expoentes pares possuem esta propriedade. Para funções pares encontramos apenas os coeficientes a o e a n no desenvolvimento de Fourier.

27 27 Uma função periódica f(t) = - f(-t) é definida como ímpar. Somente polinômios com expoentes ímpares possuem esta propriedade. Para funções ímpares encontramos apenas os coeficientes b n no desenvolvimento de Fourier. Aplicação 1: Obtenção das componentes harmônicas de um pulso quadrado mostrado no gráfico abaixo onde T o = 8 milisegundos = T. Aplicando as fórmulas dos coeficientes de Fourier: a o = a o = 2,5 volts = [ 0. / = / / / cos [ ] cos + 5 cos ] [ cos = sen πn = 0 ] = [ = = ] 4 0

28 28 = [ 0. [ / / sen = sen + 5 sen ] ] 4 0 = - = 0 para n par = A série será: para n ímpar f(t) = 2,5 + = [cos cos 0] í f(t)=2, Aplicação 2: Obtenção das componentes harmônicas de uma onda quadrada mostrada no gráfico abaixo onde T o = 2π = T f(θ) K -π π θ -K Seriam aplicadas as fórmulas dos coeficientes de Fourier, porém, f() possui simetria em torno da origem. Ela é uma função ímpar. Em conseqüência a o = 0 e a n = 0. A função f( pode ser escrita:

29 29 f( = = 2 2 = [ = = sen [ sen 0 + sen ] 0 ] [cos 0 cos cos + cos 0 ] = 0 = 1 cos = í A série será: f( = f( = í sen + sen Série de Fourier Exponencial A série de Fourier exponencial também conhecida como série discreta de Fourier fornece as componentes de Fourier de uma forma mais prática. Através da série discreta de Fourier obtemos a transformada discreta de Fourier que fornece o espectro de freqüências contido no sinal ou forma de onda em análise. A transformada discreta de Fourier possui grande importância no processamento digital de sinais. A série fornece suas componentes no domínio do tempo. A transformada fornece suas componentes discretas no domínio da freqüência. A série exponencial ou discreta de Fourier será: f(t) =

30 30 é a transformada discreta de Fourier = / / Pode ser observado que a série discreta de Fourier se apresenta de uma forma mais compacta. É mais prático trabalhar com exponenciais que trabalhar com fórmulas trigonométricas. Aplicação 3: Obtenção do espectro de freqüências do pulso mostrado no gráfico abaixo, onde: T o = 2π = T t 1 = - π/4 = - T o /8 t 2 = + π/4 = +T o /8 A = 2 O espectro de freqüências será: = 2 ω o = 2π/T o = 1 t 1 = - π/4 t 2 = + π/4 = 1 2 substituindo em : / 2 /

31 31 = [ ] = n 0 ½ ±1 2/π ±2 1/π ±3 2/3π ±4 0 ±5-2/5π ±6-1/3π Fourier é mais conhecido pela série matemática infinita de termos em seno e cosseno denominadas séries de Fourier,por ele utilizadas para o estudo da condução do calor em sólidos. Embora fosse essencialmente um matemático, grande parte do seu trabalho está ligado ao estudo de fenômenos físicos como transferência de calor, manchas solares e clima. Fez parte do primeiro grupo de professores da École Polytechnique em Paris (BOYLESTAD,2004,pag.757) O capítulo II está concluído. Foi mostrado como as formas de onda obtidas na saída dos circuitos podem ser decomposta em suas componentes puras no domínio do tempo e também como obter seu espectro de freqüências visando uma análise mais apurada.

