PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA ENG1380 SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 01 LISTA DE EXERCÍCIOS PROFA. FABRÍCIA NERES BORGES

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1 PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA ENG1380 SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 01 LISTA DE EXERCÍCIOS PROFA. FABRÍCIA NERES BORGES Determine a energia dos sinais mostrados na Fig. P Comente o efeito na energia da mudança de sinal, deslocamento temporal ou escalamento (dobro) do sinal. Qual é o efeito na energia se o sinal for multiplicado por k? Figura 1: P a) Determine a energia do par de sinais x(t) e y(t) mostrados na Fig. P1.1-3a e P1.1-3b. Trace e determine a energia dos sinais x(t) + y(t) e x(t) = y(t). Você consegue fazer alguma observação a partir destes resultados? (b) Repita a parte (a) para o par de sinais mostrados na Fig. P1.1-3c. A sua observação da parte (a) ainda é válida? 1

2 Figura 2: P Determine a potência do sinal periódico x(t) mostrado na Fig. P Determine, também, a potência e o valor rms de: (a) =x(t) (b) 2x(t) (c) cx(t). Comente. 2

3 Figura 3: P Determine a potência e o valor rms para cada um dos seguintes sinais: (a) cos(100t +π/3) (b) 10 cos(100t +π/3) + 16 sen(150t + π/5) (c) 10 cos 5t cos 10t (d) 10 sen 5t cos 10t (e) 10 sen 5t cos 10t (f) e jαt cosω 0 t Para o sinal x(t) mostrado na Fig. P1.2-1, trace os seguintes sinais (a) x(-t) (b) x(t+6) (c) x(3t) (d) x( t 2 ) Figura 4: P Para o sinal x(t) mostrado na Fig. P1.2-2, trace, 3

4 (a) x(t-4) (b) x( t 1,5 ) (c) x(-t) (d) x(2t) Figura 5: P Na Fig. P1.2-3, expresse os sinais x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t) e x 5 (t) em termos do sinal x(t) e suas versões deslocadas no tempo, escalonadas no tempo ou revertidas no tempo. Figura 6: P Determine se cada uma das seguintes armativas é verdadeira ou falsa. Se a armativa 4

5 for falsa, demonstre por prova analítica ou exemplo. (a) Todo sinal contínuo no tempo é um sinal analógico. (b) Todo sinal discreto no tempo é um sinal digital Determine se cada uma das seguintes armativas é verdadeira ou falsa. Se a armativa for falsa, demonstre por prova ou exemplo porque a armativa é falsa. (a) Todo sinal periódico limitado é um sinal de potência. (b) Todo sinal de potência limitado é um sinal periódico (c) Se um sinal de energia x(t) possui energia E, então a energia de x(at) é E/a. Considere a um número real positivo. (d) Se um sinal de potência x(t) possui potência P, então a potência de x(at) é P/a. Considere a um número real positivo Seja y 1 (t) = y 2 (t) = t 2 para 0 t 1. Observe que esta armativa não implica em y 1 (t) = y 2 (t) para todo t. (a) Dena y 1 (t) como um sinal par periódico com período T 1 =2. Rascunhe y 1 (t) e determine sua potência. (b) Projete um sinal periódico ímpar y 2 (t) com período T 2 =3 e potência igual a um. Descreva completamente y 2 (t) e rascunhe o sinal por, pelo menos, um período completo. [Dica: Existe um número innito de possíveis soluções para este problema = você só precisa encontrar uma delas!]. (c) Podemos criar uma função de valor complexo y 3 (t)=y 1 (t) + jy 2 (t). Determine se este sinal é periódico ou não. Se sim, determine o período T 3. Se não, justique por que o sinal não é periódico. (d) Determine a potência de y 3 (t) denido na parte (c). complexo z(t) é P = 1 lim T T + T 2 T 2 Z(τ)Z (τ)dτ. A potência de uma função de valor Expresse cada um dos sinais da Fig. P1.4-2 por uma única expressão para todo t. 5

6 Figura 7: P Determine e rascunhe as componentes pares e ímpares de: (a) u(t) (b) tu(t) (c) sin(ω o t) (d) cos(ω o t) (e) cos(ω o t + θ) (f) sin ω o tu(t) (g) cos ω o tu(t) Uma força x(t) atua em uma bola de massa M (Fig. P1.6-2). Mostre que a velocidade v(t) da bola em qualquer instante t > 0 pode ser determinada se conhecermos a força x(t) durante todo o intervalos de 0 a t e a velocidade inicial da bola v(0). 6

7 Figura 8: P Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares. (a) dy +2y(t)=x2 (t) (b) dy +3ty(t)=t2 x(t) (c) 3y(t) + 2 = x(t) (d) dy + y2 (t) = x(t) (e) ( dy )2 + 2y(t) = x(t) (f) dy dx + (sin t) (y(t)) = + 2x(t) (g) dy dx + 2y(t) = x(t) (h) y(t) = t x(τ)dτ Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são sistemas com parâmetros variantes no tempo. (a) y(t) = x(t 2) (b) y(t) = x( t) (c) y(t) = x(at) (d) y(t) = 5 5 x(τ)dτ (e) y(t) = ( ) dx 2 7

8 1.7-3 Para um certo sistema LIT com entrada x(t) e saída y(t) e as duas condições iniciais q 1 (0) x(t) q 1 (0) q 2 (0) y(t) e q 2 (0), as seguintes observações foram realizadas: e t u(t) e t (3t + 2)u(t) u(t) 1 1 2u(t) Determine y(t) quando as duas condições iniciais são zero e a entrada x(t) é como mostrado na Fig. P1.7-3 [Dica: Existem três causas: a entrada e cada uma das duas condições iniciais. Devido a propriedade de linearidade, se uma causa for aumentada por um fator k, a resposta a aquela causa também aumenta pelo mesmo fator k. Além disso, se as causas forem somadas, as respostas correspondentes também serão somadas.] Figura 9: P Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são causais e quais são não causais. (a) y(t) = x(t 2) (b) y(t) = x( t) (c) y(t) = x(at), para a>1 (d) y(t) = x(at), para a< Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são inversíveis e quais são não inversíveis. Para os sistemas inversíveis, determine a relação entrada-saída do sistema inverso. (a) y(t) = t x(τ)dτ (b) y(t) = x n (t), para x(t) real e n inteiro (c) y(t) = dx(t) 8

9 (d) y(t) = 3(3t 6) (e) y(t) = cos (x(t)) (f) y(t) =e x(t), para x(t) real Um sistema é dado por y(t) = dx(t 1) (a) O sistema é estável BIBO? [Dica: Considere a entrada do sistema x(t) uma onda quadrada.] (b) O sistema é linear? Justique sua resposta. (c) O sistema é sem memória? Justique sua resposta. (d) O sistema é causal? Justique sua resposta. (e) O sistema é invariante no tempo? Justique sua resposta. 9