I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier

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1 I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier Comunicações

2 Sumário 1. Sinais não periódicos. Transformada de Fourier Representação, no domínio da frequência, de sinais não periódicos Relação com a série de Fourier Equação de análise e de síntese 3. Sinais típicos Pulso retangular e triangular Pulso sinusoidal 4. Tabela de pares típicos 5. Cálculo de indicadores Energia Largura de banda 6. Resposta em frequência 7. Exercícios

3 1. Sinais não periódicos Não apresentam padrões de repetição Tipicamente caracterizados pela energia (finita) Não têm frequência fundamental, nem período fundamental Não se aplica o conceito de harmónica São representados no domínio da frequência por um espetro contínuo No limite, todas as frequências contribuem para a síntese do sinal

4 1. Sinais não periódicos Exemplos: pulso retangular e sinc Sinais de energia finita e de potência nula Ex x ( t) dt x(t) x( t) rect T 0 t T 0 T 0 t T 0 1, t 0, t T0 T sinc( t) sen( t) t

5 Pulso Retangular 1. Sinais não periódicos Sinal estritamente limitado no tempo: v(t) =0 fora do intervalo A energia é E E A v( t) dt,

6 .Transformada de Fourier Sinal não periódico corresponde a sinal periódico com período fundamental T o a tender para infinito Assim, f o, f o, 3f o,... tendem para zero k x( t) c exp( jkf t) k o Com f o a tender para zero Joseph Fourier ( ) t f x X exp( jft) df Equação de síntese ou transformada inversa

7 X f.transformada de Fourier O espetro X(f) é obtido através de t x( t),exp( jft) x exp( jft) dt Produto interno entre x(t) e todas as frequências do espetro É a equação de análise ou transformada direta X(f) é obtido pelo produto interno entre x(t) e todas as frequências do espetro X(f) é uma função contínua

8 3. Sinais Típicos: pulso retangular t 1 t 0 t V ( f ) V (0) A Ae jft dt v(t) A sin(f ) f t A A sinc(f )

9 3. Sinais Típicos: pulso retangular v( t) t rect Onda quadrada com período a tender para infinito Concentração de energia nas baixas frequências V( f ) A sinc( f )

10 3. Sinais Típicos: pulso retangular Espetro de Amplitude Espetro de Fase

11 3. Sinais Típicos: pulso retangular Revisão do espetro da sequência de pulsos retangulares (onda quadrada periódica)

12 3. Sinais Típicos: pulso triangular

13 3. Sinais Típicos: pulso sinusoidal O Pulso Sinusoidal - resulta do produto de uma sinusóide por um pulso retangular Energia de símbolo Tempo E V T s Frequência

14 3. Sinais Típicos: pulso sinusoidal Tempo Frequência t g( t) V cos(f ct) Ts Ts Ts G( f ) V sinc(( f fc) Ts ) V sinc(( f fc) Ts )

15 4. Tabela de pares típicos Espetro bilateral X f t x( t),exp( jft) x exp( jft) dt Sinais mais comuns e importantes em comunicação digital

16 4. Tabela de pares típicos Espetro bilateral outros sinais

17 4. Tabela de pares típicos Tabela de propriedades (as mais importantes) da transformada de Fourier

18 5. Cálculo de indicadores A energia pode ser calculada através do espetro Teorema de Rayleigh Relação idêntica ao teorema da potência de Parseval E V ( f ) df Gv( f ) V ( f ) densidade espectral energia (Joules/Hz)

19 5. Cálculo de indicadores E V ( f ) df ( A) sinc ( f) df E A No lobo principal da sinc, temos 9 % da energia total Concentração da energia nas baixas frequências

20 5. Cálculo de indicadores Largura de banda, definida a partir dos zeros espectrais

21 5. Cálculo de indicadores Ocupação do espetro Sinais do tipo passa-baixo (apenas ocupam as baixas frequências)

22 6. Resposta em frequência: filtro passa baixo ideal (teórico) e real (prático)

23 7. Exercícios Sejam x(t)=3 rect ( t / 10 ) e y(t)=10sinc(100t). a) Apresente as expressões dos espetros de x(t) e y(t). b) Qual o valor da energia e largura de banda de cada sinal? Considere z(t) = 5 rect ( t / 0,1 ) cos ( pi 0 t) a) Obtenha a expressão de Z(f) b) Esboce Z(f)

24 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #3, do teste de época normal, verão 014/015, 9 de julho de 015 Exercício #4, alínea a), do 1.º teste parcial, inverno 014/015, 6 de novembro de 014 Exercício #1, alinea c), do 1.º teste parcial, verão 013/014, 9 de abril de 014 Exercício #3, do teste de época normal, verão 013/014, 1 de julho de 014 Exercício #3, alínea a), do teste de época de recurso, verão 013/014, 18 de julho de 014