Período : exp( j α) α/2π = N/K (irredutível) em que se N,K Z então K é o período.

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1 Período : exp( j α) α/2π = N/K (irredutível) em que se N,K Z então K é o período. sin(t) = sin (t + T), ou exp(t) = exp(t+t) em que T é o período. [sin(a) e/ou cos(a) ]+[ sin(b) e/ou cos(b)] = o periodo é o mmc{ta,tb} mmc{3,5}=15 Sistema com e sem memória - Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. Causalidade Um sistema causal (não-antecipativo) é aquele para o qual o sinal de saída depende apenas Invertibilidade e sistema inverso - Um sistema diz-se invertível quando sinais de entrada distintos conduzem a sinais de saída distintos, i.e., quando a relação de transformação entrada/saída é uma aplicação injectiva. Estabilidade- Um sistema diz-se estável de entrada limitada/saída limitada quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. Invariância temporal - Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação no tempo do sinal de entrada conduz à mesma translação no tempo do sinal de saída, i.e., x(t) y(t) x(t-to) y(t-to) Linearidade - Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição: Se o sinal de entrada é uma combinação linear de vários sinais, então a saída Do sistema é a mesma combinação linear(sobreposição) das saídas correspondentes A cada uma das entradas individuais. Aditividade Escalonamento x1 + x2 y1 + y2 ax1 ay1,, em que a é qlq constante complexa. Incrementalmente linear - Um sistema, discreto ou contínuo, diz-se incrementalmente linear quando responde linearmente a variações no sinal de entrada. a x1 a y1 + sinal constante ; É linear mas incrementa sempre algo na saída! h(t) SLITs Resposta Impulsional (domínio do tempo) A resposta impulsional de um SLIT discreto, h(n), (ou contínuo, h(t)) é, por definição, o sinal de sáida do SLIT quando o sinal de entrada é um impulso unitário d Dirac. Caso discreto: soma de convolução x(n) [h(n)] y(n) x(n) = E(k=-oo, +oo) x(k)d(n-k) 1. o SLIT é invariante no tempo, pelo que

2 d(n) -> h(n) => d(n-k) -> h(n-k) ; y(n) = E(k=-oo, +oo) x(k) h(n-k) = x(n) * h(n) Caso contínuo: integral de convolução y(t) = Integral(k=-oo, +oo) x(&) h(t-&) d& 1. Comutativa: x(n) * h(n) = h(n) * x(n) 2. Associativa: x(n) * [ h1(n)*h2(n) ] = [ x(n)*h1(n) ] * h2(n) 3. Distributiva: x(n) * [h1(n)+h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n) Memória - A resposta impulsional de um sistema contínuo sem memória Em suma: h(n)=0, n diferente de 0. h(t)=0, t diferente de 0. Causalidade - A resposta impulsional num sistema discreto/contínuo causal h(n/t)=0, n/t<0. Criticamente estável O Somatorio de oo a +oo de h(n) ou o integral oo a +oo de h(t), em módulo é infinito. No intanto o [ lim n/t->oo h(n/t) ] diferente de oo. Atenção que isto acontece quando é entrada do sistema temos o escalão Unitário! h(n) = y(n) y(n-1) H(s) SLITs LAPLACE - Função de transferência X(s) = Integral (-oo,+oo) x(t) exp(-st) dt Algo esquisito que dificilmente aparecerá: X(t) = 1 /(2pi j) Integral (o-joo, o+joo) X(s) exp(st) ds Propriedades da Transformada de Laplace Propriedade2: Translação no Tempo x(t) X(s) RC= R ; x(t-to) exp(-sto) X(s) Propriedade 3: Translação no Domínio da Transformada x(t) X(s) RC= R ; Exp(So t) x(t) X(S-So) RC= R + Re(So) Propriedade 4: Mudança de Escala x(t) X(s) RC=R ; x(at) 1/ a X(s/a) RC = a R Propriedade 5: Convolução x1(t) X1(s) RC= R1

