Introdução. Faculdade Pitágoras Unidade Divinópolis. Márcio Júnior Nunes. O que é um Sinal? Sinal Unidimensional Sinal Multidimensional 24/08/2016

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1 Faculdade Pitágoras Unidade Divinópolis Introdução Márcio Júnior Nunes O que é um Sinal? Sinal Unidimensional Sinal Multidimensional 2 1

2 Nível de líquido 3 Eletrocardiograma 4 2

3 Pressão Arterial 5 Índice Ibovespa 6 3

4 O que é um Sistema? 7 Sistema Não existe um propósito único para um sistema Sistema de reconhecimento automático de locutor Sistema de comunicação Sistema de controle de velocidade de motor elétrico 8 4

5 Transdutor de temperatura 9 CLP 10 5

6 Válvula de Controle 11 Filtro Digital de Imagens 12 6

7 Sinais de tempo contínuo x(t) Sinais de tempo discreto x[k] 13 Sinais de tempo discreto x[k] Uniformemente espaçados Deriva do sinal de tempo contínuo através de amostragem a taxa uniforme x[n] = x(nt), n = 0, ±1, ±

8 Sinais Pares Um sinal de tempo contínuo é um sinal par se satisfaz: x(t) = x(-t), para todo t Sinais pares são ditos simétricos em relação ao eixo vertical Sinais de Ímpares Um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se satisfaz: x(-t) = -x(t), para todo t Sinais ímpares são ditos antissimétricos em relação ao eixo vertical 15 Decomposição par/ímpar de um sinal geral x(t) x(t) = x p (t) + x i (t) Fazendo t = -t na expressão acima: x(-t) = x p (-t) + x i (-t) Utilizando as definições de sinais pares e ímpares e resolvendo para x p e x i : 16 8

9 As definições de sinais pares/ímpares pressupõem que os sinais têm valores reais. Quando o sinal tem valor complexo, podemos falar em simetria conjugada: x(-t) = x*(t) x(t) = a(t)+ jb(t) x*(t) = a(t) jb(t) Para que x(-t) = x*(t), a parte real deve ser par e a parte imaginária deve ser ímpar 17 Exemplo: Decompor o sinal nas suas partes par e ímpar: 18 9

10 Solução: Decompor o sinal nas suas partes par e ímpar: 19 Sinais Periódicos Contínuo: x(t) = x(t + T) para todo t, em que T é uma constante positiva Discreto: x[n] = x[n + N] para todo n, sendo o período N dado em núm. de amostras Se esta condição for satisfeita para T = T 0, ela será também para T = 2T 0, 3T 0,... T 0 é chamado período fundamental de x(t) 20 10

11 Sinais Não Periódicos Qualquer sinal para o qual não haja um valor de T que satisfaça x(t) = x(t + T) para todo t, em que T é uma constante positiva 21 Exercício: Determine a frequência fundamental e a frequência angular do sinal abaixo: 22 11

12 Sinal Determinístico Sua descrição física é completamente conhecida, seja na forma matemática ou na forma gráfica, não havendo incerteza quando ao seu valor em qualquer tempo. 23 Sinal Aleatórios Sinal cujos valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos por uma descrição probabilística (valor médio ou valor médio quadrático) 24 12

13 Potência instantânea Sistemas Elétricos: A potência é proporcional à amplitude ao quadrado do sinal Definimos então a POTÊNCIA INSTANTÂNEA em termos de um resistor de 1 ohm Baseando-se nessa convenção, definimos a ENERGIA TOTAL do sinal: 25 Potência média ou potência Quando a amplitude do sinal não tende a 0 quando o tempo tende a, a energia do sinal é infinita Neste caso, uma medida mais significativa é a potência média do sinal, definida por: 26 13

14 Sinal de Energia ou Potência? Sinal de Energia sse a energia total do sinal satisfazer: 0 < E < Sinal de Potência sse a potência média do sinal satisfazer: 0 < P < As classificações de energia e potência são mutuamente excludentes 27 Exemplo: Calcule a energia total do primeiro sinal e a potência do segundo sinal 28 14

