Cálculo da resposta no domínio do tempo: o papel dos pólos e zeros

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo da resposta no domínio do tempo: o papel dos pólos e zeros"

Transcrição

1 Capítulo Cálculo da resposta no domínio do tempo: o papel dos pólos e zeros. Introdução O cálculo da resposta no domínio do tempoy(t) de um sistemag(t) pode ser calculado através da integral de convolução: y(t)= g(τ)u(t τ)dτ, ondeu(t) é o sinal de excitação do sistema. Usualmente, utiliza-se a transformada de Laplace para a conversão do sistema para o domínio da freqüência: Y(s)=G(s)U(s). Posteriormente, para o cálculo de y(t), pode-se realizar a anti-transformada de Laplace. Para isto, é mais fácil transformar Y(s) utilizando a técnica de expansão em frações parciais, já que cada fração parcial tem anti-transformada facilmente conhecida. Neste caso, é possível evidenciar o efeito de cada pólo do sistema e do sinal de entrada u(t). Os zeros dey(s) desaparecem na expansão em frações parciais. O efeito dos zeros afeta apenas os coeficentes das frações parciais. A conclusão que devemos chegar é que os zeros do sistema atuam como filtros evidenciando ou anulando o efeito dos pólos do sistema.. Algumas questões básicas Seja um sistema linear e invariante no tempo representado por: a n y (n) (t)+a n y (n ) (t)+...+a y () (t)+a y(t)= b m u (m) (t)+b m u (m ) (t)+...+b u () (t)+b u(t),

2 onde, y (i) (t) d(i) y(t) dt (i), u (i) (t) d(i) u(t) dt (i), Podemos definir: D(p) a n p n +a n p n +...+a p+a, e N(p) b m p m +b m p m +...+b p+b, onde, p (i) d(i) dt (i). Utilizando esta notação podemos escrever: D(p)y(t) = N(p)u(t). (.7) A solução para y(t) envolve dois termos. O primeiro, corresponde a resposta do sistema D(p)y(t) = N(p)u(t) considerando uma entrada nula, i.e., u(t) =. Neste caso, a Equação.7 se reduz a equação denominada Homogênea, D(p)y(t) =. A sua transformada de Laplace pode ser expressa como: Y(s)= I(s) D(s), onde I(s) é um polinômio cujos coeficientes dependem das condições iniciais. D(s) é denominado polinômio característico de.7 porque caracteriza a resposta denominada livre, não forçada ou resposta natural. As raízes de D(s) são denominadas modos do sistema. Por exemplo, se: D(s)=(s )(s+ ) (s+ j3)(s+ +j3). Os modos do sistema nesse caso são:,, +j3, j3. Os pólos tem multiplicidade unitária, com exceção de que possui multiplicidade igual a dois. Desta forma, para quaisquer condições iniciais, Y(s) pode ser expandido em frações parciais como: Y(s)= K (s ) + K (s+ j3) + K 3 (s+ +j3) + C (s+ ) + C (s+ ). (.) de setembro de 7-3:33 PM DRAFT V 5.

3 A resposta no tempo pode ser escrita como: y(t)=k exp t +K exp ( j3)t +K 3 exp (+j3)t +C exp t +C t exp t, ondek,k,k 3,C ec dependem das condições iniciais. Se todas as condições iniciais forem nulas a resposta de.7 pode ser escrita como: Y(s) U(s) =N(s) D(s) =G(s), ondeg(s) é a transformada de Laplace quando as condições iniciais são nulas (c.i.n.): Y(s) U(s) = L[saída] c.i.n. L[entrada]. c.i.n. Logo a solução geral da Equação.7 pode ser escrita como: Y(s)= I(s) N(s) + D(s) D(s) U(s). } {{ } } {{ } Resposta a Entrada-Zero Resposta a Estado-Zero Considere por exemplo a seguinte equação diferencial: d y(t) dt + 3 dy(t) dt + y(t)=3 du(t) dt u(t). (.6) A utilização da transformada de Laplace considerando condições iniciais não nulas, resulta em: s Y(s) sy( ) ẏ( )+3[sY(s) y( )]+Y(s)=3[sU(s) u( )] U(s), onde ẏ = dy/dt e as letras maiúsculas denotam as transformadas de Laplace das variáveis representadas pelas letras minúsculas correspondentes. Fazendo um reagrupamento dos termos podemos escrever a equação acima da seguinte forma: Y(s)= (s+ 3)y( )+ẏ( ) 3u( ) 3s + (s + 3s+ ) (s } {{ } + 3s+ ) U(s). } {{ } Resposta a Entrada-Zero Resposta a Estado-Zero Esta equação revela que a solução da Equação.6 é parcialmente excitada por u(t),t >, o que resulta numa parcela denominada de Resposta a Estado-Zero, e parcialmente excitada pelas condições iniciaisy( ),ẏ( ), eu( ), o que resulta na parcela denominada Resposta a Entrada-Zero. Tais condições iniciais serão denominadas aqui de estado inicial. O estado inicial pode ser entendido como o resultado da entrada u(t) parat. de setembro de 7-3:33 PM 3 DRAFT V 5.