3 x2(t) X2(s) RC= R2 ; x1(t) * x2(t) X1(s) X2(s) RC= R1 intersecção R2 Propriedade 6: Diferenciação no Domínio do Tempo x(t) X(s) RC=R ; dx(t)/dt sx(s) RC= R Propriedade 7: Diferenciação no Domínio x(t) X(s) RC=R ; -tx(t) dx(s)/ds RC = R Propriedade 8: Integração no Domínio do Tempo x(t) X(s) RC=R ; Integral(-oo,t) x(&) d& 1/s X(s) RC=R intersecção com (Re(s) > 0) Série e Paralelo função de transferência Função transferência 2 SLITS em série = H1(s) x H2(s) (produto) Função transferência 2 SLITS em paralelo = H1(s) + H2(s) (soma) O SLIT é causal sse RC da função de transferência for uma região do plano s que se estende desde um valor finito de Re(s) até (inclusive) +oo. (nº zeros ñ sup ao nº pólos) O SLIT é estável se a RC da função de transferência contém o eixo imaginário, sse todos os polos se situarem no semiplano complexo esquerdo (nº zeros ñ sup ao nº pólos) criticamente estável sse todos os pólos se situarem no semiplano complexo esquerdo ou sobre o eixo imaginário, mas os pólos com parte real nula são polos simples. ; ; Com a resposta ao impulso unitário é possível obter a resposta do sistema a qualquer entrada? R: Sim. Como o sistema é linear e invariante no tempo a sua reposta é a convolução entre a resposta ao impulso e o sinal de entrada! A resposta ao impulso é h(n/t) (discreto/contínuo). ( )= x( n+2k), Causal, Não é estável, Linear, Invariante no tempo. y(n) = 1/ x(n) ; x(n) diferente 0 e 0 qd x(n)=0 s/mem,causal,inv.tp,ñlinear,instável,invtivel! Transformada de Laplace Unilateral Propriedade 6: Diferenciação no domínio do tempo x(t) X(s) entao, dx(t)/dt sx(s)-x(0+), em que x(o+)=lim (t->0+) x(t) x(t) = Xp + Xi Xp(t) = ½ [x(t) + x(-t)] Xi(t)= ½ [x(t)-x(-t)]

4 Se um sinal é par: x(t)=x(-t), se ímpar: x(t)=-x(-t) Propriedade 7: Propriedade 8: Integração no domínio do tempo x(t) X(s) entao, Integral x(&)d& 1/s X(s) e Int(-oo,t) x(&)d& 1/s X(s)+ 1/s Int(-oo,0) x(&)d& Propriedade 9: Teorema do valor inicial Se x(t) nã o contiver impulses ou singularidades de ordem superior na origem (t=0), o limita à direita de x(t) qd t->0 é x(0+) = lim (s->+oo) s X(s) Propriedade 9: Teorema do valor final Se lim (s->+oo) x(t) existir,i.e., se x(t) convergir para um valor constante qd t->+oo, tem-se lim (t->+oo) x(t) = lim(s->0) sx(s) A transformada de Laplace unilateral permite determinar a solução de uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, com condições iniciais não nulas, a sinais de entrada causais. 1) d2 y(t)/dt2 + 3 dy(t)/dt + 2y(t) = x(t), com condições iniciais y(0)=3 e y (0)=-5 Passagens: y(t) Y(s) dy(t)/dt sy(s) y(0) = sy(s)-3 d2 y(t)/dt2 s^2 Y(s)-sy(0)-y (0)= s^2y(s)-3s+5 1 ) ( s^2 Y(s) - 3s+5 ) + 3 sy(s) Y(s) = X(s) Resolvendo a ordem a Y(s): Y(s)= X(s)/(s^2+3s+2) + 3s+4/(s^2+3s+2) Fazendo x(t)=2u_1(t) X(s)=1/s, Y(s)= = 1/s 1/(s+1) + 3/(s+2) y(t ) = [ 1- exp(-t)+ 3exp(-2t) ] U_1(t) O 1º termo tem as mesma forma que o sinal de entrada, i.e., as respectivas transformadas de Laplace são ambas proporcionais a 1/s. Representa a resposta em regime estacionário do sistema. No domínio do tempo, os 2º e 3º termos convergem para 0 qd t->+00, representando o regime transitório, devido simultaneamente à presença da entrada diferente de zero a partir do instante t=0, e às condições iniciais não nulas.

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