Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu M.A.C. FORMULÁRIO. cos z = eiz + e iz. sinh z = ez e z 2

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1 Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu M.A.. FORMULÁRIO e x+iy = e x (cos y + i sin y) sin z = eiz e iz i cosh z = ez + e z ln z = w z = e w cos z = eiz + e iz sinh z = ez e z ln re iθ = ln r + i(θ + kπ) (k ZZ) z α = e α ln z Equações de auchy-riemann para coordenadas cartesianas: u x = v y ; u y = v x Equações de auchy-riemann para coordenadas polares: u r = v r θ ; v r = u r θ b a (u(t) + iv(t))dt = b a b u(t)dt + i v(t)dt a (t IR) b f(z)dz = f(z(t))z (t)dt a onde é dado por z = z(t), a t b M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag./8

2 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag./8 Fórmula correspondente ao Teorema de auchy: f(z)dz = onsequência do Teorema de auchy: Sob z condições adequadas, o integral de f de z a z é dado por z f(z)dz = F (z ) F (z ) onde F é uma primitiva de f. Fórmula Integral de auchy: f(z) = πi f(ξ) ξ z dξ Fórmula Integral de auchy para derivadas: f (n) (z) = n! πi f(ξ) dξ (ξ z) n+ Equação de Laplace: f xx + f yy = (f(x, y) é harmónica se possui derivadas contínuas até à segunda ordem e satisfaz a equação de Laplace) O raio de convergência r da série a n (z z o ) n é dado por a n r = lim n a n+ ou por r = lim n n a n (se o limite existir). Série de Taylor da função f relativa ao ponto z : f(z) = f (n) (z ) n! (z z ) n

3 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag.3/8 Alguns desenvolvimentos em série de MacLaurin (= série de Taylor relativa ao ponto ): Desenvolvimento da exponencial: e z = z n n! Desenvolvimento do seno: sin z = ( ) n+ (n )! zn Desenvolvimento do cosseno: cos z = ( ) n (n)! zn Desenvolvimento do seno hiperbólico: sinh z = Desenvolvimento do cosseno hiperbólico: cosh z = z n (n )! z n (n)!. Desenvolvimento de z : z = z n ( z < ) Desenvolvimento binomial: ( + z) α = ( ) α onde = n ( α n ) α(α )...(α n + ) n! z n ( z < ) Série de Laurent da função f relativa ao ponto z : f(z) = n= a n (z z ) n onde a n = πi f(ξ) dξ (ξ z ) n+ Resíduo de f em z : Res(f; z ) = a = f(z) dz πi

4 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag.4/8 Fórmula do Teorema dos Resíduos: k f(z) dz = πi Res(f; z j ) j= z é pólo de ordem m de f se e só se existir o lim z z [(z z ) m f(z)] e for, Se z é um pólo de ordem m de f, então Res(f; z ) = (m )! lim z z d m dz m [(z z ) m f(z)] álculo de alguns integrais: I) II) III) π f(sin θ, cos θ)dθ : Faz-se a mudança de variável z = e iθ, com θ π (note-se que dθ = iz dz) e usam-se as expressões de sin z e cos z em função de eiθ. f(x)dx, onde f(x) = p(x) q(x) com p(x) e q(x) polinómios tais que grauq(x) graup(x) e f tem um número finito de singularidades todas elas não reais: Tem-se f(x)dx = f(z)dz, onde é a união de uma semicircunferência de centro em e raio R com o diâmetro [ R, R] com R escolhido de maneira que todas as singularidades de f situadas no semi-plano superior (supondo que a semicircunferência também foi escolhida nesse semi-plano) estejam no interior de. e imz f(z)dz, onde f(z) = p(z) q(z) com p(z) e q(z) polinómios tais que grauq(z) graup(z), e f tem um número finito de singularidades todas elas não reais: Se m IR +, tem-se e imz f(z)dz = e imz f(z)dz, onde é a união de uma semicircunferência no semi-plano superior de centro em e raio R com o diâmetro [ R, R], sendo R escolhido de maneira que todas as singularidades de f situadas no semi-plano superior estejam no interior de. Se m IR, tem-se e imz f(z)dz = e imz f(z)dz, onde é a união de uma semicircunferência no semi-plano inferior de centro em e raio R com o diâmetro [ R, R], sendo R escolhido de maneira que todas as singularidades de f situadas no semi-plano inferior estejam no interior de. Os integrais e imz f(z)dz. cos(mz)f(z)dz e sin(mz)f(z)dz podem calcular-se calculando