4 .3 Classificação das funções de transferência Considere a seguinte função racional: N(s) D(s), onden(s) ed(s) são polinômios com coeficientes reais. Tais funções de transferência são classificadas de acordo com o grau do polinômio do numerador degn(s) e do grau do polinômio do denominador degd(s). A Tabela. a seguir resume a classificação. Tabela.. Classificação das funções de transferência. degn(s) > degd(s) imprópria degn(s) degd(s) própria degn(s) < degd(s) estritamente própria degn(s) = degd(s) bi-própria SeG(s) é bi-própria entãog (s) também é bi-própria. Em geral, trabalhamos com funções próprias ou estritamente próprias, já que, funções de transferência impróprias descrevem sistemas não causais..4 Expansão em frações parciais Nesta seção, detalha-se a técnica de expansão em frações parciais. Suponha a seguinte função de transferência: m l= (s+z l) q i= (s+z i)(s+p m ) r, whrei=,...,q andn=q+r. A expansão em frações parciais deg(s) pode ser escrita como: q i= K i (s+p i ) + A (s+p m ) + A (s+p m ) A r (s+p m ) r, de setembro de 7-3:33 PM 4 DRAFT V 5.

5 onde: K i = (s+p i )G(s) s= pi, A r = [(s+p m ) r G(s)] s= pm, A r = d ds [(s+p m) r G(s)] A r = d! ds [(s+p m) r G(s)]. A = (r )! s= pm s= pm d r ds r [(s+p m) r G(s)]. s= pm A função no domínio do tempo pode ser escrita como: g(t)= q K i exp pit +A exp pmt +A t exp pmt +...+A r t r exp pmt. i=.5 Pólos e zeros A seguir, uma definição formal para pólos e zeros é estabelecida. Definição (Pólo) número real ou complexo finitoλtal que G(λ) =. Definição (Zero) número real ou complexo finitoλtal que G(λ) =. Um primeiro questionamento de ordem teórica que pode ser feito é se todas as raízes do polinômiod(s) são polos deg(s). Considere a seguinte função de transferência: Paraλ= temos: N(s) D(s) = (s3 + 3s s 3) (s )(s+ )(s+ ) 3. G( )= 6 =. Portanto,λ= é um pólo e tambémλ= é uma raiz deg(s). Agora vamos fazer λ=, dessa forma: G()= N() D() =, de setembro de 7-3:33 PM 5 DRAFT V 5.

6 o que torna o resultado indefinido. Entretanto, utilizando a regra de L Hôpital obtemos: G()= N(s) D(s) = N (s) s= D (s), s= (3s + 6s ) =, 5s 4 + 6s 3 + s 4s 5 s= = 6 4. Dessa forma,λ= não é um pólo deg(s). Portanto, nem toda raiz de D(s) é um pólo de G(s). No exemplo acima, o fato se deve ao fato quen(s) ed(s) possuem um fator comum. Na verdade, a função de transferência pode ser escrita como: (s+ 3)(s )(s+ ) (s )(s+ )(s+ ) = (s+ 3) 3 (s+ )(s+ ). G(s) tem um zero em s = 3 e três pólos: s =,,. Através deste exemplo, concluímos que se os polinômios N(s) e D(s) não possuem fatores comums, então todas as raízes de N(s) e D(s) são respectivamente zeros e pólos deg(s). SeN(s) ed(s) não possuem um fator comum eles são denominados co-primos e G(s) é denominado irredutível. Resposta a estado-zero A resposta a estado-zero é estabelecida pela seguinte equação: Y(s)=G(s)U(s). (.8) Computa-se inicialmente a transformada de Laplace de u(t), U(s), e posteriomente podemos obtery(s). Uma expansão em frações parciais dey(s) pode facilmente levar a transformada de Laplace inversa para obtenção da resposta do sistema no domínio do tempoy(t). A seguir são apresentados alguns exemplos. Exemplo Dado o sistema 3s (s+ )(s+ ), A regra de L Hôpital pode ser utilizada quando existe uma indeterminação do tipo lim x p f(p) g(p) =. Dado f(x) eg(x) funções diferenciáveis eg (p) então: f(x) lim x pg(x) = lim f (x) x pg (x). (.6) de setembro de 7-3:33 PM 6 DRAFT V 5.

