Sistemas lineares. Aula 1 - Sinais

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1 Sistemas lineares Aula 1 - Sinais

2 Conceitos Sinais e sistemas Definições Descrições Representações matemáticas Classificações Sinais Elementares (básicos) Operações

3 Sinais Definição: Um sinal é a representação física de uma informação Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre o comportamento ou a natureza de uma natureza física Função de uma variável independente f(t), em que geralmenta a variável t representa o tempo Exemplo Circuito RC: o sinal pode ser a tensão no capacitor, v c (t), ou a corrente no resistor, i(t)

4 Sinais Exemplo Batimentos cardíacos; Flutuação diária dos preço das ações; Sinais de fala; Imagem;

5 Sistema Entidade que processa sinais, modificando-os ou extraindo informações Definição Entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outro conjunto de sinais (saída) Implementação Hardware: componentes físicos, elétricos, mecânicos ou hidráulicos Software: algoritmo que calcula as saídas em funções das entradas Exemplos: Sistema automático de fala; Circuito elétrico;

6 Classificação de sinais Sinais de tempo contínuo: O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável de tempo t for contínua, ou seja, definida para todo valor de t. Sinais de tempo discreto: O sinal x[n] é de tempo discreto se a variável de tempo n for definida em tempos discretos;

7 Classificação de sinais Um sinal de tempo discreto frequentemente é derivado de um sinal de tempo contínuo fazendo-se amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.

8 Classificação de sinais Sinais pares e ímpares: Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal par se: x t = x t, t Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se: x t = x t, t Definições similares se aplicam a sinais de tempo discreto.

9 Classificação de sinais Sinais pares e ímpares Todo sinal pode ser expresso como a soma de de dois sinais: um sinal par x p (t) e um sinal ímpar x i t : x t = x p t + x i (t) Como: x p t = x t e x i t = x( t) Então x p t = x t + x t 2 Componente PAR de x(t) x i (t) = x t x( t) 2 Componente ÍMPAR de x(t)

10 Classificação de sinais Sinais pares e ímpares

11 Classificação de sinais Sinais pares e ímpares Exemplo: Decomponha x t = e jt em sinais pares e ímpares. Propriedades: O produto de dois sinais pares ou ímpares resulta em um sinal par; O produto de um sinal par e um sinal ímpar resulta em um sinal ímpar;

12 Classificação de sinais Sinais periódicos e não periódicos: Um sinal x(t) é períodico se satisfizer a condição: x t = x t + T, t, onde T > 0 T é chamado de período do sinal; O menor valor de T que satisfaz a equação acima é chamado de período fundamental e normalmente designado por T 0 ; Qualquer sinal que não satisfizer a equação acima é chamado de sinal não periódico ou aperiódico;

13 Classificação de sinais Sinal real: Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais; Sinal complexo: Se um sinal x(t) puder assumir valores complexos, então ele é complexo do tipo x R t + jx I t, onde x R (t) e x I (t); Sinal determinístico: Seus valores podem ser completamente determinados em qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função matemática conhecida; Sinal aleatório: Seus valores são aleatórios em qualquer instante do tempo, e são descritos estatisticamente;

14 Sinais elementares São sinais que se destacam no estudo dos sinais e sistemas; Servem como blocos para construção de sinais mais complexos; São eles: Exponencial; Degrau; Senoidal; Impulso; Rampa;

15 Sinais elementares Sinal exponencial real: De forma geral: Onde: B é a amplitude no instante t = 0; x t = Be at Se a > 0, exponencial crescente Se a < 0, exponencial decrescente

16 Sinais elementares Sinal exponencialmente amortecido: De forma: x t = Ae at sen wt +

17 Sinais elementares Função Degrau ou de Heaviside: Definição: u t = 1, t 0 0, t < 0

18 Sinais elementares Sinais senoidais: Forma mais geral pode ser escrito como: x t = Acos(wt + ) Onde: A é a amplitude; w é a frequência em radianos por segundo; Ø é o ângulo de fase em radianos;

19 Sinais elementares Função Impulso ou delta de Dirac: E Definição: δ t = 0, para t 0 δ t dt = 1

20 Sinais elementares Sinal rampa: Definição: r t = t, t 0 0, t < 0 Ou: r t = t. u(t)

21 Sinais de Energia e de Potência Energia de um sinal

22 Sinais de Energia e de Potência Potência de um sinal

23 Sinais de Energia e de Potência Potência de um sinal

24 Sinais de Energia e de Potência

25 Operações básicas Operações realizadas nas variáveis dependentes: Mudança de escala de amplitude: y t = c. x(t) Adição: Multiplicação: Diferenciação: Integração: y t = x t + z t y t = x t. z(t) y t = dx(t) dt y t = t x t dt

26 Operações básicas Operações realizadas nas variáveis dependentes: Exemplos: Mudança de escala de amplitude: Amplificadores e atenuadores. Adição: Circuito somador/subtrator com amp-op Multiplicação: Circuito modulador AM Diferenciação: Circuito com indutor Integração: Circuito com capacitor v t = L di(t) dt v t = 1 i t dt C t

27 Operações básicas Realizadas na variável independente: Mudança de escala: y(t) = x(a. t) Se 0 < a < 1, expansão; Se a > 1, compressão;

28 Operações básicas Reflexão: y t = x( t)

29 Operações básicas Deslocamento: y t = x(t t 0 )

30 Operações básicas Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no tempo: y t = x at b Esta relação deve satisfazer as seguintes equações: y 0 = x b y b a = x(0) Primeiro fazemos os deslocamento temporal, x(t b), posteriormente fazemos o escalonamento temporal x(at)

31 Operações básicas Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no tempo: Exemplo: y t = x(2t + 3)