15 Exercício Lista de Exercícios Mudança de escala de amplitude x(t) é o sinal de tempo contínuo y(t) = c x(t) c é o fator de escala y(t) é obtido multiplicando-se x(t) pelo escalar c O mesmo para sinais de tempo discreto y[n] = c x[n] 30 15

16 Adição x 1 (t) e x 2 (t) sinais de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela adição é y(t) = x 1 (t) + x 2 (t) De maneira semelhante y[n] = x 1 [n] + x 2 [n] 31 Multiplicação x 1 (t) e x 2 (t) sinais de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela multiplicação é y(t) = x 1 (t)x 2 (t) De maneira semelhante y[n] = x 1 [n]x 2 [n] 32 16

17 Diferenciação x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela diferenciação é Integração x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela integração é 33 Mudança de escala de tempo x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) obtido pela mudança de escala da variável independente, tempo t, por um fator a é y(t) = x(at) a > 1: y(t) é a compressão de x(t) 0 < a < 1: y(t) é a expansão de x(t) 34 17

18 Exemplo Ex. 1: x(2t)? Ex.2: z(0.5t)? 35 Exemplo - Solução 1 - x(2t) 2 z(0.5t) 36 18

19 Mudança de escala de tempo x[n] sinal de tempo discreto O sinal y[k] obtido pela mudança de escala da variável independente, n, por um fator k é y[n] = x[kn], k > 0 e somente k inteiro Se k>1, alguns valores do sinal de tempo discreto y[k] são perdidos 37 Exemplo k=

20 Reflexão y(t) denota o sinal observado substituindo-se o tempo t por t y(t) = x(-t) y(t) representa uma versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude Sinais pares: Como x(-t) = x(t), um sinal par é o mesmo que sua versão refletida Sinais ímpares: Como x(-t) = -x(t), um sinal ímpar é o negativo de sua versão refletida O mesmo se aplica aos sinais de tempo discreto y[n] = x[-n] 39 Exemplos 1) Sinal Par 2) Sinal Ímpar 3) 40 20

21 Deslocamento no tempo x(t) sinal de tempo contínuo. A versão de x(t) deslocado no tempo é: y(t) = x(t t 0 ) t 0 é o deslocamento no tempo t 0 > 0 deslocamento para a direita (atraso) t 0 < 0 deslocamento para a esquerda (avanço) X[n] sinal de tempo discreto. A versão de x[n] deslocado no tempo é: y[n] = x[n m] m deve ser um inteiro, positivo ou negativo 41 Exemplo 42 21

22 Exercício 43 Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Suponhamos que y(t) é um sinal contínuo derivado de outro sinal contínuo x(t) por uma combinação de deslocamento e mudança de escala no tempo: y(t) = x(at b) Assim, temos as seguintes condições: As operações têm uma ordem de execução 44 22

23 Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo 1. Executa-se o deslocamento de tempo em x(t), gerando um sinal intermediário v(t) 2. Em seguida, a operação de mudança de escala é executada em v(t) 45 Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Supondo que, intencionalmente, não seguimos a ordem de precedência, e executamos a mudança de escala e só então o deslocamento no tempo Não satisfaz a equação 46 23

24 Exercício Dado x(t) abaixo, encontre y(t) = x(2- t) 47 Exercício Lista de Exercícios

25 A lista de sinais elementares inclui: Sinais exponenciais Sinais Senoidais Função Degrau Função Impulso Função Rampa Servem como blocos de construção para sinais mais complexos E para modelar sinais físicos que ocorrem na natureza 49 A lista de sinais elementares inclui: Sinais exponenciais Sinais Senoidais Função Degrau Função Impulso Função Rampa Servem como blocos de construção para sinais mais complexos E para modelar sinais físicos que ocorrem na natureza 50 25

