Transformada Rápida de Fourier FFT Conceitos da FFT - Gauss (1805)

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1 FFT 1 FFT 2 Transformada Rápida de Fourier - FFT DFT Processamento Digital de Sinais Análise e projeto de SLIT no domínio da freq. Convolução rápida FFT - Fast Fourier Transform otas de Aula Algoritmo para cálculo da DFT Cálculo de todos os pontos da DFT Medida da complexidade computacional: Transformada Rápida de Fourier FFT Histórico úmero de operações de multiplicação e adição Conceitos da FFT - Gauss (1805) Cooley e Tukey (1965) - após isso houve um rápido desenvolvimento de aplicações/implementações de PDS Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.

2 FFT 3 Cálculo Direto da DFT FFT 4 Algoritmo de Goertzel A DFT de uma seq. complexa x[n], de duração finita, é: na qual X[k] 1 x[n]e j2π kn 1 x[n]w kn, k 0, 1,, 1 W e j 2π Separando os termos complexos (partes real (R) e imaginária (I)) X[k] 1 [R{x[n]}R{W kn } I{x[n]}I{Wkn }] +j[r{x[n]}i{w kn}+i{x[n]}r{wkn }], k 0, 1,, 1 Para cada termo da somatória: 4 multiplicaçõesreais e 2 adições reais Para cada k: 4 multiplicações reais e 2( 1) adições reais Para todos os X[k]: 4 2 multiplicações e (2 2) adições Para grande, o número de operações é proporcional a 2 É necessário armazenar os coeficientes Wkn e Interessante para calcular poucos pontos da DFT W k e j 2π k e j2πk 1 X[k] W k 1 x[r]w kr Definindo-se a função resposta impulsiva: ota-se que: y k [n] r r n 1 x[r]w k( r) h k [n] W kn u[n] e j 2π kn u[n] x[r]h k [n r] y k [n] x[n] h k [n] x[r]w k(n r) u[n r] O valor de y k [n] para n é: x[r]w k(n r) u[n r], pois x[r] 0 para r < 0 x[r]w k(n r), pois u[n r] 0 para r > n ou seja: y k [] x[r]w k( r) 1 x[r]w k( r) X[k] y k [n] n Portanto, pode-se interpretar que o valor da DFT da seqüência x[n] é a saída de um SLIT cuja resposta impulsiva é W kn u[n], calculada no instante n.

3 FFT 5 Algoritmo de Goertzel ota-se que a função de transferência é: e a equação de diferenças: H k (z) 1 1 W k z 1 y k [n] x[n]+w k y k [n 1], y k [ 1] 0 FFT 6 Algoritmo de Goertzel A partir da expressão de H k (z): H k (z) H k (z) 1 Wk z 1 1 W k z 1 1 W k z 1 (1 W k z 1 )(1 W k z 1 ) 1 W k z 1 1 2cos(2πk/)z 1 +z 2 O sistema H k (z) pode ser implementado da seguinte forma: Paracaday k [n]tem-se umamultiplicaçãocomplexa,ou 4 multiplicações reais. Como deve-se calcular até n, têm-se multiplicações complexas ou 4 multiplicações reais para o cálculo de cada X[k]. x[n] v k [n] y k [n] 1 1 2cos(2πk/)z 1 +z 2 1 Wz k 1 v k [n] x[n]+2cos(2πk/)v k [n 1] v k [n 2], (v k [ 1] v k [ 2] 0) e y k [n] v k [n] W k v k [n 1] O sinal v k [n] é calculado para 0 n O sinal y k [n] só precisa ser calculado para n É necessário armazenar os coeficientes cos(2πk/) e Wk para cada k

