Introdução ao Controle em Espaço de Estados - Projeto- Servomecanismo

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1 Introdução ao Controle em Espaço de Estados - Projeto- Servomecanismo Eduardo M. A. M. Mendes DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 1 / 22

2 Introdução Combinar o termo integral com a alocação de pólos. Suposições: 1) Equação de estado em Malha Aberta - (A, B) controlável. 2) Equação de estado não tem pólo/autovalor em s. 3) Equação de estado em MA não tem zero em s. Lei de Controle: { ξ(t) r(t) y(t) u(t) kx(t) + k 1 ξ(t) ξ(t) é a derivada do erro de rastreamento e ξ(t) é a integral do erro. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 2 / 22

3 Introdução (cont.) Tomando a transformada de Laplace e condições iniciais ξ( ), temos sξ(s) R(s) Y (s) E(s) ξ(s) E(s) s Se a equação de estado em Malha Fechada já tem um zero, ξ(t) não é necessário. Note que: u(t) [ ] [ ] x(t) K k 1 ξ(t) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 3 / 22

4 Introdução (cont.) Figura 1: Sistema em Malha Fechada A Malha Fechada é [ẋ ] ξ [ A BK Bk1 C ] [ x ξ ] + [ ] r 1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 4 / 22

5 Introdução (cont.) Podemos decompor O par ([ ] A, C [ ] A BK Bk1 em C [ ] A C [ ]) B é controlável? [ ] B [K ] k1 A é não-singular (não tem pólos/autovalores em zero). H() C(sI A) 1 B s CA 1 B. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 5 / 22

6 Introdução (cont.) det ([ A ]) B C singular e é controlável. r(t) R, t Em regime permanente det(ca 1 B) det(a), logo } {{ } } {{ } ([ ] A, C [ ]) B y ss lim t y(t) R y ss R u ss Kx ss + k 1 ξ ss [ ] A B é não C Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 6 / 22

7 Introdução (cont.) [ ] Para determinar [ xss u ss [ ] [ ] A BK Bk1 xss + C ξ ss [ ] [ ] [ A xss B + C ξ ss [ ] [ ] [ ] A B xss + R C 1 u ss [ ] R 1 ] u ss + [ ] R 1 ] vamos utilizar o seguinte resultado [ ] [ 1 A B A 1 A 1 BC(CA 1 B) 1 CA 1 A 1 B(CA 1 B) 1 C (CA 1 B) 1 CA 1 (CA 1 B) 1 ] Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 7 / 22

8 Introdução (cont.) logo [ xss u ss ] [ ] 1 [ ] A B C R [ A 1 B(CA 1 B) 1 ] R (CA 1 B) 1 R Mas (CA 1 B) H 1 () ξ ss 1 k 1 (u ss + Kx ss ) 1 k 1 (1 KA 1 B)H 1 ()R Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 8 / 22

9 Introdução (cont.) Finalmente y ss Cx ss C ( A 1 B(CA 1 B) 1 R ) R Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 9 / 22

10 Exemplo Considere o seguinte sistema em espaço de estados ẋ 1 1 x + u y [ 1 ] x Não tem pólos ou zeros em s. Solução: Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 1 / 22

11 Exemplo (cont.) [ A ] C [ ] B Usando o ITAE t e(t) dt para o sistema de 4 a ordem e olhando em tabelas que o polinômio ITAE de 4 a ordem é s 4 + 2, 1ω n s 3 + 3, 4ω 2 ns 2 + 2, 7ω 3 ns + ω 4 n com ω n 2 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 11 / 22

12 Exemplo (cont.) ou { s 4 + 4, 2s , 6s 2 λ1,2, 848 ± j2, , 6s + 16 λ 3,4 1, 25 ± j, 828 podemos chegar a seguinte realimentação de estados usando, por exemplo, Ackermann [ K k1 ] [ 3, 6 1, 4 2, 2 16 ] A Lei de Controle é ξ(t) r(t) y(t) u(t) [ 3, 6 1, 4 2, 2 ] x 1 x ξ(t) x 3 A Malha Fechada é Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 12 / 22