7 calcular a resposta para um entrada a degrau unitário u(t) = para t. Podemos escrevery(s) como: Y(s)=G(s)U(s)= 3s (s+ )(s+ ) s. A expansão em frações parciais pode ser representada como: Y(s)= 3s (s+ )(s+ )s = K (s+ ) + K (s+ ) +K 3 s, onde os coeficientes podem ser calculados como: K =Y(s)(s+ ) s= = 3s (s+ )s = s= K =Y(s)(s+ ) s= = 3s (s+ )s = s= 3s K 3 =Y(s)s s= = (s+ )(s+ ) = ( ) s= () =.5. ( 4) () ( ) = 4, ( 7) ( ) ( ) = 3.5, Y(s) pode então ser representada como: 3s Y(s)= (s+ )(s+ )s = 4 (s+ ) (s+ ) +.5, s A resposta no tempo pode então ser calculada como: y(t)= 4 exp t 3.5 exp t.5 } {{ } }{{}. Devido aos pólos deg(s) Devido ao pólo deu(s) Podemos observar através do Exemplo que os termos relativos aos pólos do sistema podem ser divididos em duas partes, uma relativa aos pólos do sistemag(s) e um relativo ao pólo deu(s). A resposta deste sistema poderia ser escrita genericamente como: y(t)=k exp t +K exp t +termos devidos aos pólos deu(s). Uma questão importante é que dependendo deu(t), os pólos deg(s) podem não ser excitados. O exemplo a seguir ilustra esta questão. Exemplo Considere por exemplo U(s) = s +. Neste caso, 3s Y(s)=G(s)U(s)= (s+ ), (s+ )(s+ ) = 3s 3(s+ ) 7 7 = = 3 (s+ ) (s+ ) (s+ ). de setembro de 7-3:33 PM 7 DRAFT V 5.

8 O que implica em: y(t)=3δ(t) 7 exp t. Exemplo 3 Vamos supor agora que: u(t)= exp 3t, A transformada de Laplace é dada por: dessa forma, U(s)= (s+ ) s(s+ 3), 3s s+ Y(s)= (s+ )(s+ ) s(s+ 3) = 3s (s+ )(s+ 3)s 7 = (s+ ) 3(s+ 3) 6s. A resposta do sistema no domínio do tempoy(t) é dada por: y(t)= 7 exp t 3 exp 3t 6. Neste exemplo, é possível observar que a excitação ou não do pólo depende se U(s) possui um zero para cancelá-lo..6 Pólos e suas características no domínio do tempo A seguir apresenta-se os casos principais dos tipos de termos que comumente aparecem numa expansão em frações parciais em conjunto com sua descrição analítica e gráfica.. Pólo real negativo s = σ: Função de transferência: Resposta no tempo: K (s+σ). K exp σt. de setembro de 7-3:33 PM 8 DRAFT V 5.

9 A figura. ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s+ ). Polo Real Negativo Polo Real Negativo jω g(t) σ 3 Tempo (seg) Figura.. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistema/(s+ ).. Pólo real positivo s = +σ: Função de transferência: K (s σ). Resposta no tempo: K exp σt. A figura. ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s ). de setembro de 7-3:33 PM 9 DRAFT V 5.

10 Polo Real Positivo Polo Real Positivo jω g(t) σ.5.5 Tempo (seg) Figura.. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistema/(s ). 3. Pólos complexos conjugados com parte real negativa s = σ ± jω: Função de transferência: OndeK i =K i+. K i (s+σ jω) + K i+ (s+σ+jω). Resposta no tempo: K i exp (σ jω)t +K i+ exp (σ+jω)t, A exp σt sin(ωt+φ). A figura.3 ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s.5 j3.5)(s.5+j3.5). de setembro de 7-3:33 PM DRAFT V 5.

11 Polos Complexos Conjugados Estaveis 4 Polos Complexos Conjugados Estaveis jω g(t) σ. 5 5 Tempo (seg) Figura.3. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistemag(s). 4. Pólos complexos conjugados com parte real positiva s = +σ ± jω: Função de transferência: OndeK i =K i+. K i (s σ jω) + K i+ (s σ+jω). Resposta no tempo: K i exp ( σ jω)t +K i+ exp ( σ+jω)t, A exp σt sin(ωt+φ). A figura.4 ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s.5 j3.5)(s.5+j3.5). de setembro de 7-3:33 PM DRAFT V 5.

12 Polos Complexos Conjugados Instaveis 4 Polos Complexos Conjugados Instaveis jω g(t) σ 5 5 Tempo (seg) Figura.4. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistemag(s). 5. Pólos reais negativos com multiplicidade s= σ: Função de transferência: Resposta no tempo: Ki (s+σ) + K i+ (s+σ). K i exp σt +K i+ t exp σt. A figura.5 ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s+ )(s+ ). Polos reais multiplos s=, s= (m=) Polos reais multiplos s=, s= (m=) jω g(t) σ 5 5 Tempo (seg) )(s+ ). Figura.5. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistema G(s) = /(s = de setembro de 7-3:33 PM DRAFT V 5.

