Transformada z. Carlos Alberto Ynoguti. September 14, / 53

Transcrição

1 Carlos Alberto Ynoguti September 14, / 53

2 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z 2 / 53

3 Introdução Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z DFT fornece uma representação no domínio da frequência para sinais e sistemas discretos Por causa da condição de convergência, a DTFT de uma sequência pode não existir, e desta forma não podemos usar esta caracterização nestes casos A é uma generalização da DTFT, que pode existir para muitas sequências para as quais não existe a DTFT. O uso das técnicas da permite manipulações algébricas simples 3 / 53

4 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Para uma dada sequência g[n], sua, G(z), é definida como G(z) = Z{g[n]} = n= onde z = R(z) + ji(z) é uma variável complexa. g[n]z n (1) 4 / 53

5 Relação entre a DTFT e a Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z G(z) = Z{g[n]} = Se fizermos z = re jω, então temos: G(re jω ) = n= n= g[n]z n g[n]r n e jωn (2) que pode ser interpretada como a DTFT da sequência modificada {g[n]r n }. Para r = 1 (isto é, z = 1), a de g[n] reduz-se à sua DTFT (desde que exista). O contorno z = 1 é um círculo no plano z de raio unitário, e é chamado de círculo unitário. 5 / 53

6 convergência Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Para uma dada sequência, o conjunto de valores R de z para os quais sua converge é chamada de região de convergência (ROC: region of convergence). A série da eq. (2) converge uniformemente se g[n]r n for absolutamente somável, isto é: n= g[n]r n < (3) Em geral, a região de convergência R de g[n] é uma região anular no plano z: onde 0 R g R g+ R g < z < R g+ (4) 6 / 53

7 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z A definida na equação (1) é uma forma de uma série de Laurent e é uma função anaĺıtica em todos os pontos da ROC. Isto implica que a e todas as suas derivadas são funções contínuas da variável complexa z na ROC. 7 / 53

8 Exemplo 3.22 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Seja x[n] = α n u[n]. Determine sua e sua região de convergência. Solução: X(z) = n= A série acima converge para X(z) = α n u[n]z n = α n z n n=0 1 1 αz 1, αz 1 < 1 indicando que a ROC é a região anular z > α 8 / 53

9 Observação Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Podemos obter a de u[n] se fizermos α = 1 no exemplo anterior. Neste caso: U(z) = 1 1 z 1, z 1 < 1 A ROC de U(z) é então a região anelar z > 1. Note que u[n] não é absolutamente somável, e portanto não possui transformada de Fourier. Entretanto, possui transformada z. 9 / 53

10 Exemplo 3.23 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Encontre a da sequência anti-causal x[n] = α n u[ n 1] Solução: X(z) = 1 n= = α 1 z α n z n = m=1 α m z m = n=0 α m z m onde agora a ROC é a região anular z < α α 1 z 1 α 1 z = 1 1 αz 1, α 1 z < 1 10 / 53

11 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Note dos exemplos anteriores que as transformadas z são idênticas apesar das sequências que as originaram serem muito diferentes entre si. Desta forma, para associarmos uma sequência à sua de forma unívoca, devemos levar em conta também a sua região de convergência. A transformada de Fourier G(e jω ) de uma sequência g[n] converge uniformemente se e somente se a ROC da de g[n] incluir o círculo unitário. Por outro lado, a existência da transformada de Fourier nem sempre implica a existência da. Por exemplo, { 1, 0 ω ω c h LP [n] = 0, ω c < ω π tem transformada de Fourier, mas não tem. 11 / 53

12 Alguns pares de transformadas z Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z Sequência ROC δ[n] 1 z u[n] α n u[n] (r n cosω 0 n)u[n] (r n senω 0 n)u[n] 1 1 z 1 z > αz 1 z > α 1 (r cos ω 0 )z 1 1 (2r cos ω 0 )z 1 + r 2 z 2 1 (r senω 0 )z 1 1 (2r cos ω 0 )z 1 + r 2 z 2 z > r z > r 12 / 53