13 Exemplo (cont.) ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ξ 1 x , 6 13, 6 4, 2 16 x 2 x 3 + r 1 ξ 1 x 1 y [ 1 ] x 2 x 3 ξ Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 13 / 22

14 Projeto de Servomecanismo com Observadores Suposições { ẋ Ax + Bu y Cx Controlável e Observável. Sem pólos/autovalores em s. Sem zeros em s. A forma do compensador com observador é ξ(t) r(t) y(t) ˆx (A LC)ˆx + Bu + Ly u K ˆx + k 1 ξ(t) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 14 / 22

15 Projeto de Servomecanismo com Observadores (cont.) [ ] [ ξ ˆx Bk 1 A BK LC ] [ ] ξ + ˆx [ ] 1 r + [ ] 1 y L u [ k 1 K ] [ ] ξ ˆx Juntando as equações acima com a malha fechada, temos: ẋ A Bk 1 BK x ξ C ξ + 1 r ˆx LC Bk 1 A BK LC ˆx y [ C ] x ξ ˆx Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 15 / 22

16 Projeto de Servomecanismo com Observadores (cont.) Fazendo e x ˆx ė (A LC)e e ẋ A BK Bk 1 BK x ξ C ξ + 1 r ė A LC e y [ C ] x ξ e Repare [ ] A Bk Bk1 e C } {{ } Projeto Anterior A LC } {{ } Projeto de Observador Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 16 / 22

17 Projeto de Servomecanismo com Observadores (cont.) Verificando o regime permanente A BK Bk 1 BK x ss C ξ ss + 1 R A LC e ss A B x ss C u ss + 1 R A LC e ss onde u ss K(x ss e ss ) + k 1 ξ ss kx ss + Ke ss + k 1 ξ ss que resulta em duas equações (A [ ] LC)e ss [ A B C ] [ xss u ss ] + [ ] R 1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 17 / 22

18 Projeto de Servomecanismo com Observadores (cont.) (A LC) é não singular e ss [ ] [ ] [ ] [ ] A B xss + R é a mesma do projeto anterior, logo C u ss 1 y ss R. Figura 2: Sistema em Malha Fechada com Observador O observador da figura é ˆx (A LC)ˆx + Bu + Ly Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 18 / 22

19 Exemplo ẋ 1 1 x + u y [ 1 ] x Sabemos do exemplo anterior que [ K k1 ] [ 3, 6 1, 4 2, 2 16 ] logo [ ] A BK Bk1 C , 6 13, 6 4, Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 19 / 22

20 Exemplo (cont.) com pólos/autovalores em λ 1,2, 848 ± j2, 53 λ 3,4 1, 25 ± j, 828. No caso do observador, os autovalores/pólos desejados são λ 1,2 13, 3 ± j14, 9 λ 3,4 133, 3 que é bem mais rápido do que a realimentação. Nesse caso: 158 L Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 2 / 22

21 Exemplo (cont.) e ξ ξ 1 ˆx 1 ˆx ˆx ˆx 2 + r + ˆx , 6 13, 6 4, 2 ˆx 3 Juntando tudo ξ u [ 16 3, 6 1, 4 2, 2 ] ˆx 1 ˆx 2 ˆx y Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 21 / 22

22 Exemplo (cont.) e ẋ 1 1 x 1 ẋ 2 1 x 2 ẋ , 6 1, 4 2, 2 x 3 3 ξ 1 ξ + 1 r 6 ˆx ˆx ˆx ˆx ˆx , 6 13, 6 4, 2 ˆx 3 y [ 1 x 2 ] x 3 ξ ˆx 1 ˆx 2 ˆx 3 x 1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 22 / 22