32 32 CAPÍTULO III TRANSFORMADA DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 3.1 Conceito A transformada de Fourier também conhecida por Integral de Fourier desempenha um papel muito importante no ramo da engenharia elétrica, da engenharia eletrônica e da engenharia de telecomunicações. Possui grande aplicação em processamento de sinais e na teoria das telecomunicações. É aplicada em funções que não se repetem no tempo, ou seja, em funções não periódicas. Na análise de funções periódicas o espectro de freqüências é discreto para múltiplos da freqüência fundamental (veja o cap. II), porém para funções não periódicas isto é, para o período tendendo a infinito notamos que a fundamental tende a zero e as harmônicas ficam tão próximas que se transformam num espectro continuo de freqüências. Sob o ponto de vista de uma interpretação física, a transformada de Fourier é um caso limite de uma série de Fourier (NILSON, pag.475) e as funções não periódicas serão representadas pela transformada de Fourier. 3.2 Transformada de Fourier A transformada de Fourier é o limite da série discreta de Fourier quando o período torna-se infinito. Passamos de uma função periódica para uma função não periódica e a distância entre as linhas espectrais, 0, ω o,2 ω o, etc, é dada por: ω = ω o = ou =.

33 33 À medida que To cresce, ω tende a dω. A freqüência deixa de ser uma variável discreta e passa a ser uma variável contínua ou nω o = n ω quando o período tende a infinito. = / / To = a esta integral chamamos de transformada de Fourier (NILSON, pag. 476). = + = [ ] f(t) = = Quando To tende a infinito, o somatório tende à integral, To tende a, nωo tende a ω e =. Assim f(t) será: [] = = A fórmula acima representa a transformada inversa de Fourier. Para que exista a transformada de Fourier de a condição abaixo deverá ser satisfeita: < periódicas. (LATHI, pag. 76). Isto exclui todas as funções

34 34 Algumas funções importantes como a função u(t) não possui transformada de Fourier, pois contraria a condição anterior. É possível neste caso multiplicá-la pela função e após encontrar a transformada de Fourier fazer k tender a zero. 3.3 Propriedades da transformada de Fourier Soma [ + ] = + Diferença [ ] = Constante vezes função [ ] = k Derivada de uma função [ ] = Integral de uma função [ ] = Deslocamento no tempo = Deslocamento na freqüência [ ] =

35 35 Modulação = [ ] = [ + + ] 3.4 Uso da transformada de Laplace para calcular a transformada de Fourier (NILSON, pag. 478) Na engenharia elétrica trabalhamos com funções causais. Neste caso podemos calcular a transformada de Fourier a partir da transformada de Laplace (desde que os pólos estejam no semi plano lateral esquerdo). Seja f(t) a função para a qual desejamos calcular a transformada de Fourier. Sendo F(s) a transformada de Laplace de f(t) basta substituir s por jω e teremos. Aplicação 1: Obtenção da transformada de Fourier de f(t) = sen ω o t para t 0. = logo, F[ ] = = para s = jω =

36 36 Aplicação 2: Obtenção da transformada de Fourier da função f(t) = u(t) sendo a>0 f(t )= u(t)e -at t = F = = = ut = 1 + = 0 = = Observa-se que se a=0 teremos f(t) = u(t) e = Aplicação 3: Para o pulso mostrado a seguir obter sua transformada de Fourier. Dados: t 1 = t 2 =

37 37 é a largura do pulso. T (trata-se de uma função não periódica). = F = / / = / = / / = [ ] = 2 [ 2 / = ] = = [ ] á = ±, ±, ± 3.5 Tabela simplificada de transformadas de Fourier (LATHI, pag.85) f(t) ± f(t) 2 [ + + j [ + > 0

38 38 > 0 > 0 > 0 > 0 As freqüências negativas ocorrem por causa do uso do espectro exponencial por conveniência matemática. Cada sinusoide cós ωot aparece como a soma de duas componentes exponenciais e com freqüências ωo e ωo, respectivamente. Mas na realidade, existe somente uma componente de freqüência ωo. ( LATHI, 1998, pag.81) Concluímos o capítulo III onde foi mostrado que as propriedades da transformada de Fourier constituem uma ferramenta poderosa na análise de sinais não periódicos e também nos problemas relacionados ao processamento de sinais e à teoria das telecomunicações.