13 Sistemas LTI Formas alternativas Exemplo Interpretação física 13 / 53

14 Sistemas LTI Sistemas LTI Formas alternativas Exemplo Interpretação física A de sistemas discretos LTI são funções de z 1 : G(z) = P(z) Q(z) = p 0 + p 1 z p M 1 z (M 1) + p M z M d 0 + d 1 z d N 1 z (N 1) + d N z N (5) onde o grau do polinômio no numerador P(z) é M, e o grau do polinômio no denominador Q(z) é N. 14 / 53

15 Formas alternativas Sistemas LTI Formas alternativas Exemplo Interpretação física G(z) = z (N M)p 0z M + p 1 z M p M 1 z + p M d 0 z N + d 1 z N d N 1 z + d N (6) Esta equação pode ser escrita de forma fatorada como: G(z) = p 0 d 0 M l=1 (1 ξ lz 1 ) M l=1 (1 λ lz 1 ) = z(n M)p 0 d 0 M l=1 (z ξ l) M l=1 (z λ l) Em z = ξ l, G(ξ l ) = 0 z = ξ l são os zeros de G(z) (7) Em z = λ l, G(λ l ) z = λ l são os pólos de G(z) 15 / 53

16 Exemplo Sistemas LTI Formas alternativas Exemplo Interpretação física A de u[n] é dada por U(z) = 1 1 z 1 = z z 1, z > 1 que tem um zero em z = 0 e um pólo em z = 1. zero em z = 0 Im z região de convergência Re z pólo em z = 1 círculo unitário 16 / 53

17 Interpretação física Sistemas LTI Formas alternativas Exemplo Interpretação física Seja G(z) = 1 2.4z z z z 2 Vamos plotar o gráfico de 20log 10 G(z) no plano complexo: Podemos ver grandes picos em z = 0.4 ± j (pólos) e grandes vales em z = 1.2 ± j1.2 (zeros). 17 / 53

18 Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo 18 / 53

19 Motivos para estudar a região de convergência Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Sem o conhecimento da ROC não existe uma relação unívoca entre uma sequência e sua. Portanto, a precisa sempre ser especificada com sua respectiva ROC. Se a ROC da de uma sequência inclui o círculo unitário, então esta sequência também terá transformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculada avaliando-se a no círculo unitário. Existe uma relação entre a ROC da da resposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBO estabilidade. 19 / 53

20 Motivos para estudar a região de convergência Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Sem o conhecimento da ROC não existe uma relação unívoca entre uma sequência e sua. Portanto, a precisa sempre ser especificada com sua respectiva ROC. Se a ROC da de uma sequência inclui o círculo unitário, então esta sequência também terá transformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculada avaliando-se a no círculo unitário. Existe uma relação entre a ROC da da resposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBO estabilidade. 19 / 53

21 Motivos para estudar a região de convergência Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Sem o conhecimento da ROC não existe uma relação unívoca entre uma sequência e sua. Portanto, a precisa sempre ser especificada com sua respectiva ROC. Se a ROC da de uma sequência inclui o círculo unitário, então esta sequência também terá transformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculada avaliando-se a no círculo unitário. Existe uma relação entre a ROC da da resposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBO estabilidade. 19 / 53

22 Posição da ROC Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo A ROC de uma é limitada pela localização dos pólos. Para entender isto, vamos examinar a ROC de u[n], calculada anteriormente: zero em z = 0 Im z região de convergência Re z pólo em z = 1 círculo unitário ROC (área sombreada): região do plano z fora do círculo centrado na origem, indo desde o pólo em z = 1 até z =. 20 / 53

23 Exemplo 3.24 Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Determine a ROC da de h[n] = ( 0.6) n u[n] Solução Do Exemplo 3.22, temos que: H(z) = z 1 = z, z > 0.6 z zero em z = 0 pólo em z = 0.6 Im z Re z 21 / 53