13 6. Pólos imaginárioss=±jω : Função de transferência: k i s jω + K i+ s+jω. OndeK i =K i+. Resposta no tempo: K i exp jωt +K i+ exp jωt, (.53) A sin(ωt+φ). A figura.6 ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s j)(s+j). Polos imaginarios s= j,+j.5 Polos imaginarios s= j, +j jω g(t) σ Tempo (seg) j)(s+j). Figura.6. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistema G(s) = /(s 7. Pólos imaginários duplos s = ±jω: Função de transferência: Resposta no tempo: K (s +ω ) = K (s+jω) (s jω) = K (s+jω) + K K 3 (s+jω) + (s jω) + K 4 (s jω). g(t)=a sin(ωt+φ )+A t sin(ωt+φ ). de setembro de 7-3:33 PM 3 DRAFT V 5.

14 A figura.7 ilustra a localização do pólo e a resposta impulsiva para o sistema: (s j) (s+j). Polos imag. multiplos s= j, +j (m=) Polos imag. multiplos s= j, +j (m=) jω g(t) σ Tempo (seg) j) (s+j). Figura.7. Localização dos pólos e resposta impulsiva do sistema G(s) = /(s.7 O efeito dos zeros O efeito dos zeros sobre a resposta do sistema é mais difícil de ser inferido. Apesar da localização dos pólos determinar a natureza dos modos do sistema, é a localização dos zeros que determina a proporção que os modos são combinados. Estas combinações podem fazer com que os resultados sejam bastante diferentes quando comparados com os modos individuais relativos a cada pólo. Da mesma forma como nos pólos, também podemos definir zeros rápidos e zeros lentos. Zeros rápidos são aqueles que estão bastante afastados em relação ao eixo imaginário quando comparado com os pólos dominantes. Por outro lado, zeros lentos são aqueles que estão bem mais próximos do eixo imaginário do que os pólos dominantes. Exemplo 4 Para ilustrar a influência dos zeros na resposta do sistema a resposta a degrau de vários sistemas com pólos iguais mas com zeros diferentes são comparados. Os sistemas definidos pelas funções de transferênciag (s), G (s),g 3 (s) eg 4 (s) e suas respectivas expansões em frações parxiais podem ser observados na Tabela 4. A expansão em frações parciais de qualquer um desses sistemas pode ser representada por: Y(s)= K (s+ ) + K (s+ +j) + K 3 (s+ j) +K 4 s. de setembro de 7-3:33 PM 4 DRAFT V 5.

15 G 4 (s). A Figura.8 ilustra a resposta a degraus do sistemasg (s),g (s),g 3 (s), Tabela.. Respostas a degrau dos sistemasg (s),g (s),g 3 (s),g 4 (s). K K K 3 K 4 G (s)= (s+)(s++j)(s+ j) j.5.5 j.5.(s+) G (s)= (s+)(s++j)(s+ j).5 j.5.5 j.5.(s+) G 3 (s)= -6 (s+)(s++j)(s+ j).5 + j.5.5 j.5 G 4 (s)= (s +.s+.) (s+)(s++j)(s+ j) 5+j4.5 5 j4.5.5 Resposta a degrau de G, G, G 3, G 4 G.5 G G 3 G 4 y(t) tempo (seg) Figura.8. Respostas a degrau dos sistemasg (s),g (s),g 3 (s),g 4 (s). Exemplo 5 Considere, por exemplo, a seguinte função de transferência: H(s)= s+c c(s+ )(.5s+ ), de setembro de 7-3:33 PM 5 DRAFT V 5.

16 nesse sistema é possível verificar a variação da resposta y(t) através da variação do parâmetro c sem a mudança dos valores dos pólos e do ganho do sistema. Os dois modos naturais do sistema são representados por, exp t e exp t, que são relacionados aos pólos e respectivamente. O efeito do primeiro modo natural exp t pode gradativamente ser anulado a medida que c. O mesmo acontece para exp t quandoc. Uma situação mais geral, pode ser observada na Figura.9 onde é apresentado a resposta a degrau do sistemah(s) considerandoc=.,.,.5,.5,,. Pode ser observado que, para um zero rápido, por exemplo c, não existe um impacto significativo na resposta transitória. Quando o zero é lento e estável o sistema possui sobresinal significativo. Quando o zero é lento e instável então o sistema exibe um undershoot significativo. 6 4 Respostas a degrau de H(s) para c=.,.,.5,.5,, c=. c=. c=.5 c=.5 c= data6 y(t) tempo (seg) Figura.9. Respostas a degrau do sistemah(s) para diferentes valores dec. É possível estabelecer estimativas para o sobresinal e undershoot. a seguir alguns resultados desenvolvidos por Goodwin, Graebe e Salgado. G.C. Goodwin, Stefan F. Graebe e M.E. Salgado, Control System Design, Prentice-Hall. de setembro de 7-3:33 PM 6 DRAFT V 5.

