Transformada Z. A transformada Z de uma sequência x n é definida como:

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1 Transformada Z Vimos que as DTFTs de algumas sequências não convergem uniformemente para funções contínuas de ω, porque as sequências não são absolutamente somáveis. A transformada Z permitirá a análise de muitos destes sinais. Além de simplificar a solução de equações a diferenças e a computação de convoluções, a representação através da transformada Z nos permitirá aprofundar o conhecimento de propriedades de sinais e sistemas no domínio da frequência. A transformada Z de uma sequência x n é definida como: X z = x n z n n= onde z = re jω é uma variável complexa.

2 Transformada Z O somatório acima converge se: n= x n r n < ou seja, depende apenas dos valores de r = z. Portanto, a convergência ocorre para: R z R + que define um anel no plano Z. Essa região do plano Z é chamada de Região de Convergência (ROC) da transformada.

3 Transformada Z Exemplo 1: A transformada Z do degrau unitário u(n) é U z = z n = 1 n=0, para z > 1 1 z 1 Exemplo 2: A transformada Z da exponencial causal é x n = α n u(n) X z = n=0 α n z n = 1 1 αz 1, para z > α

4 Transformada Z Exemplo 3: A transformada Z da exponencial anti-causal é x n = α n u( n 1) X z = n= 1 (αz 1 ) n = 1 1 αz 1, para z < α Exemplo 4: A transformada Z da sequência é x n = α n cos (ω 0 n)u(n) X z = α n ejω0n +e jω 0n 1 n= z n = 2 1 αcos (ω 0 )z 1 = 1 2α cos ω 0 z 1 +α 2 z 1 1 αe jω 0z αe jω 0z 1 2, para z > α

5 Região de Convergência (ROC) As transformadas Z da maioria das sequências de interesse em processamento de sinais são funções racionais de z, ou seja: X z = M k=0 q k z k N p k k=0 z k = q 0 z N M k=1(z ζ k ) p N 0 (z ψ k M k=1 ) onde ζ k são os zeros de X z, ou seja, os valores de z tais que X z = 0 ψ k são os polos de X z, ou seja, os valores de z tais que X z = Se N > M, X z tem N M zeros em z = 0 Se N < M, X z tem M N polos em z = 0

6 Região de Convergência (ROC) A ROC de transformadas Z que são funções racionais de z são delimitadas pela localização dos seus polos, conforme ilustrado nos exemplos abaixo. Exemplo 1: Vimos que a transformada Z do degrau unitário é U z = 1 1 z 1, para z > 1 A localização do polo de U z está indicada por x e do zero por o na figura abaixo. Vemos que a ROC de U z se estende desde o círculo unitário (raio igual ao módulo do polo), sem contê-lo, até.

7 Região de Convergência (ROC) Exemplo 2: A sequência tem transformada Z X z = x n = 0,5 n u n + 0,9 n u(n) = 1 0,5z 1 1+0,9z 1 2z(z+0,2) (z 0,5)(z+0,9), para z > 0,9 Seus polos e zeros e a ROC estão indicados na figura abaixo. Vemos que a ROC de X z se estende desde a circunferência de raio igual ao módulo do polo mais afastado da origem até.

8 Região de Convergência (ROC) A seguir generalizaremos as observações dos exemplos para 4 tipos de sequências: sequência de comprimento finito, sequência lateral esquerda, sequência lateral direita e sequência bilateral. Sequência de Comprimento Finito: Seja x n uma sequência de comprimento finito tal que x n n < n 1 e n > n 2. Então, sua transformada Z = 0 para n 2 X z = x(n)z n n=n 1 é um somatório finito, que convergirá para todo z, exceto para z = 0 se n 1 < 0 e/ou para z = se n 2 > 0.

9 Região de Convergência (ROC) Sequência Lateral Direita: Uma sequência x n é chamada de lateral direita se x n n < n 0. Por exemplo, a sequência = 0 para x n = (aα n +bβ n )u n n 0 é lateral direita e sua transformada Z é X z = (aα n +bβ n ) z n = a (αz 1 ) n +b (βz 1 ) n n=n 0 n=n 0 n=n 0 O primeiro somatório converge para z > α e o segundo para z > β. Supondo β > α, a ROC é definida por z > β. Observe que a ROC inclui z = se n 0 0.

10 Região de Convergência (ROC) Sequência Lateral Esquerda: Uma sequência x n é chamada de lateral esquerda se x n = 0 para n > n 0. Por exemplo, a sequência x n = (aα n +bβ n )u n + n 0 é lateral esquerda e sua transformada Z é n 0 X z = (aα n +bβ n ) z n n= n 0 n 0 = a (αz 1 ) n +b (βz 1 ) n n= n= O primeiro somatório converge para z < α e o segundo para z < β. Supondo β > α, a ROC é definida por z < α. Observe que a ROC inclui z = 0 se n 0 0.

11 Região de Convergência (ROC) Sequência Bilateral: Uma sequência x n é chamada de bilateral se ela se estende de n = a n =. Por exemplo, a sequência x n = aα n u n n 0 + bβ n u n + n 1 é bilateral e sua transformada Z é X z = a (αz 1 ) n +b (βz 1 ) n n=n 0 n 1 n= O primeiro somatório converge para z > α e o segundo para z < β. Supondo β > α, a ROC é definida por α < z < β. Observe que a ROC será um conjunto vazio se β < α.