24 Exemplo 3.25 Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Seja g[n] uma sequência finita, definida para M n N, onde M e N são inteiros não negativos e g[n] <. Sua é dada por G(z) = N n= M g[n]z n = N+M n=0 g[n M]z N+M n z N (8) Note da Equação (8) que G(z) tem M pólos em z = e N pólos em z = 0. Desta forma, em geral, a de uma sequência de comprimento finito converge em todo o plano z, exceto possivelmente em z = 0 e/ou em z =. 22 / 53

25 Exemplo 3.26 Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Uma sequência de lado direito u 1 [n] com amostras não nulas somente para n 0 é algumas vezes chamada de uma sequência causal. Sua é dada por: U 1 (z) = u 1 [n]z n (9) n=0 Pode-se mostrar que U 1 (z) converge na região exterior ao círculo z = R 1, incluindo o ponto z =. Por outro lado, uma sequência de lado direito u 2 [n], com amostras não nulas somente para n M (M um inteiro não negativo) tem, U 2 (z), com M pólos em z =, e portanto sua ROC é exterior ao círculo z = R 2, excluindo o ponto z =. 23 / 53

26 Exemplo 3.27 Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Uma sequência de lado esquerdo v 1 [n] com amostras não nulas somente para n 0 é geralmente chamada de uma sequência anti-causal. Sua é dada por: V 1 (z) = 0 n= v 1 [n]z n (10) e converge na região interior ao círculo z = R 3, incluindo o ponto z = 0. Entretanto, uma sequência de lado esquerdo v 2 [n], com amostras não nulas somente para n N (N um inteiro não negativo) tem, V 2 (z), com N pólos em z = 0. Como resultado, sua ROC é interior ao círculo z = R 4, excluindo o ponto z = / 53

27 Exemplo 3.27 (continuação) Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo A de uma sequência bilateral w[n] pode ser expressa como: W(z) = n= w[n]z n = w[n]z n + n=0 1 n= w[n]z n (11) O primeiro termo é a de uma sequência de lado direito, que converge no exterior do círculo z = R 5. O segundo termo é a de uma sequência de lado esquerdo, que converge no interior do círculo z = R 6. Como resultado, se R 5 < R 6 a ROC é a região R 5 < z < R 6. Porém, se R 5 > R 6, a desta sequência não existe. 25 / 53

28 Exemplo 3.28 Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo A sequência bilateral definida por x[n] = α n onde α pode ser um número real ou complexo, não tem, independentemente do valor absoluto α, pois U(z) = α n z n + n=0 1 n= α n z n (12) O primeiro termo da Equação (12) converge para z > α, enquanto que o segundo termo converge para z < α, e portanto não há sobreposição das ROCs. 26 / 53

29 Resumindo Motivos para estudar a região de convergência Posição da ROC Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.26 Exemplo 3.27 Exemplo 3.27 (continuação) Exemplo 3.28 Resumindo Seja uma com pólos em z = α e z = β. As ROCs possíveis são: Im 0 Im Re Re α β 0 α β 0 a) sequência de b) sequência bilateral c) sequência de lado direito lado esquerdo Im α β Re 27 / 53

30 Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

31 Expressão geral Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo 3.35 Para z = re jω, G(z) é meramente a transformada de Fourier de g[n]r n. Assim, a transformada de Fourier desta sequência é: g[n]r n = 1 2π π π G(re jω )e jωn dω (13) Fazendo z = re jω, podemos reescrever a equação acima como g[n] = 1 G(z)z n 1 dz (14) 2πj C onde C é um contorno de integração anti-horário definido por z = r. 29 / 53

32 Forma alternativa de cálculo Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 A integral de contorno permanece inalterada quando substituímos C por qualquer contorno C que contenha a origem. Assim, esta integral pode ser avaliada usando o teorema dos resíduos de Cauchy: g[n] = [resíduos de G(z)z n 1 nos pólos dentro de C] (15) Vamos ver a seguir dois métodos simples para calcular a. Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

