Projeto de sistemas de controle

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1 Projeto de sistemas de controle Os controladores clássicos encontrados na literatura podem ser classificados como: Controladores de duas posições (ou on-off). Controladores proporcionais. Controladores integrais. Controladores proporcional-integrais. Controladores proporcional-derivativos. Controladores proporcional-integral-derivativos. Os controladores também podem ser classificados de acordo com a espécie de energia empregada na operação: controladores pneumáticos, controladores hidráulicos ou controladores elétricos. 1 of 45

2 Controlador On-Off O elemento atuante possui apenas duas posições fixas. Controle relativamente simples e barato. u(t): sinal na saída do controlador; e(t): sinal de erro atuante. u(t) permanece em um valor máximo ou em um valor mínimo, conforme e(t) seja positivo ou negativo: { U1, parae(t) > 0 u(t) = U 2, parae(t) < 0 onde U 1 e U 2 são constantes. U 2 é normalmente zero ou U 1. 2 of 45

3 Geralmente, os controladores on-off são dispositivos elétricos. Costumam-se usar válvulas operadas por solenóides elétricos. Um intervalo diferencial faz com que u(t) mantenha seu valor atual até que e(t) tenha variado ligeiramente acima de zero. Com isso, evita-se operações muito frequentes do controle on-off. Um exemplo do uso desse controlador é para controle de vazão. 3 of 45

4 Observando-se a curva típica do sistema, percebe-se que as oscilações diminuem ao se reduzir o intervalo diferencial. No entanto, o número de comutações por minuto aumenta, o que reduz a vida útil do componente. 4 of 45

5 Controlador Proporcional A relação entre a saída do controlador u(t) e o sinal de erro atuante é dada por: u(t) = K p e(t) G p (s) = U(s) E(s) = K p onde K p é denominado ganho proporcional. O controle proporcional tem a vantagem de ser de simples implementação. O aumento do ganho proporcional acelera a resposta, pois, quanto maior o erro, maior será o termo proporcional de compensação. O aumento do ganho proporcional tende a diminuir os erros em regime permanente. Valores altos de K p ajudam a reduzir os efeitos dos distúrbios e a sensibilidade à variação de parâmetros na planta. Porém, não rejeita completamente distúrbios e erros em estado estacionário geralmente irão persistir. 5 of 45

6 O aumento excessivo do ganho pode levar o sistema em malha fechada à instabilidade e amplificação indesejada de ruídos de medidas presentes no sistema. Esse controlador é essencialmente um amplificador com ganho ajustável. A função de transferência é dada por: G p (s) = V 0(s) V i (s) = R 4 R 3 R 2 R 1. 6 of 45

7 Controlador Integrativo Ação de controle u(t) é dada pela integral do erro: u(t) = K i t 0 e(t)dt G i (s) = U(s) E(s) = K i s As suas vantagens incluem redução ou eliminação de erros em estado estacionário (aumenta o tipo do sistema). A função de transferência é dada por: G i (s) = V 0(s) V i (s) = R 4 R 3 1 R 1 C 2 s 7 of 45

8 Controlador Proporcional-Integrativo (PI) A ação de controle PI é dada por: u(t) = K p e(t)+k i t 0 e(t) dt G pi (s) = U(s) E(s) = K p + K i s = K p ( 1+ 1 ) T i s onde K i = K p /T i. T i, tempo integrativo (ou reset time), é o tempo para que a saída do integrador atinja o valor K p para uma entrada unitária. A ação integral acelera o movimento do processo em direção ao set-point, eliminando (ou diminuindo) o erro residual que ocorre com controlador puramente proporcional. Como o termo integral isolado acumula erros do passado, valores elevados para K i provocam o efeito colateral de aumento no sobressinal. O sistema se torna menos estável. 8 of 45

9 A função de transferência do controlador PI abaixo é dada por: G pi (s) = V 0(s) V i (s) = R 4 R 2 R 2 C 2 s +1 R 3 R 1 R 2 C 2 s 9 of 45

10 Para ajustar K p e K i separadamente, pode-se usar a configuração abaixo. 10 of 45

11 Controlador Proporcional-Derivativo (PD) A ação de controle PD é dada por: u(t) = K p e(t)+k d de(t) dt G pd (s) = U(s) E(s) = K p +K d s = K p (1+T d s) onde K d = K p T d, sendo T d chamado de tempo derivativo. Note que este tipo de função de transferência implica em um ganho que cresce com o aumento da frequência. O sistema fica extremamente sensível a ruídos de alta frequência. A ação derivativa dá-se, geralmente, com a introdução de um polo em alta frequência, o que limita o ganho em alta frequência, tal que ( G pd (s) = K p 1+ T ) d s 1+γT d s ondeγ éumacontantepositivacomvalortípicodeγ = 0,1. Odiferenciador é então aproximado por um integrador no ramo de realimentação. 11 of 45

