Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Fourier de Sinais Discretos. Sequência de Duração Finita. Série de Fourier

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1 Resumo Sinais e Sistemas Transformada de Fourier de Sinais Discretos lco@ist.utl.pt Representação de sinais aperiódicos Transformada de Fourier de sinais periódicos Propriedades da transformada de Fourier Sistemas caracterizados por equações às diferenças Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas p./35 Sinais e Sistemas p.2/35 quência de Duração Finita Uma sequência x(n) tem duração finita se assumir valores nulos fora de gama limitada de valores de n: Série de Fourier ndo x(n) periódico é possível calcular os coeficientes da série de Fourier: n, x(n)=0, n<n n>n 2 a k = N n=<n> x(n)e jk(/n)n Com base neste sinal podemos construir um sinal periódio de período N> N 2 N : Em que: x(n) = x(n kn) x(n)= x(n), N n N 2 em que: = N N2 n=n x(n)e jk(/n)n + x(n)e jk(/n)n = N X(e jkω )= = N X(e jkω0 ) x(n)e jωn Sinais e Sistemas p.3/35 Sinais e Sistemas p.4/35

2 Equação Inversa Transformada de Fourier () Para obter o sinal a partir dos coeficientes e notando que ω 0 = /N: x(n) Fazendo N : = k=<n> X(e jkω0 )e jkω0n N k=<n> X(e jkω 0 )e jkω0n ω 0 = x(n)= X(e jω )e jωn dω x(n)= x(n)e jωn X(e jω )e jωn dω Sinais e Sistemas p.5/35 Sinais e Sistemas p.6/35 Periodicidade na Frequência A principal diferença entre a CTFT e a é que esta última é periódica em frequência. Esta é uma consequência directa da periodicidade das exponenciais complexas discretas, que são periódicas de período. Por este motivo: X(e j(ω+) ) O integral de síntese pode ser calculado em qualquer intervalo de comprimento. Calcular a transformada da sequência: n, x(n)=a n u(n), a < ae jω Sinais e Sistemas p.7/35 Sinais e Sistemas p.8/35

3 Convergência Calcular a transformada de Fourier de: {, n N x(n)= 0, n >N X( jω)= sin(ω(n + /2)) sin(ω/2) No caso de sinais de duração não finita, podem surgir dificuldades na convergência da equação de análise: x(n)e jωn A condição de convergência está directamente relacionada com as condições de convergência da série de Fourier, ou seja, se x(n) é absolutamente somável: x(n) < Sinais e Sistemas p.9/35 Sinais e Sistemas p.0/35 Convergência x(n) é absolutamente somável tem transformada de Fourier. Todas as sequências estáveis têm transformada de Fourier. Todas as sequências com energia finita têm transformada de Fourier: x(n) 2 < Calcular a transformada de Fourier do impulso unitário: n, x(n)=δ(n) Todas as sequências de duração limitada têm transformada de Fourier. Sinais e Sistemas p./35 Sinais e Sistemas p.2/35

4 Mostrar que a transformada de Fourier da sequência exponencial complexa: n, x(n)=e jω 0n Sinais Periódicos um sinal for representado pela série de Fourier: x(n)= a k e jk(/n)n k=<n> vale: l= δ(ω ω 0 l) A sua transformada de Fourier será: a k δ(ω ω 0 k) Sinais e Sistemas p.3/35 Sinais e Sistemas p.4/35 Calcular a transformada de Fourier do sinal: n, x(n)=cos(ω 0 n) [πδ(ω ω 0 k)+πδ(ω+ω 0 k)] Linearidade y(n) Y(e jω ) ax(n) + by(n) ax(e jω )+bay(e jω ) A transformada de Fourier de sinais discretos é uma operação linear. Sinais e Sistemas p.5/35 Sinais e Sistemas p.6/35

5 Deslocamento Temporal Deslocamento na Frequência x(n n 0 ) e jωn0 X(e jω ) e jω0n x(n) X(e jω ω0 ) O deslocamento temporal não afecta o módulo da transformada de Fourier, apenas a sua fase. Sinais e Sistemas p.7/35 Sinais e Sistemas p.8/35 Conjugado Simetria para quências Complexas x(n) X (e jω ) A transformada de Fourier do sinal conjugado, é a transformada do sinal original conjugada e invertida na frequência. x (n) x ( n) Real(x(n)) jimag(x(n)) Par(x(n)) Ímpar(x(n)) n, x(n) X (e jω ) X (e jω ) Par(X(e jω )) Ímpar(X(e jω )) Real(X(e jω )) jimag(x(e jω )) Sinais e Sistemas p.9/35 Sinais e Sistemas p.20/35