33 Método 1: expansão em frações parciais Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Uma G(z) com uma g[n] causal tem uma ROC que é exterior a um círculo. Neste caso, é mais conveniente expressar G(z) na forma de uma expansão em frações parciais, e determinar g[n] somando as transformadas s dos termos individuais mais simples na expansão. Seja G(z) expressa como: G(z) = P(z) D(z) onde P(z) e D(z) são polinômios em z 1. (16) Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

34 Método 1: expansão em frações parciais Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Uma G(z) com uma g[n] causal tem uma ROC que é exterior a um círculo. Neste caso, é mais conveniente expressar G(z) na forma de uma expansão em frações parciais, e determinar g[n] somando as transformadas s dos termos individuais mais simples na expansão. Seja G(z) expressa como: G(z) = P(z) D(z) onde P(z) e D(z) são polinômios em z 1. (16) Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

35 Método 1: expansão em frações parciais Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Uma G(z) com uma g[n] causal tem uma ROC que é exterior a um círculo. Neste caso, é mais conveniente expressar G(z) na forma de uma expansão em frações parciais, e determinar g[n] somando as transformadas s dos termos individuais mais simples na expansão. Seja G(z) expressa como: G(z) = P(z) D(z) onde P(z) e D(z) são polinômios em z 1. (16) Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

36 Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Se o grau M do numerador P(z) é maior que o grau N do denominador D(z) então podemos dividir P(z) por D(z) e reescrever G(z) como G(z) = M N l=0 η l z l + P 1(z) D(z) onde o grau do polinômio P 1 (z) é menor que o de D(z). A função P 1 (z)/d(z) é chamada uma fração própria. (17) Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

37 Exemplo 3.31 Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Considere a z z z z z 2 Desde que o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir o numerador pelo denominador (usando divisão longa). Com isto, chegamos a: z z z z 2 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

38 Pólos simples Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo 3.35 Suponha que G(z) tenha N pólos simples e distintos, localizados emz = λ k, 0 k N. Uma expansão em frações parciais de G(z) é então da forma G(z) = N l=1 onde as constantes ρ l (resíduos) são dadas por ρ l 1 λ l z l (18) ρ l = (1 λ l z 1 )G(z) z=λl (19) Cada termo de (19) mtem uma ROC definida por z > λ l e, portanto, uma da forma ρ l (λ l ) n u[n]. Assim, a de G(z) é dada por N g[n] = ρ l (λ l ) n u[n] (20) l=1 34 / 53

39 Observação Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Note que o procedimento acima, com pequenas modificações, pode ser usado para determinar a de uma sequência não causal com uma. Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

40 Exemplo 3.32 Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Seja a de uma sequência h[n] causal dada por H(z) = z(z + 2.0) (z 0.2)(z + 0.6) = z 1 (1 0.2z 1 )( z 1 ) Fazendo a expansão em frações parciais de H(z), temos: H(z) = (21) ρ z 1 + ρ z 1 (22) Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

41 Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo 3.35 Usando (19), chegamos a: ρ 1 = (1 0.2z 1 )H(z) z=0.2 = z z 1 ρ 2 = ( z 1 )H(z) z= 0.6 = z z 1 Substituindo ρ 1 e ρ 2 em (22): H(z) = z z 1 = 2.75 z=0.2 = 1.75 z= 0.6 A da expressão acima é dada então por h[n] = 2.75(0.2) n u[n] 1.75( 0.6) n u[n] 37 / 53