12 A ação derivativa depende da taxa de variação do erro. O controle PD melhora o amortecimento, reduz o máximo sobressinal e diminui o tempo de assentamento. O controle PD pode amplificar o ruído de alta frequência. Geralmente, necessita de um valor de capacitor relativamente alto. A ação derivativa também é conhecida como ação antecipatória ou ação preditiva, pois a derivada de uma função está relacionada com a tendência de variação desta função. Dessa forma, a aplicação de um sinal proporcional à derivada do sinal de erro consiste em agir de acordo com a tendência de evolução desse sinal. 12 of 45

13 Opondo-se a todas as variações, a ação derivativa tem um grande efeito estabilizante no controle, mas ela não melhora o erro em regime. O tempo derivativo T d é o intervalo de tempo que a ação de controle derivativa antecede a ação de controle proporcional. O termo derivativo não atua quando não existe variação do erro, logo ele não pode ser usado isoladamente. Se o erro em regime estacionário for constante, o termo derivativo não interfere nesse erro. A função de transferência do controlador PD abaixo é dada por: G pd (s) = R 4 R 3 R 2 R 1 (R 1 C 1 s +1) 13 of 45

14 Para ajustar K p e K d separadamente, pode-se usar a configuração abaixo. 14 of 45

15 Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID) Soma de três termos: um termo proporcional ao erro, um termo proporcional a integral do erro e um termo proporcional a derivada do erro. Um projeto PID completo envolve um compromisso entre os três parâmetros a serem sintonizados. A ação de controle PID é dada por: 15 of 45 u(t) = K p e(t)+k i t 0 e(t)dt +K d de(t) dt

16 U(s) E(s) = K p + K i s +K ds = K p ) = K p ( 1+Ti s +T i T d s 2 T i s ( 1+ 1 ) T i s +T ds A função de transferência do controlador PID abaixo é dada por: G pid (s) = R 4 R 2 (R 1 C 1 s +1)(R 2 C 2 s +1) R 3 R 1 R 2 C 2 s 16 of 45

17 Para se ajustar K p, K i e K d separadamente, pode-se usar a configuração abaixo. 17 of 45

18 A figura a seguir ilustra as ações P, PD e PID de controle sobre uma sistema cuja função de transferência é dada por G(s) = 1/(5s 2 +6s +1). Pode-se observar que o termo derivativo causa uma redução nas oscilações e que o termo integrativo reduz o erro a zero, mas causa um aumento nas oscilações. 18 of 45

19 Implementação PID Note que o PID é uma estratégia, uma metodologia, que pode ser implementada usando diversos equipamentos ou tecnologias distintas. Portanto PID não é exclusivo de um unico equipamento ou tecnologia. (a) PID Novus (b) PID ABB (c) PID Matlab com DAQ 19 of 45 Figura: Imagens de distintas implementações PID

20 Integrador Antiwindup Pode ocorrer na prática que a faixa dinâmica de um atuador seja limitada. É preciso limitar os sinais de controle aplicados ao processo dentro uma faixa de operação especificada. O sinal de entrada do processo deve ser limitado dentro desta faixa de operação, quando apresenta-se saturação. Quando um integrador é utilizado, um fenômeno denominado windup pode ocorrer. O integrador mantem-se integrando muito embora sua saída tenha atingido o seu sinal maximo (ou seja a saida está saturada). Figura: Sistema realimentado, com saturação. 20 of 45

21 Integrador Antiwindup Suponha que um elevado sinal de referência faça com que u c (t) sature em u max. O integrador continuará integrando o erro e(t), fazendo com que u c (t) continue crescendo. Nesse caso, o aumento em u c (t) não influencia em nada pois já estamos operando no limite u max. A saída do integrador pode ficar muito elevada, se a saturação demorar um período longo. Como a integral do erro vai de 0 a t, o erro acumulado pode gerar um grande sobresinal na resposta do sistema. Idealmente, o integrador deveria ser desligado assim que a saída do atuador saturar. Uma solução possível de controle PI neste caso chama-se PI com antiwindup. 21 of 45

22 Integrador Antiwindup Figura: Modificação do Integrador: usando antiwindup. 22 of 45

23 Sintonia de Controladores PID Objetivo: Determinar K p, K i e K d de modo a satisfazer especificações de projeto. Os efeitos independentes dos ganhos K p, K i e K d na resposta de malha fechada do sistema são resumidos na Tabela seguinte: t r M O t s e ss Estabilidade K p Decresce Aumenta Aumenta pouco Decresce Degrada K i Decr. Pouco Aumenta Aumenta Decr. Muito Degrada K d Decr. Pouco Decresce Decresce Influi Pouco Melhora Figura: Controle PID de uma planta. 23 of 45