6 Simetria para quências Reais Diferença e Acumulação x(n) x(n) x(n) Par(x(n)) Ímpar(x(n)) n, x(n) X (e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) X(e jω ) Real(X(e jω )) Imag(X(e jω )) n m= x(n) x(n ) ( e jω )X(e jω ) x(m) e jω X( jω)+πx(e j0 ) δ(ω k) O trem de impulsos do lado direito da equação reflecte a componente relativa ao valor médio de x(n) que pode resultar do somatório. Sinais e Sistemas p.2/35 Sinais e Sistemas p.22/35 Inversão Temporal Interpolação x( n) X(e jω ) no caso particular de x(n) ser real: e se M, x M (n)= { x(n/m), n múltiplo de M 0, n não é múltiplo de M x( n) X (e jω ) x M (n) X(e jmω ) Sinais e Sistemas p.23/35 Sinais e Sistemas p.24/35

7 Diferenciação em Frequência Relação de Parseval n jdx(e jω ) dω E= x(n) 2 = π π X(e jω ) 2 dω Sinais e Sistemas p.25/35 Sinais e Sistemas p.26/35 Propriedade da Convolução e y(n)= h(n) H(e jω ) x(k)h(n k) = x(n) h(n) Y(e jω )=X(e jω )H(e jω ) Considere um sistema linear e invariante no tempo com resposta impulsiva: n, h(n)=α n u(n) com α <. a entrada do sistema for: n, x(n)=β n u(n) Determine a saída do sistema. y(n)= α β [αn+ β n+ ]u(n) Sinais e Sistemas p.27/35 Sinais e Sistemas p.28/35

8 Propriedade da Multiplicação Pares de Transformadas de Fourier e w(n) W(e jω ) y(n) = x(n)w(n) Y(e jω )= X(e jθ )W(e j(ω θ) )dθ δ(n) δ(n n 0 ) a n u(n) u(n) e jωn 0 δ(ω+k) ae jω e jω+ πδ(ω+k) Sinais e Sistemas p.29/35 Sinais e Sistemas p.30/35 Pares de Transformadas de Fourier Pares de Transformadas de Fourier (n+)a n u(n) ( a <) r n sen[ω p (n+)] u(n) sen(ω p ) sen(ω c n) πn ( ae jω ) 2 2rcos(ω p )e jω + r 2 e j2ω {, X(e jω ω <ωc )= 0, ω c < ω π e jω 0n cos(ω 0 n+φ) δ(ω ω 0 + k) π [e jφ δ(ω ω 0 + k)+ e jφ δ(ω+ω 0 + k)] x(n)= {, 0 n M 0, caso contrário sen[ω(m+ )/2] e jωm/2 sen(ω/2) Sinais e Sistemas p.3/35 Sinais e Sistemas p.32/35

9 Equações às Diferenças N M a k y(n k)= b k x(n k) k=0 k=0 Aplicando a transformada de Fourier: Considere um sistema causal, linear e invariante caracterizado pela equação às diferenças: n, y(n) 3 4 y(n )+ 8 y(n 2)=2x(n) N a k e jkω Y(e jω )= k=0 M b k e jkω X(e jω ) k=0 Determine a sua resposta ao impulso. Resolvendo ω, H(ω)= Y(e jω ) X(e jω ) = M k=0 b k e jωk N k=0 a ke jωk h(n)=4 ( ) n ( ) n u(n) 2 u(n) 2 4 Sinais e Sistemas p.33/35 Sinais e Sistemas p.34/35 Conclusões Desenvolvemos a representação em transformada de Fourier para sinais aperiódicos tratando-os como sinais periódicos de período infinito. A transformada de Fourier de sinais periódicos é um trem de impulsos localizados em frequências harmónicas. Estudámos as diversas propriedades da transformada de Fourier A transformada de Fourier converte a operação de convolução no produto das transformadas. A transformada de Fourier é particularmente adequada ao estudo de SLITs caracterizados por equações às diferenças. Sinais e Sistemas p.35/35