17 Lema (Zeros de fase não mínima e undershoot) Assuma um sistema linear e estável com função de transferênciag(s) possuindo ganho unitário e um zero ems =c, onde c R +. Assuma também que a resposta a degrau unitário do sistema, y(t), tem um tempo de acomodaçãot s, i.e., +δ y(t) δ,(δ ), t t s, Entãoy(t) exibe um undershootm u, que satisfaz a seguinte relação: M u δ exp ct s. Este lema estabelece que, quando o sistema possui zeros de fase não mínima existe uma solução de compromisso entre ter uma resposta rápida e uma resposta com undershoot pequeno. Lema (Zeros lentos e sobresinal) Assuma um sistema linear e estável, com função de transferência dada por G(s) possuindo ganho unitário e um zero em s = c, c <. Além disso, assuma que:. O sistema tem pólos dominantes com parte real igual a p,p>,. O zero e o pólo dominante são relacionados através da seguinte equação: c η p, 3. O valor de δ definindo o tempo de assentamento t s é escolhido tal que K > resultando que: v(t) <K exp pt, t t s. É possível concluir que a resposta a degrau possui um sobresinal que é limitado de acordo com a seguinte relação: M P ( Kη ). exp ct s η Este lema estabelece que quando um sistema estável possui zeros lentos, existe uma solução de compromisso entre uma resposta rápida e um sobresinal pequeno. de setembro de 7-3:33 PM 7 DRAFT V 5.

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

SISTEMAS DE CONTROLE II

SISTEMAS DE CONTROLE II SISTEMAS DE CONTROLE II - Algumas situações com desempenho problemático 1) Resposta muito oscilatória 2) Resposta muito lenta 3) Resposta com erro em regime permanente 4) Resposta pouco robusta a perturbações

Leia mais

Circuitos Elétricos III

Circuitos Elétricos III Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto. de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais A Transformada de Laplace em análise de circuitos parte 2 Equivalente

Leia mais

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial. Transformada de Laplace

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial. Transformada de Laplace Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace. Região de convergência. Propriedades da transformada de aplace. Sistemas caracterizados

Leia mais

Modelagem no Domínio da Frequência. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio da Frequência. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Modelagem no Domínio da Frequência Carlos Alexandre Mello 1 Transformada de Laplace O que são Transformadas? Quais as mais comuns: Laplace Fourier Cosseno Wavelet... 2 Transformada de Laplace A transf.

Leia mais

Transformada de Laplace. Parte 3

Transformada de Laplace. Parte 3 Transformada de Laplace Parte 3 Elementos de circuito no domínio da frequência O resistor no domínio da frequência Pela lei de OHM : v= Ri A transformada da equação acima é V(s) = R I(s) O indutor no domínio

Leia mais

4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92)

4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92) ADL22 4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92) A transformada de Laplace fornece: (4.93) (4.94) A fim de separar X(s), substitua sx(s)

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENG JR ELETRON 2005 29 O gráfico mostrado na figura acima ilustra o diagrama do Lugar das Raízes de um sistema de 3ª ordem, com três pólos, nenhum zero finito e com realimentação de saída. Com base nas

Leia mais

Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes

Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Saulo Dornellas Universidade Federal do Vale do São Francisco Juazeiro - BA Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 1 / 44 Análise do

Leia mais

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA.

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Aulas anteriores Tipos de Sinais (degrau, rampa, exponencial, contínuos, discretos) Transformadas de Fourier e suas

Leia mais

ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS

ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS JOSÉ C. GEROMEL DSCE / Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação UNICAMP, CP 6101, 13083-970, Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br Campinas, Janeiro de 2007

Leia mais

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Capítulo 8 Transformada de Laplace A transformada de Laplace permitirá que obtenhamos a solução de uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma equação algébrica.

Leia mais

Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação

Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Laboratório da Disciplina CTA-147 Controle I Análise da Resposta Transitória (Este laboratório foi uma adaptação

Leia mais

Transformada z. ADL 25 Cap 13. A Transformada z Inversa

Transformada z. ADL 25 Cap 13. A Transformada z Inversa ADL 25 Cap 13 Transformada z A Transformada z Inversa Qualquer que seja o método utilizado a transformada z inversa produzirá somente os valores da função do tempo nos instantes de amostragem. Portanto,

Leia mais

Período : exp( j α) α/2π = N/K (irredutível) em que se N,K Z então K é o período.