4 FFT 7 Idéia: quebrar uma DFT de pontos em DFTs de menos pontos Usar propriedades de simetria e periodicidade da exponencial complexa é uma potência de 2 FFT 8 X[k] /2 1 x[2r]w/2 rk /2 1 +Wk G[k]+W k H[k] x[2r+1]w rk /2 DFT de pontos: X[k] 1 x[n]w kn, k 0, 1,, 1 Separando os termos da entrada com índices par e ímpar: X[k] /2 1 /2 1 x[2r]w 2rk /2 1 + x[2r+1]w (2r+1)k x[2r](w 2 ) rk +W k /2 1 x[2r+1](w 2 ) rk Como W 2 e j2(2π/) e j(2π/(/2)) W /2, X[k] /2 1 x[2r]w/2+w rk k /2 1 x[2r+1]w rk /2 G[k]+W k H[k] Dessa forma, divide-se o cálculo de uma DFT de pontos em duas DFTs de /2 pontos. O número de operações fica: DFT pontos: 2 multiplicações complexas 2 DFTs /2 pontos: 2(/2) 2 + multiplicações complexas Se > 2, 2 > 2 /2+

5 FFT 9 FFT 10 Como é uma potência de 2, cada uma das seq. que geram G[k] e H[k] podem ser decompostas em outras duas: G[k] /4 1 g[2r]w/4+w rk /2 k /4 1 g[2r+1]w rk /4 G p [k]+w k /2 G i[k] Este processo continua até que se chegue a uma DFT com 2 pontos.

6 FFT 11 A DFT de uma seq. com dois pontos é: FFT 12 o caso geral, com 2 ν pontos, tem-se que: Logo: V[0] v[0]+v[1] V[k] v[0]w2 k 0 +v[1]w2 k 1 V[1] v[0]+v[1]w 2 v[0]+v[1]e j2π/2 v[0] v[1] Há ν log 2 estágios de decomposição Para cada estágio há multiplicações complexas o total, há log 2 multiplicações complexas

7 FFT 13 FFT 14 Pode-se reduzir ainda mais o número de operações utilizando-se a propriedade de simetria e periodicidade de W r. os estágios, os elementos estão ligados pela estrutura, chamada de borboleta (butterfly) W r+/2 W r W/2 W r e j(2π/)(/2) W r e jπ W r Logo, a borboleta, com duas multiplicações, pode ser simplificada para: Reduzindo o número de multiplicações pela metade.

8 FFT 15 FFT com Dizimação em freqüência Idéia: Separar a saída X[k] em seqüências menores X[k] 1 Saída com índices pares: X[2r] 1 /2 1 /2 1 x[n]w kn, k 0, 1,, 1 x[n]w n2r, r 0, 1,, /2 1 x[n]w n2r + 1 x[n]w n2r n/2 x[n]w n2r /2 1 + x[n+/2]w 2r(n+/2) Usando a propriedade de periodicidade de W n2r : W 2r(n+/2) W n2r Wr Wn2r Wrn /2 FFT 16 FFT com Dizimação em freqüência Saída com índices ímpares: X[2r+1] 1 /2 1 /2 1 /2 1 /2 1 /2 1 x[n]w n(2r+1), r 0, 1,, /2 1 x[n]w n(2r+1) + 1 n/2 x[n]w n(2r+1) /2 1 + x[n]w n(2r+1) x[n]w n(2r+1) /2 1 x[n]w n(2r+1) x[n+/2]w (n+/2)(2r+1) +W (2r+1)/2 /2 1 (x[n] x[n+/2])w n(2r+1) x[n+/2]w (2r+1)n x[n+/2]w (2r+1)n Pois Os termos com índices pares de X[k] ficam: W (2r+1)/2 W r W/2 1 ( 1) X[2r] /2 1 (x[n]+x[n+/2])w n2r, r 0, 1,, /2 1 Portanto: X[2r+1] /2 1 [(x[n] x[n+/2])w n ]W2rn, r 0, 1,, /2 1

9 FFT 17 FFT com Dizimação em freqüência X[2r] /2 1 (x[n]+x[n+/2])w nr /2, r 0, 1,, /2 1 FFT 18 FFT com Dizimação em freqüência Fazendo-se a mesma operação para as outras DFTs, fica-se com: X[2r+1] /2 1 [(x[n] x[n+/2])w]w n /2, rn r 0, 1,, /2 1

10 FFT 19 Comparação com número de operações Cálculo com a FFT: (/2)log 2 multiplicações complexas Cálculo direto da DFT: 2 multiplicações complexas DFT # mult FFT