24 Sintonia de Controladores PID Por que PID? Pois PID apresenta muitas vantagens. Além disso, a maior parte dos controladores industriais empregam esquemas de controle baseados em PID. Usualmente, os controladores PID na indústria são ajustados empiricamente (tentativa-erro). Métodos de sintonia automática vêm sendo desenvolvidas e algumas implementações industriais de controlador PID têm a capacidade de efetuar a sintonia automática on-line. Regras empíricas são propostas na literatura e permitem ajustar os parâmetros do PID sem conhecimento do modelo matemático da planta. Tais regras fornecem estimativas dos valores dos parâmetros do controlador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia mais fina, caso necessária. 24 of 45

25 Métodos Baseados na Curva de Reação Baseados na resposta experimental da planta (em malha aberta) ao sinal de excitação em degrau. Figura: Resposta ao degrau unitário de uma planta. Caso a planta não possua integradores nem polos complexos, a resposta ao degrau pode ter o aspecto de um S (curva de reação). Os métodos baseados na curva de reação se aplicam somente em plantas com resposta ao degrau que tenham esse aspecto. 25 of 45

26 Métodos Baseados na Curva de Reação A curva em S pode ser caracterizada pelo ganho estático K, pelo atraso L e a constante de tempo T. A função de transferência pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem com atraso de transporte. A função de transferência e Ls corresponde a um atraso no tempo. Daí o nome atraso de transporte (ou tempo morto). Y(s) R(s) = K e Ls Ts of 45

27 Métodos Baseados na Curva de Reação A seguir são apresentadas três formas distintas de se obter K, L e T. Na primeira forma, desenha-se uma linha tangente ao ponto de inflexão e determina-se a intersecção desta linha com c(t) = 0 e c(t) = K. T é dado pela distância AC, enquanto que L representa a intersecção da linha traçada com o eixo t. A inclinação da reta é P = K T, como mostrado na Figura. Figura: Curva de resposta em forma de S. 27 of 45

28 Métodos Baseados na Curva de Reação A segunda forma consiste em determinar T tal que a resposta seja 0.63K, que é representado pelo segmento AB da Figura. Se o processo é dado por K e Ls Ts+1, as duas formas resultam em resultados idênticos. A forma dois costuma gerar melhores resultados. A terceira forma é denominada método de identificação de Broída. Broída traçou a resposta do sistema de primeira ordem sobre a curva de ordem superior obtida experimentalmente. Verificou que havia um intervalo comum entre elas: um ponto A situado a 28% de y e um ponto B situado a 40% de Y, como ilutrado na Figura. 28 of 45

29 Método Broida Os valores de T e L são obtidos da seguinte forma: Cálculo de T: T = 5.5 (t 2 t 1 ). Cálculo de Lu: L = 2.8 t t of 45

30 Método 1 de Ziegler e Nichols: Ziegler e Nichols sugeriram escolher K p, T i e T d de acordo com a seguinte tabela: Controlador K p T i T d T P 0 KL 0.9T L PI 0 KL T PID 2L 0.5L KL O método Ziegler-Nichols considerou a forma de identificação curva S. Os valores nesta tabela foram determinados de forma empírica. O controlador PID sintonizado por esse método fornece ( G c (s) = K p 1+ 1 ) T i s +T ds = 0.6 P ( s + 1 L s ) 2, (1) Controlador Z-N possui um polo na origem e zeros duplos em s = 1/L. 30 of 45

31 Método de Cohen-Coon: Controlador K p T i T d ( T P 1+ 0,35τ ) 0 KL 1 τ ( 0.9T PI τ ) 3.3 3τ 0 KL 1 τ 1+1.2τ ( 1.35T PID τ ) 2.5 2τ KL 1 τ τ L τ τ L τ = L/(L+T). 31 of 45

32 Método de Chien-Hrones-Reswick (CHR): Chien, Hrones and Reswick (CHR) propuseram dois critérios de sintonia: resposta mais rápida com 0% de ultrapassagem e resposta mais rápida com 20% de ultrapassagem. Sobresinal 0% 20% Controlador K p T i T d K p T i T d P 0.3T KL 0.7T KL 0.35T 0.6T PI KL 1.2T KL PID 0.6T KL T 0.5L 0.95T KL 1.4T 0.47L T 32 of 45