39 39 CONCLUSÃO Portanto, por utilizar a engenharia elétrica (eletrônica, telecomunicações e controle) para seu desenvolvimento diversas disciplinas para compor todos os conteúdos necessários à formação do engenheiro nas habilitações citadas e, um dos conteúdos de ensino obrigatório é um conjunto de ferramentas matemáticas visando análise dos circuitos quanto à sua estrutura interna, malhas e à sua estrutura de transferência, entrada e saída mais a análise do sinal desenvolvido na saída, foi possível compreender processos matemáticos aplicados à solução de circuitos da engenharia elétrica. Foram aplicadas técnicas de solução de circuitos por equações algébricas mediante a utilização da transformada de Laplace ao invés das equações íntegro diferenciais cujas soluções são mais complexas. Foram pesquisados processos de análise de sinais complexos por sua decomposição em sinais mais simples graças à teoria das séries de Fourier. Tudo foi possível graças aos trabalhos desenvolvidos por matemáticos como Laplace, Borel, Faltung e Fourier. Esses trabalhos facilitaram a análise de circuitos da engenharia elétrica. Laplace, Borel e Faltung forneceram técnicas para obtenção da transformada direta mediante propriedades matemáticas e a transformada inversa mediante a utilização do processo de frações parciais e a utilização do teorema da convolução.

40 40 Fourier forneceu os métodos que foram aplicados para decompor os sinais em componentes puras senoidais no domínio do tempo. Forneceu também as componentes discretas no domínio da freqüência graças a sua série exponencial. A transformada de Fourier permitiu a análise espectral de sinais não periódicos. Possibilitou observar através da transformada do pulso que, quanto menor a sua duração mais constante é a sua resposta espectral. Isto significa que a função impulso delta de Dirac possui como transformada a unidade. Foram obtidos resultados de grande potencial nos métodos matemáticos desenvolvidos para a análise de circuitos da engenharia elétrica.

41 41 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BIRD, John. Circuitos Elétricos: Teoría e Tecnología. Campus Elsevier BOLTON, W. Engenharia de Controle. Makron Books HOLBROOK, James G. Transformadas de Laplace para Ingenieros en Electrónica. Limusa Wiley S.A LATHI, B.P. Modern Digital and Analog Communication Systems. Berkeley- Cambridge Press LePAGE, Wilbur R. Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers. Tata McGraw Hill NILSON, James W; Riedel, Susan A. Circuitos Elétricos. Pearson Prentice Hall YOUNG, Paul H. Técnicas de Comunicação Eletrônica. Prentice Hall

42 42 ÍNDICE FOLHA DE ROSTO 2 AGRADECIMENTO 3 DEDICATÓRIA 4 RESUMO 5 METODOLOGIA 6 SUMÁRIO 7 INTRODUÇÃO 8 CAPÍTULO I Transformada de Laplace Dirigida a Circuitos do 5 0 ao 6 0 Período Conceito Propriedades básicas da Transformada de Laplace Propriedades específicas da Transformada de Laplace Transformada de Laplace de funções básicas Comportamento dos componentes elétricos básicos Aplicação ao circuito RC com v c (0) = Transformada Inversa de Laplace Processos para determinação da transformada inversa de Laplace Processo das Frações Parciais Processo dos Resíduos Processo da Convolução Conceito de função de transferência 21 CAPÍTULO II Série de Fourier Dirigida a Circuitos e sua Aplicabilidade na Graduação em Engenharia Elétrica Conceito Funções Periódicas Série de Fourier geral 23

43 Relações matemáticas importantes para o desenvolvimento de Fourier (n inteiro) Coeficientes de Fourier Funções com simetria Séries de Fourier Exponencial 29 CAPITULO III Transformada de Fourier Dirigida a Circuitos e sua Aplicabilidade na Graduação em Engenharia Elétrica Conceito Transformada de Fourier Propriedades da transformada de Fourier Uso da transformada de Laplace para calcular a transformada de Fourier Tabela simplificada de transformadas de Fourier 37 CONCLUSÃO 39 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 41 ÍNDICE 42