12 Região de Convergência (ROC) Concluindo: A ROC de uma sequência de comprimento finito é todo o plano z, exceto possivelmente z = 0 e/ou z =. A ROC de uma sequência lateral direita x n é a região externa ao círculo de raio igual ao módulo do polo de X z mais afastado da origem, exceto possivelmente z =. A ROC de uma sequência lateral esquerda x n é a região interna ao círculo de raio igual ao módulo do polo de X z mais próximo da origem, exceto possivelmente z = 0. A ROC de uma sequência bilateral x n é um anel no plano z, delimitado por círculos de raios iguais a módulos de polos de X z, ou será uma região vazia. A ROC não pode conter polos.

13 Transformada Z Inversa A transformada Z inversa é definida pela integral de linha: x n = 1 2πj γ X z z n 1 dz onde γ é um caminho fechado na ROC e envolvendo a origem do plano z, percorrido no sentido anti-horário. Para transformadas z racionais, pode-se utilizar o teorema dos resíduos de Cauchy para resolver a integral de linha, ou seja: x n = resíduos de X z z n 1 nos polos dentro de γ

14 Transformada Z Inversa Exemplo: Seja X z = 1 1 αz 1, ROC: z > α A transformada inversa é: x n = 1 2πj γ z z α zn 1 dz = 1 2πj γ z n z α dz Para n 0, a função zn z α resíduo neste polo é: (z α) possui um polo simples em z = α, e o zn z α z=α = α n Para n < 0, além do pole em z = α, há polos de multiplicidade n em z = 0.

15 Transformada Z Inversa A transformada Z inversa pode ser obtida mais facilmente através da expansão em frações parciais, usando a propriedade de linearidade. Exemplo 1: Seja X z = 1 + 2z 1 + z 2 1 1,5z 1 + 0,5z 2 ROC: z > 1 Esta função pode ser reescrita como: 1 + 2z 1 + z 2 X z = (1 0,5z 1 )(1 z 1 ) 9 = 2 1 0,5z z 1

16 Transformada Z Inversa Identificando a transformada inversa de cada termo, temos: x n = 2δ n 9 0,5 n u n + 8u(n) Exemplo 2: Seja X z = 1 + 2z 1 + z 2 1 1,5z 1 + 0,5z 2 ROC: z <0,5 Como no exemplo anterior, a função pode ser reescrita como: X z = ,5z z 1 Identificando a transformada inversa de cada termo, temos: x n = 2δ n + 9 0,5 n u n 1 8u( n 1)

17 Transformada Z Inversa Exemplo 3: Seja X z = 1 + 2z 1 + z 2 1 1,5z 1 + 0,5z 2 ROC: 0,5< z <1 Como nos exemplos anteriores, a função pode ser reescrita como: X z = ,5z z 1 Identificando a transformada inversa de cada termo, temos: x n = 2δ n 9 0,5 n u n 8u( n 1)

18 Transformada Z Inversa A inversa de transformadas Z racionais também pode ser obtida por divisão longa, ou seja, dividindo o polinômio do numerador pelo o do denominador. Exemplo 1: Seja X z = 1 1 αz 1 ROC: z > α A divisão de 1 por (1 αz 1 ) é 1 + αz 1 + α 2 z 2 +, de onde identificamos x 0 = 1, x 1 = α, x 2 = α 2,. Portanto, a forma geral da inversa é: x n = α n u(n)

19 Transformada Z Inversa Exemplo 2: Seja X z = 1 1 αz 1 ROC: z < α Pela região de convergência (externa ao círculo de raio α ), sabemos que a inversa é uma sequência lateral esquerda. Portanto, devemos fazer a divisão de polinômios de modo a obter potências positivas de z. Neste exemplo, dividimos 1 por ( αz 1 + 1), obtendo α 1 z α 2 z 2 α 3 z 3, de onde identificamos x 1 = α 1, x 2 = α 2, x 3 = α 3,. Portanto, a forma geral da inversa é: x n = α n u( n 1)

20 Relação entre a Transformada Z e a DTFT Escrevendo z na forma polar, z = re jω, temos: X re jω = x(n)r n e jωn n= que é igual à DTFT de x(n)r n. Para r = 1 (i.e, z = 1), a transformada Z se reduz à DTFT de x(n) desde que a ROC de X(z) inclua o círculo unitário. Em particular, para z = 1, X 1 = X e j0, ou seja, é o valor da DTFT em ω = 0 (DC). Em z = j, X j = X e jπ/2, ou seja, é o valor da DTFT em ω = π/2 (Ω = Ω T /4). Em z = 1, X 1 = X e jπ, ou seja, é o valor da DTFT em ω = π (Ω = Ω T /2).

21 Propriedades da Transformada Z Sejam duas sequências g n G z, ROC: R g, e h(n) H z, ROC: R h. Então, as seguintes propriedades são válidas: (i) Linearidade: αg n + βh n αg z + βh z ROC: inclui R g R h (ii) Deslocamento no tempo: g n n 0 z n 0G z ROC: R g exceto possivelmente z = 0 ou z = (iii) Reversão no tempo: g n G 1/z ROC: 1/R g

22 Propriedades da Transformada Z (vi) Multiplicação por sequência exponencial: α n g n G z/α ROC: α R g (v) Diferenciação de G(z): ng n z dg z dz ROC: R g exceto possivelmente z = 0 ou z = (vi) Convolução: g n h n G z H(z) ROC: inclui R g R h

23 Propriedades da Transformada Z (vii) Modulação: g n h(n) 1 2πj γ G υ H z υ υ 1 dυ ROC: inclui R g R h Teorema de Parseval: n= g n h n = 1 2πj γ G υ H 1 υ υ 1 dυ