42 Pólos múltiplos Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo 3.35 Suponha que G(z) tem um pólo em z = v de multiplicidade L, e os N L pólos restantes sejam simples e em z = λ l, 1 l N L. A expansão de G(z) tem então a forma: G(z) = N L l=0 η l z l + N L l=1 ρ L l 1 λ l z 1 + i=1 onde as constantes γ i são calculadas a partir de: γ i (1 vz 1 ) i (23) 1 d L i [ γ i = (1 vz 1 (L i)!( v) L i d(z 1 ) L i ) L G(z) ] z=v, 1 i L (24) e os resíduos ρ l são calculados usando (19) como anteriormente. 38 / 53

43 Método 2: divisão longa Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Para sequências causais, G(z) pode ser expandida em uma série de potências de z 1. Na expansão, o coeficiente que multiplica z n é então a n-ésima amostra de g[n]. Para G(z), uma forma conveniente de determinar a seérie de potências é expressar o numerador e o denominador em termos de polinômios em z 1, e então obter a expansão por divisão longa. Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo / 53

44 Exemplo 3.35 Expressão geral Forma alternativa de cálculo Método 1: expansão em frações parciais Exemplo 3.31 Pólos simples Observação Exemplo 3.32 Pólos múltiplos Método 2: divisão longa Exemplo 3.35 Calcule a de H(z) = z z z 2 Fazendo a divisão longa do numerador pelo denominador, temos: H(z) = z z z z 4 + o que leva a h[n] = {1.0, 1.6, 0.52, 0.4, 0.224,... }, n 0 40 / 53

45 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 41 / 53

46 Algumas propriedades úteis Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 Propriedade Sequência ROC g[n] G(z) R g h[n] H(z) R h conjugação g [n] G (z ) R g rev. temporal g[ n] G(1/z) 1/R g linearidade αg[n] + βh[n] αg(z) + βh(z) inclui R g R h desloc. tempo g[n n 0 ] z n 0 G(z) R g, exceto talvez z = 0 ou z = mult. exp. α n g[n] G(z/α) α R g dif. G(z) ng[n] z dg(z) dz R g, exceto talvez z = 0 ou z = convolução g[n] h[n] H G(z)H(z) inclui R g R h 1 modulação g[n]h[n] G(v)H( z 2πj C v )v 1 dv inclui R g R h da correlação cruzada Energia de uma sequência Relação de Parseval X n= g[n]h [n] = 1 2πj I C G(v)H (1/v )v 1 dv 42 / 53

47 Nota Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 R g denota a região R g < z < R g + R h denota a região R h < z < R h + 1/R g denota a região 1/R g + < z < 1/R g R g R h denota a região R g R h < z < R g +R h + Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 43 / 53

48 Exemplo 3.38 Ache a e a ROC de v[n] = α n u[n] β n u[ n 1] Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 44 / 53

49 Exemplo 3.38 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência Ache a e a ROC de v[n] = α n u[n] β n u[ n 1] Solução: Denotando x 1 [n] = α n u[n] e x 2 [n] = β n u[ n 1] X 1 (z) = X 2 (z) = 1 1 αz 1, z > α 1 1 βz 1, z < β Usando a propriedade de linearidade, chegamos a 1 V (z) = X 1 (z) + X 2 (z) = 1 αz βz 1 ROC: se β > α então a ROC será a região anular α < z < β. Caso contrário, a não existe. 44 / 53

50 Exemplo 3.39 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Determine a e a ROC de x[n] = r n cos(ω 0 n)u[n]. Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 45 / 53

51 Exemplo 3.39 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência Determine a e a ROC de x[n] = r n cos(ω 0 n)u[n]. Solução: Expressando x[n] como a soma de duas sequências exponenciais, temos: x[n] = 1 2 rn e jω 0n u[n] rn e jω 0n u[n] Podemos reescrever a expressão acima como x[n] = v[n] + v [n], onde v[n] = 1 2 αn u[n] com α = re jω 0. A de v[n] é dada por V (z) = αz 1 = re jω, z > α = r 0 z 1 45 / 53