26 Representação tempo contínuo x(t) = B e at B e a são parâmetros reais B é a amplitude do sinal exponencial em t=0 O parâmetro a identifica dois casos Exponencial crescente para a > 0 Exponencial decrescente para a < 0 51 Exemplo 52 26

27 Representação tempo discreto x[n] = B r n B e r são parâmetros reais B é a amplitude do sinal exponencial em n=0 O parâmetro r identifica quatro casos 53 0 < r < 1 : Exponencial Decrescente r > 1: Exponencial Crescente 54 27

28 -1 < r < 0 : Exponencial Decrescente (+, -) r < -1: Exponencial Crescente (+, -) 55 Conforme vimos na revisão, têm a forma: x(t) = A cos(ωt + φ) A -> Amplitude ω -> frequência em rad/s φ -> fase ou ângulo de fase É um sinal periódico: 56 28

29 A versão de tempo discreto tem a forma: x[n] = A cos(ωn + φ) A -> Amplitude Ω -> frequência em rad/s φ -> fase ou ângulo de fase Para que um sinal discreto seja periódico: x[n] = x[n + N] para n inteiro x[n] = A cos(ωn + φ) = x[n + N] = A cos(ωn + ΩN + φ) = K = algum número inteiro 57 Exemplos 58 29

30 No tempo contínuo, para toda frequência distinta temos um sinal distinto No tempo discreto, os sinais com frequência Ω 0 são idênticos aos sinais com frequência Ω 0 + 2π, Ω 0 + 4π,... Etc Ex: x(t) = cos(πt) e x[n] = cos[πn] 59 O sinal senoidal exponencialmente amortecido é resultado da multiplicação do sinal exponencial de tempo contínuo A sen(ωt + φ) pela exponencial e -αt : Ex: 60 30

31 A versão de tempo discreto do sinal senoidal exponencialmente amortecido é: Para que esse sinal decresça com o tempo, o parâmetro r deve estar na faixa 0 < r < 1 61 Versão de tempo discreto u[n] Versão de tempo contínuo u(t) Diz-se que u(t) tem descontinuidade em t = 0, pois se modifica instantaneamente de 0 para

32 Sinal particularmente simples de se aplicar. Ex: Como sinal de teste, revela sobre a rapidez do sistema 63 Pode ser usado para construir outras formas de ondas descontínuas. Exemplo Para o pulso mostrado abaixo de amplitude A e duração 1, expresse x(t) como uma única expressão Se quisermos que um sinal comece em t=0 (valor nulo para t<0), o que chamamos de sinal causal, basta multiplicá-lo por u(t) Exemplo O sinal e -at representa uma exponencial com duração infinita começando em t = -. Obtenha a forma causal dessa exponencial

33 Exercícios Um sinal de tempo discreto x[n] é descrito conforme abaixo. Represente x[n] como a superposição de duas funções degrau u[n] Descreva o sinal abaixo como função x(t) de uma única expressão 65 Também chamada de Delta de Dirac Derivada da função degrau u(t) em relação ao tempo t No tempo discreto é descrita por δ[n] e definida como: No tempo contínuo é descrita por δ(t) e definida pelo par: 66 33

34 A descrição gráfica do impulso δ[n] no tempo discreto é obtida diretamente A descrição gráfica para o tempo contínuo pode ser vista como o limite de um pulso retangular de área unitária 67 Propriedades da função Impulso δ(t) = δ(-t) ou seja, δ(t) é uma função par, propriedade do peneiramento, propriedade da mudança de escala de tempo Prova: e 68 34

