COQ 790 ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA 10: Domínio Discreto; Transformada Z.

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química COQ 790 ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA 10: Domínio Discreto; Transformada Z. 2014/1

2 Introdução ao Domínio Discreto Em aplicações digitais, o tempo contínuo é observado em intervalos discretos... y(t) y(t k ) t t t 0 t 1 t 2 t 3... t k y(t) y(t k ) Amostrador

3 Desejamos aproximar f(t) por uma função discreta (amostrada) f*(t), de modo que: f * (t) f(t k ), com t k k t, k 0,1,2, A literatura sugere interpretar a amostragem da função f(t) como sendo realizada a partir de um trem de perturbações do tipo impulso aplicadas nos tempos discretos t k, de modo que: * f (t) f(t k) (tt k) k0 onde (t-t k ) é a perturbação delta de Dirac. Aplicando a transformação de Laplace à equação acima, obtemos:

4 Substituindo t k por kt, temos: * L f (t) L f(t k) (t t k) k 0 st e f(t k) (t t k) dt 0 k0 st e f(t k) (t t k)dt k00 st f(t k) e (t t k)dt k0 0 st k f(t k )e k0 f * (s) L * f (t) f(t k )e sk t k0

5 Vamos agora comparar esse resultado com a transformada de Laplace de f(t): f * (s) skt f(t k )e k0 st Caso discreto f(s) f(t)e dt Caso contínuo 0 Agora, por conveniência, introduzimos a seguinte notação de modo a simplificar a equação acima para o caso discreto: z s e t e nos referirmos ao resultado L[f*(t)] como transformada z de f*(t), escrevemos: f * (z) f * (t) f(t k )z k k0 sendo essa a definição formal da transformada z de um sinal amostrado f*(t).

6 Propriedades e teoremas da transformada z Linearidade: c f (k) c f (k) c f (k) c f (k) Convolução: Se f(k) e g(k) são duas sequências discretas em k, que são representações das funções discretas f*(t) e g*(t), e se f(k) g(k) f(z) g(z) são suas correspondentes transformadas z, então: f(i)g(k i) g(i)f(k i) f(z)g(z) i0 i0 Útil para obter respostas impulsionais em sistemas amostrados.

7 k f(i)g(k i) f(i)g(k i)z i0 k0 i0 Fazendo n=k-i: (ni) f(i)g(k i) f(i)g(n)z i0 i0 ni Como g(t n ) é zero para n<0, o limite inferior de n pode ser mudado para zero: (ni) i n f(i)g(k i) f(i)g(n)z f(i)z g(n)z f(z)g(z) i0 i0 n0 i0 n0

8 Transformação inversa: 1 1 k dz f(k) f(z) f(z)z 2 j C z A fórmula é dificilmente usada, dando lugar a outras técnicas e tabelas. Devemos, entretanto, lembrar que: A transformada z inversa produz apenas a sequência discreta f(k), sendo incapaz de fornecer informação sobre a função contínua original, f(t), a partir da qual a sequência foi obtida; A inversa não fornece informação sobre o intervalo de amostragem, t, para a sequência discreta f(k).

9 Deslocamento à esquerda: Se f(k) f(z) então: f(k 1) zf(z) zf(0) Se f(0) 0 então: f(k 1) zf(z) E ainda: 2 2 f(k 2) z f(z) z f(0) zf(1) Generalizando: m m m 1 f(k m) z f(z) z f(0) z f(1) zf(m 1) m1 m k z f(z) f(k)z k0

10 Deslocamento à direita: m f(k m) z f(z) Translação complexa: Lembrando que: at L e f(t) f(s a) A forma equivalente em transformada z é: at * at at e f(t) f(e z) f(rz), com r e 1 k f(rz) r f(k)

11 Teorema do valor inicial: lim f(t) lim s f(s) t0 s * lim f (t) lim f(k) lim f(z) t0 k0 z Teorema do valor final: z < 1 lim f(t) lim s f(s) t s0 * lim f (t) lim f(k) lim z 1f(z) t k z1 Contanto que o valor final da sequência discreta seja finito!

12 Representação gráfica da relação entre as transformadas z e de Laplace

13 Resolução de Equações Lineares de Diferenças Como a transformada de Laplace, que é usada na resolução de equações diferenciais ordinárias lineares, a transformada z encontra aplicação na solução de equações lineares de diferenças da forma: y(k) a1y(k 1) a2y(k 2) any(k n) b0u(k) b1u(k 1) b2u(k 2) amu(k m) Aplicando a transformada z em ambos os lados da equação, obtemos: 1 2 n 1 2 m 1 2 n m 1 a z a z a z y(z) b b z b z b z u(z) De modo que: y(z) 1 2 m b0 b1z b2z bmz 1 2 n 1a1z a2z anz u(z)

14 Alguns exemplos 1) Degrau f(t) a f(k) a f(z) f(k) az a 1z z z k0 1 z 1 a a, para z z z1 k ) Rampa f(t) at f(k) akt f(z) f(k) at kz atz 12z 3z k0 1 z z at at 2 2 k z z1

