Método do Lugar das Raízes

Transcrição

1 Método do Lugar das Raízes 1. Conceito do Lugar das Raízes 2. Virtudes do Lugar das Raízes (LR) pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

2 No projeto de um sistema de controle, é fundamental determinar como a localização das raízes da EC no plano-s muda com a variação de um parâmetro. Essa localização das raízes (ou lugar das raízes) é normalmente feita por um método gráfico conhecido como Gráfico do Lugar das Raízes O que fazer? Elaborar uma metodologia de traçado deste gráfico, manualmente ou por auxílio de computador... pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

3 Como normalmente é necessário ajustar um ou mais parâmetros no sistema de controle para que se consiga alocar de forma apropriada as raízes em malha fechada, será estudado, como exemplo preliminar de projeto de sistemas realimentados, os efeitos da variação dos três parâmetros de um controlador PID (ie, com um termo Proporcional, outro Integral e outro Derivativo) Como o método do lugar das raízes envolve a análise em função da variação de um ou mais parâmetros, pode-se extrair também uma medida da sensitividade das raízes frente a tais variações pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

4 Considere a malha de realimentação unitária, para o processo G(s), com um parâmetro ajustável, ilustrado na figura abaixo R(s) + G(s) Y (s) Então o desempenho dinâmico em malha fechada é descrito pela FT T(s) = Y (s) R(s) = G(s) 1 + G(s) pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

5 As raízes da EC são determinadas a partir da relação 1 + G(s) = 0 G(s) = 1 que pode ser re-escrita na forma polar G(s) G(s) = 1 + j0 Portanto, para pertencer ao Lugar das Raízes, é necessário que G(s) = 1 G(s) = 180 o ± k360 o, k = 0, 1, 2, 3, pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

6 Exemplo Considere o sistema de 2a. ordem G(s) = 1 (s 2 + 2s) = 1 s(s + 2) a EC correspondente com um parâmetro ajustável,, é (s) = 1 + G(s) = 1 + s(s + 2) = 0 ou, de forma equivalente para um sistema de 2a. ordem s 2 + 2s + = s 2 + 2ζω n s + ω n = 0 pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

7 Portanto, o lugar das raízes com variando de 0 a, é encontrado quando impõem-se G(s) = s(s + 2) = 1 e G(s) = ±180o, ±540 o, Como já mostrado, as raízes do sistema de 2a. ordem são s 1,2 = ζω n ± ω n ζ2 1 para ζ < 1 e θ = cos 1 ζ as raízes são complexas, para ζ > 1 as raízes são reais... Veja que quando considera-se apenas o processo, G(s), no LR geram-se apenas os pólos em malha aberta de G(s), ie, s 1 = 0 e s 2 = 2 pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

8 Como seria um gráfico do lugar das raízes? Veja que se para a EC: (s) = 1 + G(s) = s 2 + 2s + = 0 pode-se calcular várias raízes para variando de 0 a obter-se-ia = 0 { 2, 0} (malha aberta) = 0.5 { , } = 1 { 1, 1} = 2 { 1 ± j} = 5 { 1 ± j2} = 10 2 { 1 ± j9.9499} = 10 6 { 1 ± j10 3 } = { 1 ± j } (zeros em...) pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

9 Deste modo, o gráfico do lugar das raízes seria dado por jω Pólos em malha aberta 2 ω n 1 ω n θ e θ σ 1 Raízes em malha fechada 2 pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

10 Quais condições devem ser satisfeitas para que se possa julgar se um ponto pertence ao lugar das raízes? Condição de ângulo... E a condição de módulo fornece o ganho que aloca a raíz naquela posição Note que para atender a condição de ângulo, o LR corresponde a uma linha vertical, para ζ < 1 (sub-amortecimento) e uma linha horizontal para ζ > 1 (sobre-amortecimento) pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

11 Ie, para um ponto qualquer, s c, sobre a reta vertical, obtém-se a contribuição dos dois pólos do processo, s 1 e s 2, da forma s(s + 2) = s c (s c + 2) = [ (180 0 θ) + (θ) ] = s=s c s c jω s c + 2 s c θ 180 θ σ pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

12 O ganho no ponto s c é dado por s(s + 2) s=s c = s c s + 2 = 1 = s c s + 2 pag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

13 Genericamente, para se encontrar as raízes da EC: (s) = 1 + F(s), com m i=1 F(s) = (s + z i) n l=1 (s + p l) a relação F(s) = 1 + j0 deve ser verificada e, portanto, m i=1 (s + z i) n l=1 (s + p l) = 1 ( m n ) s + z i s + p l i=1 l=1 = 180 o, ±k360 o pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

14 Exemplo Considere um sistema de 2a. ordem G(s) = 1 (s 2 + as) Pode-se determinar o LR em função do parâmetro a. Então a EC é (s) = 1 + G(s) = 1 + s(s + a) = 0 (s) = s 2 + as + = 1 + as s 2 + = 0 Veja que a EC agora está no formato padrão, com o parâmetro a funcionando como um ganho, além de... pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

15 Logo pelo critério de ângulo e módulo, para uma raíz s 1 a s 1 s = 1 s 1 ( s 1 + j + s 1 j ) = ±180 o, ±540 o, pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

16 O LR poderia ser traçado determinando os pontos no plano-s que satisfazem a condição de ângulo e o valor de a, para uma dada raiz s 1, é obtido usando a condição de módulo, ie a = s 1 + j s 1 j s 1 Em particular, no ponto de amortecimento crítico, s 2 = σ 2 s 1 + j s 1 j a = = σ2 2 + σ 2 = σ 2 σ 2 Com o aumento de a, a partir deste ponto crítico, uma das raízes (ambas reais) é maior do que σ 2 e a outra menor pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 8

17 j Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. R(s) (a) G(s) 1 s(s a) Y(s) s 2 s 1 (b) s1 s 1 j s 1 j j Figure 7.5 (a) Single-loop system (b) Root locus as a function of the parameter a MASTER 85

18 Virtudes do Lugar das Raízes O LR fornece uma boa idéia de como os pólos em malha fechada variam em função de um (ou mais) parâmetro(s) ajustáve(l)(eis) Veremos como esta facilidade do LR para localizar os pólos em malha fechada e, conseqüentemente, caracterizar elementos da resposta temporal, é um dos métodos mais eficientes no domínio das transformadas para projeto de sistemas de controle Naturalmente não seria nada amigável traçar o LR da forma como foi apresentado, de modo que será discutido no próximo bloco uma metodologia, com características gerais, para esboçar o LR pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 8