52 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 e a de v [n] é V (z ): V (z ) = α z 1 = re jω, z > α = r 0 z 1 Usando a propriedade de linearidade da, obtemos: X(z) = V (z) + V (z ) = 1 2 = ( 1 1 re jω 0 z re jω 0 z 1 1 r cos(ω 0 )z 1 1 2r cos(ω 0 )z 1 + r 2 z 2, z > r ) Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 46 / 53

53 Exemplo 3.40 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Determine a e a ROC de y[n] = (n + 1)α n u[n]. Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 47 / 53

54 Exemplo 3.40 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 Determine a e a ROC de y[n] = (n + 1)α n u[n]. Solução: Seja x[n] = α n u[n]. Assim, podemos escrever y[n] = nx[n] + x[n] A de x[n] é dada por X(z) = 1 1 αz 1, z > α Usando a propriedade de diferenciação, a de nx[n] é: da correlação cruzada Energia de uma sequência z dx(z) dz = αz 1 (1 αz 1 ) 2, z > α 47 / 53

55 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Finalmente, usando a propriedade de linearidade, obtemos: Y (z) = 1 1 αz 1 + αz 1 (1 αz 1 ) 2 = 1 (1 αz 1 ) 2, z > α Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 48 / 53

56 Exemplo 3.41 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Determine a de G(z) = ( z 1 2 z 3 ) ( z ) 2, z > 1 2 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 49 / 53

57 Exemplo 3.41 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência Determine a de Solução: G(z) = ( z 1 2 z 3 ) ( z ) 2, z > 1 2 Como a ROC é exterior ao círculo de raio 1/2, a transformada é uma sequência de lado direito. Fazendo a expansão em frações parciais de G(z), temos: G(z) = z ( 3 z z 1) 2 Os dois primeiros termos têm transformada dada por 0.36(0.5) n u[n] e 0.24( 1/3) n u[n], respectivamente. 49 / 53

58 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência Para determinar a do terceiro termo, observamos que a de n( 1/3) n u[n] é dada por z d dz ( 1/ ( )) z 1 = 1 3 z 1 / ( ) 2 z 1 Desta forma, a de 1/(1 + (1/3)z 1 ) 2 é dada por 3(n 1)( 1/3) n 1 u[n 1]. Finalmente, a de G(z) é dada por: g[n] = [ ( ) 1 n ( ) 1 n ] u[n] (n 1) ( 1 3) n u[n 1] 50 / 53

59 da correlação cruzada Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência Sejam duas sequências g[n] e h[n], com transformadas z dadas por G(z) e H(z), respectivamente. Suponha ainda que a ROC de G(z) é R g e a ROC de H(z) é R h. Podemos escrever a correlação cruzada entre g[n] e h[n] como: r gh [l] = g[n] h[ l] Usando a proriedade de reversão temporal, notamos que a de h[ l] é H(z 1 ). Usando o teorema da convolução, temos: Z{r gh [l]} = G(z)H(z 1 ) com a ROC dada por pelo menos por R g R h. 51 / 53

60 Energia de uma sequência Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Podemos usar a relação de Parseval para calcular a energia de uma sequência. Fazendo g[n] = h[n] na expressão da Tabela de propriedades, chegamos a: n= g 2 [n] = 1 2πj C G(z)G(z 1 )z 1 dz onde C é um contorno fechado na ROC de G(z)G(z 1 ). Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 52 / 53

61 Algumas propriedades úteis Nota Exemplo 3.38 Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Se a ROC de G(z) inclui o círculo unitário, então a ROC de G(z 1 ) também irá incluir o círculo unitário. Se uma sequência é absolutamente somável, ela tem transformada de Fourier, e portanto a ROC de sua inclui o círculo unitário. Neste caso, podemos fazer z = e jω, o que faz com que possamos substituir a integral circular pela expressão da transformada de Fourier: n= g[n] 2 = 1 2π π π G(e jω ) 2 dω Exemplo 3.41 da correlação cruzada Energia de uma sequência 53 / 53