15 3) Exponencial bt f(t) ae btk f(k) ae bkt k f(z) f(k) ae z k0 bt 1 bt 1 2 bt 1 3 a 1 e z e z e z 1 a 1 bt 1 e z

16 Inversão de transformadas z A transformada z inversa é definida por: * 1 f(k) f (t) f(z) f(z) A transformada z inversa consiste de valores amostrados f*(t) representados por f(k). A inversão de transformadas z conta com três métodos: a) Expansão em frações parciais b) Divisão longa c) Integração de linha a) Expansão em frações parciais Consideremos que f(z) tem a seguinte forma: 1 1 N(z ) f(z ) 1 D(z )

17 onde: N(z) é um polinômio de ordem n em z -1 ; D(z) é um polinômio de ordem m em z -1. Admitindo que D(z) possa ser fatorado em m raízes reais distintas (i.e., os pólos de f(z)), denotados por p 1, p 2,... p m. Então: 1 f(z ) 1 N(z ) p 1z 1p2z 1pmz Expandindo em frações parciais, na forma: 1 r1 r2 r f(z ) m p 1z 1p2z 1pmz Cada coeficiente do numerador r i pode ser obtido de maneira similar àquela usada no cálculo de transformadas inversas de Laplace. A transformada inversa é dada, portanto, por: f(k) 1 r 1 1 r 2 1 r m p 1z 1 p 2z 1 p mz

18 Como: 1 r i k rp 1 i i 1 pz i Então: k k k f(k) r1p1 r2p2 rmpm Consideremos, agora, um caso simples: f(k) r1p1 k com r 1 =1 e p 1 assumindo diferentes valores.

19 Respostas temporais para localizações diferentes do pólo de f(z): Imaginário (2) (4) (1) x (6) x (5) x (4) x (3) x (2) x (1) Real (6) (5) Círculo unitário (3)

20 Respostas temporais para localizações diferentes do pólo de f(z): Seborg et al. (1989)

21 Exemplo: Usando expansão em frações parciais, encontre a inversa da função abaixo para um intervalo de amostragem,t=1: 1 f(z ) 1 0.5z 1 1 1z 10.5z Expandindo em frações parciais: z r1 r f(z ) z 10.5z 1 1 1z 10.5z Multiplicando por 1 z e fazendo z=1: r Multiplicando por z e fazendo z=0.5: r f(z ) z 1 0.5z at a e e 0.5 a f(z ) t 1 1 z 1 e z 0.693kt f(k) 1e

22 1 0.8 f ( k ) 1 e k k fk ( ) k

23 b) Divisão longa Da definição da transformada z, podemos escrever f(z) como: f(z 1 ) f(t k k )z f(t 0 ) f(t 1 )z f(t 2 )z f(t 3 )z k0 definindo uma série infinita em z -1. Assim, para qualquer transformada z, f(z), expandida como uma série infinita em z -1, digamos: f(z ) 0 1z 2z 3z sua inversa, a sequência discreta f(k), pode ser facilmente recuperada através da comparação dos coeficientes das potências em z -1 na equações acima de modo que: f(t k ) k, k 1,,n Assim, para obter f(k), devemos mostrar como uma função arbitrária f(z) pode ser representada como potências de z -1.

24 Mais uma vez, consideremos f(z) na seguinte forma: ou 1 1 N(z ) f(z ) 1 D(z ) 1 2 n 1 b0 b1z b2z bnz f(z ) 1 2 m a0 a1z a2z amz Poderíamos realizar a divisão acima, e obter uma série infinita (longa) em z -1, mas esse procedimento seria muito tedioso. Uma alternativa, menos tediosa, mas totalmente equivalente, consiste de definir: (z ) 0 1z 2z 3z De modo que: 1 1 N(z ) D(z ) (z ) (z )D(z ) N(z )

25 Na forma expandida: m 0 1z 2z 3z a0 a1z a2z amz 1 2 n b0 b1z b2z bnz Realizando a multiplicação do lado esquerdo da igualdade acima, e comparando os coeficientes das mesmas potências em z -1, observamos que: E que (potência z -1 ): a00 b0 0 b0 a0 b1 a a 1 10 a01 b1 1 0 a 0 a 0 b (potência z -2 ): 2 a1 a a a a b 2 a a a Generalizando: k 1 b 0 k b k a iki, k 1,2, com 0 a0 a i1 0

26 Resumo do procedimento: 1) Represente f(z) como uma razão de polinômios em z -1, obtenha os coeficientes a 0, a 1,, a n, e b 0, b 1,, b n. 2) Com a condição inicial 0 =b 0 /a 0, use a expressão geral obtida acima para calcular os demais 1, 2, 3 3) Observe que f(k)= k. Exemplo: Usando a técnica de expansão em uma série infinita (acima), encontre a transformada inversa de: 1 f(z ) r Observe que: b0 b 0, k 1,2, k a0 1 a1 p ak 0, k 2,3, r 1 1 pz b 0 0 r a0 1 1 b 1 a 10 rp a b 2 a 11 a 20 rp a0 k k a1k 1rp

