Função de Transferência de Malha Fechada

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1 Função de Transferência de Malha Fechada R(s) B(s) + - E(s) Controlador Gc(S) U(s) Sensor G(S) Planta C(s) C(s)=G(s)*U(s) H(S) C(s)=G(s)*Gc(s)*E(s) C(s)=G(s)*Gc(s)*[ R(s)-B(s) ] C(s)=G(s)*Gc(s)*[ R(s)-H(s)*C(s) ] Função de Transferência de Malha Fechada C(s) + G(s)*Gc(s)*H(s)*C(s) =G(s)*Gc(s)*R(s) C(s) [ 1+G(s)*Gc(s)*H(s) ]=G(s)*Gc(s)*R(s) C(s) R(s) = G(s)*Gc(s) 1+Gc(s)*G(s)*H(s) Unidade 01 1/13

2 Função de Transferência de Malha Fechada Gmf(s)= G(s) 1+G(s)*H(s) Na realimentação as ações de correção/controle baseiam-se na diferença entre o desempenho real e o desempenho desejado!!! Unidade 01 2/13

3 Redução de Diagramas de Blocos Unidade 01 3/13

4 Transformação De Diagramas de Blocos Unidade 01 4/13

5 Feedback e as Perturbações Disturbances are an important aspect of control systems. In fact if there were no disturbances there is no reason to use feedback. In Figure there are two types of disturbances, labeled d and n. The disturbance labeled d is called a load disturbance and the disturbance labeled n is called measurement noise. Load disturbances drive the system away from its desired behavior. Measurement noise corrupts the information about the process variable obtained from the measurements. Unidade 01 5/13

6 CONTROLADORES PARA SISTEMAS EM MALHA FECHADA Controlador Proporcional : Controlador Proporcional Integral : Controlador Proporcional Integral Derivativo : Unidade 01 6/13

7 Controlador PID FT genérica de um controlador PID: D( s) U ( s) 1 = = K 1+ + T s D E( s) T s I em que: K - ganho proporcional; - tempo integral; - tempo derivativo. T I T D Unidade 01 7/13

8 CONTROLADORES PARA SISTEMAS EM MALHA FECHADA - PROPORCIONAL Suponha a planta de primeira ordem: G(s)= K 1+Ts Suponha o controle proporcional, u(t)=k 1 *e(t) então: Se R 2 (t)=0 e R 1 (t) for um degrau então: Unidade 01 8/13

9 CONTROLADORES PARA SISTEMAS EM MALHA FECHADA - PROPORCIONAL Se R 2 (t)=0 e R 1 (t) for um degrau então: Se R 1 (t)=0 e R 2 (t) for um degrau então: { Logo K 1 *K >> 1.0 Unidade 01 9/13

10 Controlador Proporcional Para sistemas de primeira ordem, o controlador proporcional sempre apresenta erro em regime permanente. Aumentando o ganho de malha aberta (K 1 ) o erro pode diminuir, mas nunca será eliminado. Um ganho elevado diminui o transiente mas pode causar instabilidade, especialmente em sistemas de ordem elevada. Unidade 01 10/13

11 CONTROLADORES PARA SISTEMAS EM MALHA FECHADA PROPORCIONAL INTEGRAL Suponha a planta de primeira ordem: G(s)= K 1+Ts Suponha o controle PI, então: Unidade 01 11/13

12 CONTROLADORES PARA SISTEMAS EM MALHA FECHADA PROPORCIONAL INTEGRAL Dado que Se tanto R 1 (t) como R 2 (t) forem degrau então: Unidade 01 12/13

13 CONTROLADORES PARA SISTEMAS EM MALHA FECHADA PROPORCIONAL INTEGRAL Para sistemas de primeira ordem o controlador PI produz erro zero em regime para entradas degrau. O controlador introduz um integrador (raiz na origem ) na Função de Transferência de Malha Aberta. Unidade 01 13/13

14 Comportamento dos controladores PID O comportamento dos controladores PID segue certas regras empíricas: Reduzindo a banda proporcional (equivalente a aumentar o ganho), o sistema responde mais rapidamente, mas tem um sobresinal maior: Saídas simuladas do sistema em malha fechada com vários valores de ganho do controlador proporcional. Unidade 01 14/13