33 Exemplo Considere um processo a ser controlado com a seguinte função de transferência 1 G(s) = (s +0.5)(s +1)(s +1)(s +2) O sistema de controle engloba um controlador PID em série com a planta (compensação em série) e realimentação unitária. Utilize o método de sintonia de Ziegler-Nichols em malha aberta para obter uma estimativa dos parâmetros de controlador PID. 33 of 45

34 Figura: A resposta ao degrau de G(s). Solução: Verifica-se que L = 1.3; T = 5.45; K = 1. Logo, segundo o método de Ziegler e Nichols da curva de reação, tem-se que K p = 5.03; T i = 2.6; T d = A função de transferência do controlador PID é dada por (s )2 Gc(s) = 3.27 s (2) 34 of 45

35 Figura: Reposta ao degrau do sistema em malha fechada. Os valores K p = 5.03; T i = 2.6; T d = 0.65 geram resposta bastante oscilatória. Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partida para, logo após, realizar-se uma sintonia fina. 35 of 45

36 Métodos Baseados na Sensibilidade Limite Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle, considerando, inicialmente, somente a ação proporcional K p para levar o sistema à condição de oscilação sustentada. Inicialmente, assuma T i = e T d = 0. Utilizando apenas a ação proporcional, aumente K p de 0 a K cr, no qual a saída atinja uma oscilação sustentada, ou seja, o sistema equivalente torne-se marginalmente estável. Se a saída não apresentar uma oscilação sustentada, então esse método não se aplica, ou seja, o sistema deve ser capaz de instabilizar com o aumento do ganho para que o método seja aplicado. Figura: Sistema em malha fechada com controlador proporcional. 36 of 45

37 Métodos Baseados na Sensibilidade Limite Figura: Oscilação sustentada com período P cr. Se a saída apresentar uma oscilação sustentada, então marque o valor P cr. 37 of 45

38 Método 2 de Ziegler e Nichols Ziegler e Nichols sugeriram escolher K p, T i e T d de acordo com a seguinte tabela: Controlador K p T i T d P 0.5K cr 0 PI 0.45K cr P cr PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr 38 of 45

39 Método 2 de Tyreus e Luyben Tyreus e Luyblen propuseram uma tabale para o ajusta dos parâmetros dos controladores PI e PID, baseados na sensibilidade limite. Controlador K p T i T d PI K cr / P cr 0 PID K cr / P cr P cr / of 45

40 Exercício Considere o sistema de controle acima. Considere G(s) = 1 s(s +1)(s +5) Aplique o 2o. metodo de Ziegler-Nichols para obter um controlador PID. Solução: A função de transferência de malha fechada do sistema considerando T i = e T d = 0 é dado por Y(s) R(s) = G C(s)G(s) 1+G C (s)g(s) = K p s(s +1)(s +5)+K p 40 of 45

41 O valor de K p que leva o sistema a uma oscilação sustentada (K cr ) pode ser obtido pelo critério de Routh-Hurwitz. s s 2 6 K p s 1 30 K p 6 s 0 Como isso, K cr = 30. A frequência de oscilação sustentada é encontrada substituindo-se s = jω na equação característica, ou seja, Logo, ω 2 = 5 ω = 5. Portanto, 41 of 45 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil K p (jω) 3 +6(jω) 2 +5(jω)+30 = 0 6 ( 5 ω 2) +jω ( 5 ω 2) = 0. Encontramos: P cr = 2π ω = 2π 5 = 2,8099. K p = 0.6K cr = 18 T i = 0.5P cr = T d = 0.125P cr =

42 A função de transferência do controlador PID é dada por ( G C (s) = K p 1+ 1 ) ( T i s +T ds = ) 1.405s s = (s )2 s 42 of 45

43 Sintonia Automática de Controladores A sintonia automática de controladores PID foi inicialmente proposta por Åström e Hägglund. Hoje em dia, há vários controladores comerciais com este recurso. A estrutura de um controlador com sintonia automática baseado em relé é apresentado na figura. Figura: Esquema de sintonia automática a relé. 43 of 45

44 Sintonia Automática de Controladores No método de oscilação a relé, uma oscilação com frequência adequada é gerada pela não linearidade do dispositivo. Assumindo que o relé possui amplitude h e que a oscilação na saída do processo possui amplitude a, a oscilação sustentada na saída possui frequência crítica igual a ω cr e ganho crítico dado por K cr = 4h (3) πa Portanto, com K cr e P cr = 2π/ω cr é possível fazer o ajuste dos parâmetros do controlador através do segundo método de Ziegler e Nichols ou de qualquer outro método baseado na sensibilidade limite. 44 of 45

45 Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 45 of 45

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