Período : exp( j α) α/2π = N/K (irredutível) em que se N,K Z então K é o período. Período : exp( j α) α/2π = N/K (irredutível) em que se N,K Z então K é o período. sin(t) = sin (t + T), ou exp(t) = exp(t+t) em que T é o período. [sin(a) e/ou cos(a) ]+[ sin(b) e/ou cos(b)] = o periodo

Leia mais

Aula 13 Análise no domínio da frequência

Aula 13 Análise no domínio da frequência Aula 13 Análise no domínio da frequência A resposta em frequência é a resposta do sistema em estado estacionário (ou em regime permanente) quando a entrada do sistema é sinusoidal. Métodos de análise de

Leia mais

Laboratórios 9, 10 e 11: Projeto de Controladores pelo Lugar das Raízes DAS5317 Sistemas de Controle

Laboratórios 9, 10 e 11: Projeto de Controladores pelo Lugar das Raízes DAS5317 Sistemas de Controle Laboratórios 9, 10 e 11: Projeto de Controladores pelo Lugar das Raízes DAS5317 Sistemas de Controle Hector Bessa Silveira e Daniel Coutinho 2012/2 1 Objetivos Neste próximos laboratórios, utilizar-se-á

Leia mais

Análise de Circuitos Elétricos III

Análise de Circuitos Elétricos III Análise de Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto. de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Introdução à Transformada de Laplace A Transformada

Leia mais

AULA #12. Estabilidade de Sistemas de Controle por

AULA #12. Estabilidade de Sistemas de Controle por AULA #12 Estabilidade de Sistemas de Controle por Realimentação Estabilidade de Sistemas de Controle por Realimentação A presença de medidores, controladores e elementos finais de controle afetam as características

Leia mais

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.

Leia mais

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona

Leia mais

Análise de Erro Estacionário

Análise de Erro Estacionário Análise de Erro Estacionário Sistema de controle pode apresentar erro estacionário devido a certos tipos de entrada. Um sistema pode não apresentar erro estacionário a uma determinada entrada, mas apresentar

Leia mais

LABORATÓRIO DE CONTROLE I

LABORATÓRIO DE CONTROLE I UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE CONTROLE I Experimento 1: ESTUDO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA COLEGIADO DE

Leia mais

Controle I. Análise de resposta transitória Sistemas de primeira ordem

Controle I. Análise de resposta transitória Sistemas de primeira ordem Controle I Análise de resposta transitória Sistemas de primeira ordem input S output Sistemas de primeira ordem Sistema de primeira ordem do tipo G (s) a bs c input a bs c output Sistemas de primeira

Leia mais

Estabilidade. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Estabilidade. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Estabilidade Carlos Alexandre Mello 1 Introdução Já vimos que existem três requisitos fundamentais para projetar um sistema de controle: Resposta Transiente Estabilidade Erros de Estado Estacionário Estabilidade

Leia mais

Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados

Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados. Erro em estado estacionário de sistemas de controle realimentados 2. Erro em estado estacionário de sistemas com realimentação não-unitária 3. Índice de

Leia mais

Capítulo 3 Sistemas de Controle com Realimentação

Capítulo 3 Sistemas de Controle com Realimentação Capítulo 3 Sistemas de Controle com Realimentação Gustavo H. C. Oliveira TE055 Teoria de Sistemas Lineares de Controle Dept. de Engenharia Elétrica / UFPR Gustavo H. C. Oliveira Sistemas de Controle com

Leia mais

EA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência

EA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência EA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência Prof. Pedro L. D. Peres Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas 2 o Semestre 2013 Resposta em Frequência

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados

Leia mais

PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO

PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO JOSÉ C. GEROMEL e RUBENS H. KOROGUI DSCE / Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação UNICAMP, CP 6101, 13083-970, Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br

Leia mais

Análise de Sistemas em Tempo Contínuo usando a Transformada de Laplace

Análise de Sistemas em Tempo Contínuo usando a Transformada de Laplace Análise de Sistemas em Tempo Contínuo usando a Transformada de Laplace Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios.

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios. Conteúdo programático: Elementos armazenadores de energia: capacitores e indutores. Revisão de características técnicas e relações V x I. Caracterização de regime permanente. Caracterização temporal de

Leia mais

Modelos Variáveis de Estado

Modelos Variáveis de Estado Modelos Variáveis de Estado Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo

Leia mais

CAP. 5 FILTROS ATIVOS TE 054 CIRCUITOS ELETRÔNICOS LINEARES

CAP. 5 FILTROS ATIVOS TE 054 CIRCUITOS ELETRÔNICOS LINEARES CAP. 5 FILTROS ATIVOS 5.1 CONCEITOS BÁSICOS Filtros são circuitos lineares projetados para deixar passar determinadas frequências e atenuar outras São baseados em elementos reativos (C e L) Podem ser passivos

Leia mais

Aula 8 Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial

Aula 8 Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial Aula 8 Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial Introdução Estrutura do Controlador PID Efeito da Ação Proporcional Efeito da Ação Integral Efeito da Ação Derivativa Sintonia de Controladores

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

Introdução aos Sinais

Introdução aos Sinais Introdução aos Sinais Pedro M. Q. Aguiar, Luís M. B. Almeida Setembro, 2012 1 Conceito de sinal Um sinal representa a variação de uma grandeza como função de uma variável independente, que designaremos

Leia mais

Estabilidade no Domínio da Freqüência

Estabilidade no Domínio da Freqüência Estabilidade no Domínio da Freqüência Introdução; Mapeamento de Contornos no Plano s; Critério de Nyquist; Estabilidade Relativa; Critério de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio da Freqüência;