27 Logo: f(z) r 1pz p z p z De modo que reconhecemos que: f(k) k rp Observe que, fazendo: p a t e f(k) representa a função exponencial discreta

28 Função de transferência no domínio temporal discreto Lembremos que desenvolvemos uma expressão para a função de transferência impulsional para o caso contínuo: t * y(t) g(t )u ( )d 0 Sendo g(t) a resposta impulsional do processo. u*(t) é uma perturbação discreta ao processo, representada na forma de uma série de impulsos: u() * u(t k )( t k ) k0 De modo que: t y(t) g(t ) u(t k) ( t k) d 0 k0 t g(t ) ( t k)d u(t k) k00

29 Continuando: t y(t) g(t ) u(t k) ( t k) d 0 k0 t g(t ) ( t k)d u(t k) k00 g(t t k)u(t k) k0 Em particular, para t=t n : y(t n) g(tn t k)u(t k) k0 Observe, agora, que uma função contínua y(t) amostrada em intervalos discretos apresenta a seguinte transformada z, por definição: y(z) n y(t n )z n0

30 Logo: Fazendo i=n-k: y(z) g(t n n t k )u(t k ) z n0k0 (ik) y(z) g(ti k t k)u(t k) z ikk0 i k g(t i)z u(t k)z ikk0, t i-k t k = t i Agora note que g(t i ) é zero para i<0; desse modo, o limite inferior de i pode ser mudado para zero e o somatório separado: i k y(z) g(t i)z u(t k)z y(z) g(z)u(z) i0 k0 onde g(z) é definida por: i g(z) g(t i)z, com ti i t i0

31 i g(z) g(t i)z, com ti i t i0 g(z) é chamada de função de transferência de pulsos (ou pulso) do sistema, e relaciona entrada e saída no domínio discreto da mesma maneira que a função de transferência no domínio s relaciona sinais contínuos. Observe que g(z) pode ser calculada diretamente a partir de g(t), a resposta impulsional do sistema. Relação da função de transferência de pulsos com equações de diferença Mostramos anteriormente que uma equação de diferenças na forma: Resulta em: De modo que: a0y(k) a1y(k1) a2y(k2) any(kn) b0u(k) b1u(k 1) b2u(k 2) amu(k m) y(z) 1 2 m b0 b1z b2z bmz 1 2 n a0 a1z a2z anz u(z) 1 2 m y(z) b0 b1z b2z bmz g(z) u(z) 1 2 n a0 a1z a2z anz

32 Realização física Já vimos a noção da possibilidade de realização de funções de transferência no domínio temporal contínuo. Uma condição análoga pode ser estabelecida para a função de transferência de pulsos, isto é, que um modelo em tempo discreto não pode ter um sinal de saída que dependa de entradas futuras. Senão o modelo não é fisicamente realizável. Desse modelo, o modelo é realizável desde que a 0 0. Para comprovar isso, vamos admitir que a 0 =0, de modo que a equação de diferenças fique: a1y(k 1) a2y(k 2) any(k n) b0u(k) b1u(k 1) b2u(k 2) amu(k m) Nessa situação, um sinal de entrada futuro, u(k), influenciaria a saída atual, y(k-1), o que não é fisicamente possível!

33 Conversão de transformadas de Laplace e z s t 1 s t Da definição: z e z e Usando uma aproximação de Padé: st 2 st e 2 s t 1 2st z 2 s t 1 21z s t 1 1 z Outra aproximação: 2 st (st) e 1st 2! 1 st z e 1st ou 1 1 z s t

34 Retentor de Ordem Zero (ZOH) A função do retentor é converter um sinal digital em um sinal contínuo. O sinal contínuo de um retentor de ordem zero é uma série de pulsos, ou seja, mantém constante o sinal durante cada intervalo de amostragem. A função de transferência de um ZOH é: st 1 e H(s) s que é a transformada de Laplace da função h(t) = S(t) S(t t), sendo S(t) a função degrau unitário. u*(t) H(s) G(s) w(t) y(t) t y*(t) A transformada z do produto H(s)G(s), representada por HG(z), é: 1 G(s) HG(z) (1z ) s Note que HG(z) H(z)G(z)

35 Exemplo: Obter a equação de diferenças de um sistema de primeira ordem com ganho unitário e com um retentor ZOH. H(s) st 1 e s G(s) 1 s HG(z) (1z ) s( s 1) s( s 1) s (s 1/ ) 1 z 1 1 e t/ z 1 1 t/ z (1 e ) HG(z) (1z ) 1 t/ 1 t/ 1 1z 1e z 1e z y(z) Como: HG(z), então: u(z) onde: a1 y n = a 1 y n-1 + (1 a 1 ) u n-1 t/ e

36 Exemplo: resolva a seguinte equações de diferenças de primeira ordem: y n + 3 y n-1 = u n y -1 = 0 Aplicando a transformada Z: y(z) + 3 z -1 y(z) = u(z) y(z) 1 u(z) 1 1 3z Por exemplo, aplicando a inversa da transformada Z para u(z) = 1 (impulso unitário): y n ( 3) n