15 g Reduzindo a constante de tempo integral, o erro de regime do sistema cai mais rapidamente, mas o sistema torna-se mais instável, com maiores oscilações. O caso T i = corresponde ao controle proporcional apenas. Saídas simuladas do sistema em malha fechada com controlador PI e vários valores do tempo integral. Ganho proporcional = 1. Unidade 01 15/13

16 g Aumentando a constante de tempo derivativo, o amortecimento do sistema aumenta até um certo ponto e depois volta a diminuir e o sistema torna-se instável. Saídas simuladas do sistema em malha fechada com controlador PID e vários valores do tempo derivativo. Ganho proporcional = 3. Tempo integral = 2. Unidade 01 16/13

17 Identificação de Sistemas Físicos 2π 2 = = wn 1 ξ T 2π = 2 T 1 ξ 2 wn Gs () = s + 2ξ ws + w Unidade 01 17/13 w w d n n 2 n

18 Identificação de Sistemas Físicos resposta monotônica e suave t y(t) t y(t) αt βt γt yt ( ) = y( ) + Ae + Be + Ce +... αt yt ( ) y( ) Ae y( ) yt ( ) Ae [ ] log y( ) y( t) log ( A) log ( e) αt αt A=10^0.125 =1.33 Equação de uma reta que resolvida para A e α gera: log 10( e) α = Δt α 1.0 αt log 10 y( + ) Ae y( t) log 10( B) log 10( e) βt que pode ser resolvida para B e β.... e o processo se repete pa C, γ, D,... Unidade 01 18/13

19 Identificação de Sistemas Físicos Resposta monotônica e suave αt βt γt yt ( ) y( ) + Ae + Be + Ce +... t yt ˆ( ) e e 5.8t Portanto a Transformada de Laplace da resposta ao degrau é: Y() s = + = G()* s s s+ 1 s+ 5.8 s Gs () = 0.58s s(s+1)(s+5.8) Unidade 01 19/13

20 Ajuste de Controladores PID (Ziegler Nichols) HIPÓTESE: O controlador e a planta são da forma: Sistemas de 2ª ordem com delay 1 Gc() s = Kp(1 + + Tds) Ts i G( s) = Ke τ s + td s 1 Há dois métodos de sintonia para tais sistemas: (1) o do decaimento de 25% e o (2) do limite da estabilidade Unidade 01 20/13

21 Ajuste de Controladores PID (Ziegler Nichols : decaimento de 25% ) (1) decaimento de 25% (ζ = 0,21). O transiente dominante cai 25% depois de um período de oscilação. Estratégia: Excitar a planta com uma entrada ao degrau e identificar os parâmetros na resposta. K Gs () = Ke τ s t s d + 1 Unidade 01 21/13 y(t) td τ

22 Ajuste de Controladores PID (Ziegler Nichols : decaimento de 25% ζ= 0,21 ) Tipo de Controlador P PI PID Ganho K p =1/RL K p =0.9/RL ; T i =L/0.3 K p =1.2/RL ; T i =2L ; T d =0.5L onde: K R= ; L= td e τ 1 Gc() s = Kp(1 + + Tds) Ts i Unidade 01 22/13 K t d τ Ponto de inflexão da curva S

23 Ajuste de Controladores PID (Ziegler Nichols : limite da estabilidade) IDÉIA: No diagrama, aumentar o ganho k p até o valor de Kcr que é o ganho limite da estabilidade. Impulso unitário Os ganhos do controlador são: Unidade 01 23/13

24 Ajuste de Controladores PID (Ziegler Nichols : Exemplos) Observações: 1. Estas regras são largamente empregadas e podem ser aplicadas para sistemas com modelo conhecidos e desconhecidos, especialmente nestes últimos. 2. Para plantas que tenham integradores (pólo na origem) estas regras podem não funcionar!! 3. As plantas sintonizadas por este método apresentam overshoot entre 10 e 60%, ficando na média com 25%. a) b) 5s 20e (20s+ 10)( s+ 8) Unidade 01 24/13

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