5 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag.5/8 Série de Fourier associada à função f de período T : Forma exponencial: n= n e inπt T Forma trigonométrica combinada: + Forma trigonométrica: A + n cos( nπt T + θ n) ( A n cos nπt T + B n sin nπt ) T eficientes: n = T t +T t f(t)e inπt T dt n = n e iθ n n = A n ib n, = A Propriedades dos coeficientes de Fourier. Se y(t) = Ax(t) + B, onde A e B são constantes, então a relação entre os coeficientes de y(t) e x(t) é dada por y = A x + B ky = A kx, k. Se y(t) = x( t), então a relação entre os coeficientes de y(t) e x(t) é dada por ky = kx 3. Se y(t) = x(t t ), então a relação entre os coeficientes de y(t) e x(t) é dada por π ik ky = kx e T t, onde T é o período

6 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag.6/8 Identidade de Parseval para séries de Fourier: T T/ (f(t)) dt = A + (A n + Bn) T/ Transformada de Fourier de f: F{f(t)} = ˆf(ω) = e iωt f(t)dt Inversão da transformada de Fourier: f(t) = F { ˆf(ω)} = e iωt ˆf(ω)dω π onvolução (de Fourier): f(t) g(t) = f(u)g(t u)du Propriedades da transformada de Fourier (onde F (ω) = F{f(t)}): Função Transformada de Fourier Linearidade af (t) + bf (t) af (ω) + bf (ω) Transformação do tempo f(at + τ) a F ( ω a )eiτ(ω/a) Dualidade F (t) πf( ω) Mudança da frequência f(t)e iω t F (ω ω ) onvolução f (t) f (t) F (ω)f (ω) f (t)f (t) π F (ω) F (ω) Diferenciação d n [f(t)] dt n ( it) n f(t) (iω) n F (ω) d n [F (ω)] dω n Integração t f(τ)dτ iω F (ω) + πf ()δ(ω)

7 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag.7/8 Transformada de Fourier em cosseno: F c (f(t)) = ˆf c (ω) = cos ωtf(t)dt Transformada de Fourier em seno: F s (f(t)) = ˆf s (ω) = sin ωtf(t)dt Fórmulas de inversão para as transformada de Fourier em seno e cosseno: f(t) = π f(t) = π cos ωt ˆf c (ω)dω sin ωt ˆf s (ω)dω Identidade de Parseval para transformadas de Fourier: f(t) dt = π ˆf(ω) dω Identidades de Parseval para as transformadas de Fourier em seno e cosseno: f(t)g(t)dt = π ˆf c (ω)ĝ c (ω)dω = π ˆf s (ω)ĝ s (ω)dω Transformada de Laplace: L{f(t)} = F (s) = f(t)e st dt Transformada bilateral de Laplace: L b {f(t)} = F b (s) = f(t)e st dt Transformada de Laplace inversa: f(t) = c+i F (s)e st ds πi c i

8 M. A.. - DepMat - ESTV - Formulário -pag.8/8 Transformada-z de f[n]: F (z) = Z[f[n]] = f[n]z n Inversão da transformada-z: Para Z[f[n]] = F (z), f[n] = z n F (z)dz = πi (,r) = soma dos resíduos da função z n F (z) nas suas singularidades onvolução f[n] g[n] de f[n] e g[n] é a função h[n] definida por: n h[n] = f[k]g[n k] k= Propriedades da transformada-z (onde F (z) = Z{f[n]}): Função Transformada-z af [n] + bf [n] f[n n ]u[n n ]; n f[n + n ]u[n]; n > z n af (z) + bf (z) z n F (z) [ F (z) a n f[n] F (z/a) df (z) nf[n] z dz f[n/k], k um inteiro positivo F (z k ) x[n] y[n] X(z)Y (z) n z f[n] = f[k] z F (z) k= n f[n]z n ] Valor Inicial: f[] = lim F (z) z Valor Final: f[ ] := lim f[n] = lim(z )F (z), se f[ ] existir n z