Leia mais

Sistemas Lineares. Prof. Alexandre Trofino

Sistemas Lineares. Prof. Alexandre Trofino Sistemas Lineares Prof. Alexandre Trofino Departamento de Automação e Sistemas Centro Tecnológico Universidade Federal de Santa Catarina cep 884-9, Florianópolis-SC email: trofino@lcmi.ufsc.br Internet:

Leia mais

Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares 1. Funções de transferência de sistemas lineares 2. Diagramas de blocos 3. ráfico de fluxo de sinais 4. Modelagem matemática de sistemas físicos pag.1

Leia mais

Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Eng a Elétrica & Computação Departamento de Telemática

Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Eng a Elétrica & Computação Departamento de Telemática 1 Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Eng a Elétrica & Computação Departamento de Telemática NOTAS DE AULAS DE EA721 PRINCÍPIOS DE CONTROLE & SERVOMECANISMOS Paulo Augusto Valente Ferreira Fevereiro

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Informática no Ensino da Matemática

Informática no Ensino da Matemática Informática no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Lista de Exercícios 2 ATIVIDADE 1 Para poupar esforço de digitação, você pode usar o tradicional sistema

Leia mais

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear

Leia mais

Identificação e Controle Adaptativo

Identificação e Controle Adaptativo Identificação e Controle Adaptativo Prof. Antonio A. R. Coelho 1 Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC Grupo de Pesquisa em Tecnologias de Controle Aplicado, GPqTCA Departamento de Automação e Sistemas,

Leia mais

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

Capítulo 4 Resposta em frequência

Capítulo 4 Resposta em frequência Capítulo 4 Resposta em frequência 4.1 Noção do domínio da frequência 4.2 Séries de Fourier e propriedades 4.3 Resposta em frequência dos SLITs 1 Capítulo 4 Resposta em frequência 4.1 Noção do domínio da

Leia mais

Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace Transformadas de Laplace Notas de aulas - material compilado no dia 6 de Maio de 23 Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil Prof. Ulysses Sodré ii Copyright c 22 Ulysses Sodré. Todos os direitos

Leia mais

5. Diagramas de blocos

5. Diagramas de blocos 5. Diagramas de blocos Um sistema de controlo pode ser constituído por vários componentes. O diagrama de blocos é uma representação por meio de símbolos das funções desempenhadas por cada componente e

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

LABORATÓRIO DE CONTROLE I APLICAÇÃO DE CONTROLADORES A SISTEMAS DE 1ªORDEM E 2º ORDEM

LABORATÓRIO DE CONTROLE I APLICAÇÃO DE CONTROLADORES A SISTEMAS DE 1ªORDEM E 2º ORDEM UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE CONTROLE I Experimento 3: APLICAÇÃO DE CONTROLADORES A SISTEMAS DE 1ªORDEM E 2º ORDEM COLEGIADO DE ENGENHARIA

Leia mais

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

CIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

CIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 1 CIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA Simulação de chaves utilizando a função degrau a) Fonte de tensão que entra em operação em t = 0 Substituindo a chave

Leia mais

Função de Transferência de Malha Fechada

Função de Transferência de Malha Fechada Função de Transferência de Malha Fechada R(s) B(s) + - E(s) Controlador Gc(S) U(s) Sensor G(S) Planta C(s) C(s)=G(s)*U(s) H(S) C(s)=G(s)*Gc(s)*E(s) C(s)=G(s)*Gc(s)*[ R(s)-B(s) ] C(s)=G(s)*Gc(s)*[ R(s)-H(s)*C(s)

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO CONTROLO DIGITAL MATERIAL DE APOIO ÀS AULAS Eng. João Paulo Coelho 005/006 006 JOÃO PAULO COELHO ESTE DOCUMENTO DESTINA-SE, PRIMARIAMENTE,

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 69 Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo

Leia mais

Filtragem Espacial. (Processamento Digital de Imagens) 1 / 41

Filtragem Espacial. (Processamento Digital de Imagens) 1 / 41 Filtragem Espacial (Processamento Digital de Imagens) 1 / 41 Filtragem Espacial Filtragem espacial é uma das principais ferramentas usadas em uma grande variedade de aplicações; A palavra filtro foi emprestada

Leia mais

Sessão Prática: Simulação e Controle com LabVIEW

Sessão Prática: Simulação e Controle com LabVIEW Sessão Prática: Simulação e Controle com LabVIEW 1 Visão geral Este tutorial mostra as características dos controles proporcional (P), integral (I) e derivativo (D), e como utilizálos para obter a resposta

Leia mais

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3 1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 02 ATIVIDADE 01 Para poupar esforço de digitação, você pode usar o tradicional

Leia mais

Projeto de sistemas de controle

Projeto de sistemas de controle Projeto de sistemas de controle Os controladores clássicos encontrados na literatura podem ser classificados como: Controladores de duas posições (ou on-off). Controladores proporcionais. Controladores

