Processamento Digital de Sinais. Sistemas Lineares. Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Transcrição

1 Processamento Digital de Sinais s Lineares Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

2 Sinais e s Sinal: descrição de como um parâmetro varia com outro. Exemplo: tensão variando com o tempo em um circuito elétrico, brilho variando com a distância em uma imagem. : qualquer processo que produz um sinal de saída em resposta a um sinal de entrada. Os sistemas podem ser contínuos ou discretos, dependendo do tipo de sinal que lidam.

3 Algumas convenções Sinais contínuos usam parênteses: x(t), X(f) Sinais discretos usam colchetes: x, X[f] t : tempo contínuo n : tempo discreto (nt, T:período de amostragem) letras minúsculas: domínio do tempo letras maiúsculas: domínio da frequência

4 Condições para a linearidade Condições necessárias para que um sistema seja considerado linear: Homogeneidade Aditividade Adicionalmente, os sistemas lineares possuem as seguintes propriedades: Linearidade estática Fidelidade senoidal As propriedades abaixo são geralmente encontradas em sistemas lineares, mas podem ser encontradas em qualquer sistema: Memória Invariância no tempo

5 Homogeneidade Se x y Então kx ky

6 Aditividade Se x 1 y 1 e se x 2 y 2 então x 1 x 2 y 1 y 2

7 Linearidade estática Define a relação entre entrada e saída de um sistema quando temos um nível DC na entrada. Para sistemas lineares, esta relação é uma reta. Exemplos: i R 1 R2 i v v R 1 < R 2 sistema linear Diodo sistema não linear

8 Fidelidade senoidal Se a entrada de um sistema linear é uma senóide, a saída também uma senóide, com a mesma frequência do sinal de entrada. As senóides são as únicas formas de onda com esta propriedade. Um sistema linear pode mudar a amplitude e a fase de uma senóide de entrada, mas nunca a sua frequência. Linear

9 Memória Nos sistemas sem memória, a saída depende apenas do valor atual da entrada. Exemplos: resistores. Nos sistemas com memória, a saída depende não só da entrada, mas também do estado do sistema (saídas anteriores). Exemplos: capacitores e indutores. Existem sistemas lineares sem memória (por exemplo amplificadores) e com memória (por exemplo atrasadores).

10 Invariância no Tempo Se x y então x [n s] y[n s] A invariância no tempo não é condição necessária à linearidade, mas a maioria dos sistemas lineares apresenta esta propriedade.

11 Comutatividade Os sistemas lineares apresentam a propriedade de comutatividade. Se x A B y então x B A y

12 Superposição: o fundamento do PDS O sinal a ser processado é decomposto em componentes simples, Cada componente é processada separadamente, Os resultados são agrupados para compor a saída do sistema. Esta abordagem é extremamente poderosa, pois permite quebrar um problema extremamente complicado em vários problemas de simples resolução. A superposição só pode ser aplicada a sistemas lineares, razão pela qual este tipo de sistema é tão importante.

13 Análise e Síntese Análise: decomposição de sinais como a soma de dois ou mais sinais. decomposição + síntese + Síntese: combinação de sinais através de adição e escalonamento.

14 Síntese e Decomposição Existem inifinitas formas de decompor um sinal, mas apenas uma síntese possível de vários sinais. Exemplo: Síntese: 15+25=40 Decomposição: 40 = 39+1 = 38+2 = 30, ,5

15 Um exemplo prático: filtragem x y x 2 y 2 x 3 y 3 x 5 y 5

16 Conclusão Objetivo: substituir um problema complicado por vários problemas simples. Se a decomposição não simplificar a situação de alguma forma, então não haverá ganho. Decomposições mais utilizadas: Impulsos Wavelets par/ímpar senóides (análise de Fourier) degrau entrelacada

17 Decomposição por degraus Quebra um sinal de N amostras em N componentes Cada componente é um degrau: as primeiras amostras são nulas, e as demais assumem algum valor constante e não nulo. A decomposição por degraus caracteriza os sinais pela diferença entre amostras adjacentes. Caracteriza o modo como os sistemas respondem a mudanças no sinal de entrada Exemplo: x={1,2,4,3} x = 1u + 1u[n 1] + 2u[n 2] 1u[n 3] 3u[n 4]

18 Decomposição entrelaçada Quebra o sinal em dois: Sinal com as amostras de índice ímpar Sinal com as amostras de índice par Base para o algoritmo da Fast Fourier Transform (FFT). Exemplo: x = {3,2,1,5,4,3,6,7,9} x ímpar = {3,1,4,6,9} x par = {2,5,3,7}