35 Assim como a função impulso δ(t) é a derivada da função degrau u(t) em relação ao tempo, pelo mesmo raciocínio, a função rampa com inclinação unitária é a integral da função degrau u(t) É denotada por r(t) no tempo contínuo ou r[n] no tempo discreto Permite avaliar como um sistema reage a um sinal que cresce linearmente Definida por 69 Um sistema pode ser visto como a interconexão de operações O operador H global denota a ação do sistema (modelo matemático ou função de transferência). Assim, a aplicação de um sinal de entrada x(t) na entrada produz um sinal de saída descrito por y(t) = H{x(t)} Exemplo: Um sistema discreto cuja saída y[n] é a média dos três últimos valores da entrada x[n] é: Se o operador S k denota um sistema que desloca a entrada x[n] de k unidades de tempo produzindo a saída igual a x[n k], conforme a figura abaixo, desenvolva um diagrama de blocos para o sistema de médias

36 Descrevem as características do operador H que representa o sistema Estabilidade Um sistema é do tipo entrada limitada saída limitada (BIBO Bounded Input/ Bounded Output) estável se e somente se toda entrada limitada resultar em uma saída limitada A saída não diverge se a entrada não divergir Se x(t) M x, então y(t) M y M x e M y são números positivos finitos 71 Sistema Instável 72 36

37 Exemplos Mostre que o sistema abaixo é BIBO estável Mostre que o sistema abaixo é instável para r > Um sistema é linear se ele satisfaz o princípio da superposição: H {a x[n]} = a H {x[n]} = a y[n] H {x 1 [n] + x 2 [n]} = H {x 1 [n] } + H {x 2 [n] } = y 1 [n] + y 2 [n] 74 37

38 Exemplo O sistema de tempo discreto abaixo é linear? y[n] = n x[n] 75 Exemplo O sistema de tempo contínuo abaixo é linear? y(t) = x 2 (t) 76 38

39 Um sistema é causal se o valor atual da saída depender somente dos valores presentes e/ou passados da entrada. Exemplo: Se o sinal de saída depender de valores futuros do sinal de entrada ele é não-causal Se o sistema não-causal não for de tempo real, ele é realizável Exemplo: Exercício: O sistema abaixo é causal ou não-causal para k positivo? 77 Um sistema possui memória se sua saída depende de valores passados do sinal de entrada (ou sistema dinâmico). Quanto mais longe se estendem no passado os valores de entrada, maior a memória do sistema. Um sistema é sem memória se sua saída depende apenas do valor atual da entrada (ou sistema instantâneo). Exemplo: 78 39

40 Exercícios Quão longe a memória dos sistemas descritos abaixo se estende no passado? A relação entrada-saída de um diodo semicondutor é dada abaixo, esse diodo tem memória? v(t) é a tensão aplicada i(t) é a corrente através do diodo a 0, a 1, a 2,... são constantes 79 Um sistema é dito invariante no tempo se seus parâmetros não mudam com o tempo (permanecem constantes). Assim, um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada leva a um deslocamento idêntico no sinal de saída 80 40

41 Caso contrário, o sistema é dito variante no tempo Exemplo O sistema abaixo é invariante no tempo? y[n] = r n x[n] 81 Exercício Um termistor tem uma resistência que varia com o tempo devido a mudanças de temperatura. Digamos que R(t) denote a resistência do termistor, expressa como uma função do tempo. Se x(t) é o sinal de entrada que representa a tensão no termistor, e y(t) é o sinal de saída que representa a corrente no termistor, podemos representar a relação entrada-saída como Mostre que este sistema é variante no tempo

42 Um sistema é dito invertível se a entrada puder ser recuperada da saída do sistema De maneira formal, a saída do segundo sistema é: H -1 {y(t)} = H -1 { H{x(t)}} = H -1 H{x(t)} Para que a saída se iguale a entrada, devemos ter H -1 H = I sendo I o operador identidade Cada entrada possui uma única saída associada 83 Exemplo: Mostre que o sistema descrito abaixo não é invertível. y(t) = x 2 (t) Exercício: Considere o sistema de deslocamento no tempo descrito pela relação de entrada-saída Em que o operador representa um deslocamento no tempo de t 0 segundos. Encontre o inverso deste sistema

43 Exercício Lista de Exercícios