Representação de sinais

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1 Representação de sinais Espaços vectoriais Seja F o conjunto de todos os sinais definidos no intervalo Neste conjunto estão definidas as operações de adição de funções e multiplicação por escalares (reais ou complexos), para as quais o conjunto é fechado, isto é, Diz-se que F é um espaço vectorial e os seus elementos são designados genericamente vectores.

2 Representação de sinais Produto interno - o produto interno num espaço vectorial complexo V é uma função que satisfaz as seguintes propriedades Positividade: Conjugado simétrico: Homogenidade: Aditividade: Produto interno Norma Energia Ortogonalidade

3 Representação de sinais Bases Ortogonais O conjunto { } de funções de F diz-se uma base ortogonal de F se e só se Todas as funções forem ortogonais entre si, i.e. O conjunto é completo, i.e., apenas o vector zero é ortogonal a todos os elementos da base, Nestas condições: Qualquer elemento de F pode ser obtido através de O conjunto de coeficientes que define f(x) é único Note-se que N pode ser infinito

4 Representação de sinais Bases Ortonormadas Se os vectores da base, além de serem ortogonais entre si, também tiverem norma unitária, isto é { } então, a base diz-se ortonormada.

5 Representação de sinais Cálculo dos coeficientes Um sinal em F pode ser decomposto de acordo com Teorema de Parseval λ λ

6 Representação de sinais EXEMPLOS: Série de Fourier: Base de cosenos

7 Representação de sinais Espaços L 2 e l 2 Para o intervalo, o espaço é o conjunto de todas as funções cujo quadrado é integrável neste intervalo, isto é: O espaço l 2 é o conjunto de todas as sequências Neste espaço, o produto interno define-se como #

8 Representação de sinais Convergência $ # $ # ' '* ε ) ( ' & ε $ # # $ ' '* ε ) ( ' & ε

9 Análise de Fourier DFS - Série de Fourier DFT - Transformada Discreta de Fourier DTFT - Transformada Fourier em Tempo Discreto FFT - Transformada Rápida de Fourier TZ - Transformada Z,

10 - Representação de sinais periódicos de período N como a soma de exponenciais complexas de período N (vantagem: funções próprias dos SLIT) Periodicidade das exponenciais complexas Funções de base, de período N: φ Série de Fourier (DFS)

11 Série de Fourier (DFS) Só existem N exponenciais complexas discretas de período N/k (contrariamente ao que acontece no caso contínuo)., φ φ φ φ φ φ φ φ Ortogonalidade

12 Uma sequência periódica x(n) de período N pode ser representada como a soma de N exponenciais complexas de período N, i.e., X(k) Coeficientes da série de Fourier, e C é uma constante de normalização, de forma a garantir, pelo teorema de Parseval, a mesma energia nas duas representações, tempo e frequência. Equações de síntese e análise && '& Série de Fourier (DFS)

13 ( ) ) ( ( Série de Fourier (DFS) Forma matricial Equação de síntese

14 Transformada Discreta de Fourier (DFT) A DFS é apropriada para sinais periódicos de comprimento infinito A DTFT é uma representação contínua de sinais discretos de dimensão finita ou infinita, mas de energia limitada A DFT é utilizada para representar discretamente sinais discretos de dimensão finita As sequências finitas são consideradas um período de sequência periódica. 0 '& &./.

15 Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) Representação de sinais não periódicos Transformada de Fourier de uma exponencial discreta Delta de Dirac: & '& δ δ δ δ δ & δ δ δ δ & & & & &

16 Transformada Z Generalização da transformada de Fourier de sinais discretos Exemplo 1.20 (pag.24) * * * * * * * * * 2 2 * 12 3