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva Controlador Proporcional Controlador PI A Relação entre a saída e o

Leia mais

Análise de sistemas no domínio da frequência

Análise de sistemas no domínio da frequência Análise de sistemas no domínio da frequência Quando se analisa um sistema no domínio da frequência, pretende-se essencialmente conhecer o seu comportamento no que respeita a responder a sinais periódicos,

Leia mais

PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO

PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO JOSÉ C. GEROMEL e RUBENS H. KOROGUI DSCE / Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação UNICAMP, CP 6101, 13083-970, Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br

Leia mais

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Universidade Federal do Amazonas Instituto de Educação, Agricultura e Ambiente Janeiro de 2014 Bem-vindo Este material trata da introdução ao estudo de

Leia mais

UNIVERSIDADE GAMA FILHO Laboratório de Controle I - MATLAB

UNIVERSIDADE GAMA FILHO Laboratório de Controle I - MATLAB NOME: UNIVERSIDADE GAMA FILHO Laboratório de Controle I - MATLAB O que é o Matlab? O Matlab é um sistema para cálculo científico que proporciona um ambiente de fácil utilização com uma notação intuitiva,

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 11 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

Matemática para Engenharia

Matemática para Engenharia Matemática para Engenharia Profa. Grace S. Deaecto Faculdade de Engenharia Mecânica / UNICAMP 13083-860, Campinas, SP, Brasil. grace@fem.unicamp.br Segundo Semestre de 2013 Profa. Grace S. Deaecto ES401

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

Sistema de excitação

Sistema de excitação Sistema de excitação Introdução Introdução A função do sistema de excitação é estabelecer a tensão interna do gerador síncrono; Em consequência,o sistema de excitação é responsável não somente pela tensão

Leia mais

1 O Movimento dos Corpos

1 O Movimento dos Corpos 1.3-1 1 O Movimento dos Corpos 1.3 Gotas de chuva e pára-quedistas (v'(t) = - g - rv(t)) Em ambos os casos trata-se de objetos que caem de grandes alturas e que são freados pela resistência aerodinâmica.

Leia mais

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 203 Mário Jorge Dias Carneiro Introdução O que é um número real? A resposta formal e

Leia mais

Controle Linear Contínuo e Discreto

Controle Linear Contínuo e Discreto CONCURSO PETROBRAS ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - ELETRÔNICA ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - ELÉTRICA ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA: AUTOMAÇÃO Controle Linear Contínuo e Discreto Questões

Leia mais

p. 1/2 Resumo Especificação de Filtros Filtro de Butterworth Filtro de Chebyshev Filtros de Primeira Ordem Filtros de Segunda Ordem

p. 1/2 Resumo Especificação de Filtros Filtro de Butterworth Filtro de Chebyshev Filtros de Primeira Ordem Filtros de Segunda Ordem p. 1/2 Resumo Especificação de Filtros Filtro de Butterworth Filtro de Chebyshev Filtros de Primeira Ordem Filtros de Segunda Ordem Introdução Os primeiros filtros construídos eram circuitos LC passivos.

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 4 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted Conteúdo 4 - Capacitores e Indutores...1 4.1 - Capacitores...1 4.2 - Capacitor

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier

Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF. Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS. Diagrama de Bode. Outros Processos de Separação

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF. Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS. Diagrama de Bode. Outros Processos de Separação Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS custo Diagrama de Bode Outros Processos de Separação Prof a Ninoska Bojorge 5.A. Traçado das Assíntotas Traçado

Leia mais

Transformações Polares no Plano

Transformações Polares no Plano Transformações Polares no Plano Thiago Fassarella U F F 2 o Colóquio da Região Sudeste Janeiro de 2012 Sumário Introdução v 1 Preliminares 1 1.1 Curvas algébricas no plano afim................ 1 1.2 Pontos

Leia mais

Equações diferencias são equações que contém derivadas.

Equações diferencias são equações que contém derivadas. Equações diferencias são equações que contém derivadas. Os seguintes problemas são exemplos de fenômenos físicos que envolvem taxas de variação de alguma quantidade: Escoamento de fluidos Deslocamento

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA CADERNO DIDÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 ELABORAÇÃO:

Leia mais

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:

Leia mais

Modelagem de Sistemas Dinâmicos. Eduardo Camponogara

Modelagem de Sistemas Dinâmicos. Eduardo Camponogara Equações Diferenciais Ordinárias Modelagem de Sistemas Dinâmicos Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Projecto de Filtros Digitais IIR

Projecto de Filtros Digitais IIR Sistemas de Processamento Digital Engenharia de Sistemas e Informática Ficha 7 2005/2006 4.º Ano/ 2.º Semestre Projecto de Filtros Digitais IIR Projecto de Filtros IIR O projecto de filtros IIR digitais

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais