Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 02 / Processos Aleatórios

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1 Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 02 / Processos Aleatórios Prof. Eduardo Simas (eduardo.simas@ufba.br) Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica/PPGEE Universidade Federal da Bahia ENGA83 - Semestre Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

2 Conteúdo 1 Introdução Definição de um Processo Aleatório Classificação dos Processos Aleatórios 2 Métodos de Descrição Valores Médios 3 Estacionaridade Estacionaridade do Sentido Amplo Ciclo-estacionaridade 4 Densidade Espectral de Potência 5 Médias Temporais e Ergodicidade 6 Exercícios de Fixação Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

3 Introdução Definição: Assim como as variáveis aleatórias mapeiam os resultados de um experimento no eixo real, os processos aleatórios (ou estocásticos) mapeiam os resultados de um experimento num conjunto amostral de sinais temporais x(t). A notação utilizada para definir um processo aleatório é X (t, Λ), sendo que: - a variável t representa o tempo; - a variável Λ representa o resultado do evento aleatório E; - para um resultado específico λ i de E existe uma função temporal x i (t) associada (chamada de função amostral ou realização do PA); - para um valor específico de tempo t t 0, X (t 0, Λ) representa uma coleção de valores numéricos obtidos das diversas funções temporais avaliadas em t = t 0, ou seja, X (t 0, Λ) é uma variável aleatória. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

4 Introdução Definição: Assim como as variáveis aleatórias mapeiam os resultados de um experimento no eixo real, os processos aleatórios (ou estocásticos) mapeiam os resultados de um experimento num conjunto amostral de sinais temporais x(t). A notação utilizada para definir um processo aleatório é X (t, Λ), sendo que: - a variável t representa o tempo; - a variável Λ representa o resultado do evento aleatório E; - para um resultado específico λ i de E existe uma função temporal x i (t) associada (chamada de função amostral ou realização do PA); - para um valor específico de tempo t t 0, X (t 0, Λ) representa uma coleção de valores numéricos obtidos das diversas funções temporais avaliadas em t = t 0, ou seja, X (t 0, Λ) é uma variável aleatória. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

5 Exemplos de processos aleatórios Exemplo 01: Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

6 Exemplos de processos aleatórios Exemplo 02: X (t) = A(λ)cos(120πt + Φ(λ)), onde A(λ) e Φ(λ) são variáveis aleatórias. Exemplo 03: Jogar um dado em t=0 e, a partir disso, associar às saídas λ i [1, 2, 3, 4, 5, 6], respectivamente, as formas de onda: x 1 (t) = 4, x 2 (t) = 2, x 3 (t) = 2, x 4 (t) = 4, x 5 (t) = t/2, x 6 (t) = t/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

7 Introdução Um processo aleatório pode ser classificado quando à natureza contínua ou discreta de t e x(t) em: X (t) Tempo Contínuo Tempo Discreto Contínuo Processo Aleatório Contínuo Sequência Aleatória Contínua Discreto Processo Aleatório Discreto Sequência Aleatória Discreta Dependendo das características estatísticas (distribuições, momentos, etc.) das funções amostrais x i (t) o processo aleatório pode ser classificado em: - estacionário (caso a estatística não dependa de t); - não-estacionário (caso contrário). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

8 Métodos de Descrição Um processo aleatório pode ser definido como um conjunto de n variáveis aleatórias indexado pela variável determinística t = t 0, t 1, t 2,..., t n. Deste modo um PA pode ser completamente descrito pelas distribuições conjuntas das n VAs que o compõem. Em geral este modo de descrição não é utilizado por ser extremamente complexo. A alternativa mais comum é utilizar: a função de distribuição de primeira ordem F X (t1)(x 1 ) e a função de distribuição de segunda ordem (conjunta) F X (t1),x (t 2)(x 1, x 2 ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

9 Métodos de Descrição - Valores Médios Assim como as variáveis aleatórias os processos aleatórios também podem ser descritos em termos dos seus valores médios. Em muitas aplicações os valores médios derivados das distribuições de primeira e segunda ordem são suficientes: - Média: µ X (t) = E{X (t)}. - Autocorrelação: R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )}. - Autocovariância: C XX (t 1, t 2 ) = R XX (t 1, t 2 ) µ X (t 1)µ X (t 2 ). - Coeficiente de Correlação: r XX (t 1, t 2 ) = C XX (t 1, t 2 ) CXX (t 1, t 1 )C XX (t 2, t 2 ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

10 Valores Médios - Exemplo 01 Encontre µ X (t), R XX (t 1, t 2 ), C XX (t 1, t 2 ) e r XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório descrito no slide 05 - Exemplo µ X (t) = E{X (t)} = x i (t) = i= t/2 t/2 6 = 0. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

11 Valores Médios - Exemplo 01 Encontre µ X (t), R XX (t 1, t 2 ), C XX (t 1, t 2 ) e r XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório descrito no slide 05 - Exemplo µ X (t) = E{X (t)} = x i (t) = i= t/2 t/2 6 = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )} = x i (t 1 )x i (t 2 ) = i=1 Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

12 Valores Médios - Exemplo 01 Encontre µ X (t), R XX (t 1, t 2 ), C XX (t 1, t 2 ) e r XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório descrito no slide 05 - Exemplo µ X (t) = E{X (t)} = x i (t) = i= t/2 t/2 6 = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )} = x i (t 1 )x i (t 2 ) = i=1 = 1 6 { t 1t t 1t 2 } = 1 6 { t 1t 2 }}. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

13 Valores Médios - Exemplo 01 Encontre µ X (t), R XX (t 1, t 2 ), C XX (t 1, t 2 ) e r XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório descrito no slide 05 - Exemplo µ X (t) = E{X (t)} = x i (t) = i= t/2 t/2 6 = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )} = x i (t 1 )x i (t 2 ) = i=1 = 1 6 { t 1t t 1t 2 } = 1 6 { t 1t 2 }}. - Como µ X (t) = 0, então C XX (t 1, t 2 ) = R XX (t 1, t 2 ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

14 Valores Médios - Exemplo 01 Encontre µ X (t), R XX (t 1, t 2 ), C XX (t 1, t 2 ) e r XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório descrito no slide 05 - Exemplo µ X (t) = E{X (t)} = x i (t) = i= t/2 t/2 6 = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )} = x i (t 1 )x i (t 2 ) = i=1 = 1 6 { t 1t t 1t 2 } = 1 6 { t 1t 2 }}. - Como µ X (t) = 0, então C XX (t 1, t 2 ) = R XX (t 1, t 2 ). - r XX (t 1, t 2 ) = 40 + (t 1 t 2 )/2 (40 + (t 21 )/2)(40 + (t22 )/2). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

15 Valores Médios - Exemplo 01 Encontre µ X (t), R XX (t 1, t 2 ), C XX (t 1, t 2 ) e r XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório descrito no slide 05 - Exemplo µ X (t) = E{X (t)} = x i (t) = i= t/2 t/2 6 = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )} = x i (t 1 )x i (t 2 ) = i=1 = 1 6 { t 1t t 1t 2 } = 1 6 { t 1t 2 }}. - Como µ X (t) = 0, então C XX (t 1, t 2 ) = R XX (t 1, t 2 ). - r XX (t 1, t 2 ) = 40 + (t 1 t 2 )/2 (40 + (t 21 )/2)(40 + (t22 )/2). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

16 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

17 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} como E{A} = 0 µ X (t) = 0. 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

18 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} como E{A} = 0 µ X (t) = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )}, fazendo t 1 = t e t 2 = t + τ: 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

19 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} como E{A} = 0 µ X (t) = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )}, fazendo t 1 = t e t 2 = t + τ: R XX (t, t + τ) = E{A cos(t + Θ)A cos(t + τ + Θ)} 1 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

20 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} como E{A} = 0 µ X (t) = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )}, fazendo t 1 = t e t 2 = t + τ: R XX (t, t + τ) = E{A cos(t + Θ)A cos(t + τ + Θ)} 1 R XX (t, t + τ) = E{ A2 [cos(τ) + cos(2t + τ + 2Θ)]} 2 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

21 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} como E{A} = 0 µ X (t) = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )}, fazendo t 1 = t e t 2 = t + τ: R XX (t, t + τ) = E{A cos(t + Θ)A cos(t + τ + Θ)} 1 R XX (t, t + τ) = E{ A2 [cos(τ) + cos(2t + τ + 2Θ)]} = cos(τ)/2 2 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

22 Valores Médios - Exemplo 02 Encontre µ X (t) e R XX (t 1, t 2 ) para o processo aleatório X (t) = A cos(t + Θ), sendo A uma variável aleatória normal com média nula e variância unitária e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π]. - µ X (t) = E{A cos(t + Θ)} = E{A}E{cos(t + Θ)} como E{A} = 0 µ X (t) = 0. - R XX (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )X (t 2 )}, fazendo t 1 = t e t 2 = t + τ: R XX (t, t + τ) = E{A cos(t + Θ)A cos(t + τ + Θ)} 1 R XX (t, t + τ) = E{ A2 [cos(τ) + cos(2t + τ + 2Θ)]} = cos(τ)/2 2 1 Utilizando a identidade trigonométrica: cos(x 1) cos(x2) = [cos(x 1 x 2) + cos(x 1 + x 2)]/2. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

23 Valores Médios - Dois ou + Processos Aleatórios - Correlação Cruzada: R XY (t 1, t 2 ) = E{X (t 1 )Y (t 2 )}. - Covariância Cruzada: C XY (t 1, t 2 ) = R XY (t 1, t 2 ) µ X (t 1)µ Y (t 2 ). - Coeficiente de Correlação: r XY (t 1, t 2 ) = C XY (t 1, t 2 ) CXX (t 1, t 1 )C YY (t 2, t 2 ). - Não-Correlação: dois processos aleatórios X (t) e Y (t) são ditos não-correlacionados se C XY (t 1, t 2 ) = 0 para todo t 1 e t 2. - Ortogonalidade: X (t) e Y (t) são ditos ortogonais se R XY (t 1, t 2 ) = 0 para todo t 1 e t 2. - Independência: X (t) e Y (t) são independentes se P[X (t 1 ) x 1,..., X (t n ) x n, Y (t 1) y 1,..., Y (t m) y m ] = P[X (t 1 ) x 1,..., X (t n ) x n ]P[Y (t 1) y 1,..., Y (t m) y m ] para todo t 1, t 2,..., tn, t 1, t m. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

24 Estacionaridade Na análise de sinais e sistemas determinísticos é comum utilizar-se os conceitos de sistema invariante no tempo e regime permanente para caracterizar a invariância com o tempo. Em se tratando de processos aleatórios o conceito de estacionaridade assume esse papel. Pode-se dizer que um processo aleatório é estacionário se suas funções de distribuição não variam com o tempo. De modo mais formal pode-se definir um processo estacionário no sentido restrito (SSS - strict sense stationary) como aquele que satifaz: P[X (t 1 ) x 1,..., X (t n ) x n, ] = P[X (t 1 + τ) x 1,..., X (t n + τ) x n ] Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

25 Estacionaridade Relaxando um pouco as condições de estacionaridade pode-se chegar à definição de estacionário no sentido amplo (WSS - wide sense stationary). Um processo WSS atende às condições a seguir: - E{X (t)} = µ X. - E{X (t)x (t + τ)} = R XX (τ). Ou seja, a média é constante e a autocorrelação depende apenas da diferença de tempo τ. O processo do exemplo 02 (slide 10) é WSS. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

26 Ciclo-estacionaridade Um processo aleatório é chamado ciclo-estacionário (ou periodicamente estacionário) quando a função densidade de probabilidade é independente de deslocamentos múltiplos inteiros de um valor constante T : f X (x 1,..., x N ; t 1,..., t N ) = f X (x 1,..., x N ; t 1 + mt,..., t N + mt ) Diversos processos na natureza podem ser considerados aproximadamente ciclo-estacionários, como por exemplo: - O ruído esperado em um sistema de comunicação com fios (que pode variar com a temperatura ambiente). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

27 Estacionaridade - Verificação Experimental Em muitos casos práticos não se tem acesso a informações precisas a respeito das expressões matemáticas dos processos aleatórios. Neste caso verifica-se a estacionaridade a partir dos valores medidos. Um procedimento muito adotado consiste em: - Dividir os processo aleatório em janelas temporais; - Estimar a média e a autocorrelação dentro destas janelas temporais. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

28 Estacionaridade - Verificação Experimental Exemplo: Sinal de Sonar Passivo - Dividindo-se o sinal em janelas temporais de 100 ms e calculando-se o valor médio em cada janela obteve-se: Valor médio= (0, 0039 ± 0, 0001), ou seja, aproximadamente constante. Valor Medio x Janela Temporal Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

29 Função de Autocorrelação de Processos WSS Reais Para processos estacionários (ou pelo menos WSS) a função de auto-correlação mostra a velocidade de variação de um processo aleatório com o tempo. A função de autocorrelação tem as propriedades a seguir: - R XX (τ) = R XX ( τ) (função par); - O valor máximo ocorre em τ = 0 (defasagem zero) e vale R XX (0) = E{X 2 (t)}. - Para processos aleatórios discretos é facil perceber que o processo de cálculo de R XX (τ) é semelhante ao de uma convolução. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

30 Função de Autocorrelação - Exemplos Possível Função de autocorrelação Função de auto correlação de um sinal de SONAR pasivo: 0.2 R XX τ Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

31 Função de Autocorrelação - Aplicação Detecção de ecos (medição de distâncias): A posição do pico da função de correlação cruzada (considerando os sinais enviado e recebido) indica o tempo de propagação T : Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

32 Densidade Espectral de Potência Para um sinal determinístico x(t) os componentes espectrais são obtidos a partir da Transformada de Fourier: X (f ) = F {x(t)}. Para sinais aleatórios WSS essa informação é obtida a partir da Densidade Espectral de Potência (PSD - Power Spectral Density), que é definida por: S XX (f ) = F {R XX (τ)} = A relação inversa pode ser expressa por: R XX (τ) = F {S XX (f )} 1 = R XX (τ) exp( j2πf τ)dτ (1) S XX (f ) exp( j2πf τ)df (2) Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

33 Densidade Espectral de Potência - Propriedades - S XX (f ) é real e não negativo. - A potência média de X (t) é dada por: E{X 2 (t)} = R XX (0) = S XX (f )df. - A potência concentrada entre f 1 e f 2 é calculada por f2 f1 S XX (f )df + S XX (f )df. f 1 f 2 - Para X (t) real R XX (τ) = R XX ( τ) S XX (f ) = S XX ( f ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

34 Densidade Espectral de Potência - Exemplos Exemplo de PSD. Exemplos de PSD limitadas em banda: Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

35 Densidade Espectral de Potência - Exemplos Considerando o processo aleatório do Exemplo 02 (slide ) X (t) = A cos(ω 0 t + Θ), chegou-se a R XX (τ) = cos(ω 0 τ)/2, deste modo, utilizando uma tabela de transformadas de Fourier: S XX (ω) = π 2 [cos(ω ω 0) + cos(ω + ω 0 )] Graficamente: Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

36 Médias Temporais A média temporal de uma função g(.) da variável aleatória X (t) é definida como: g[x (t)] T = 1 T T /2 T /2 g[x (t)]dt (caso contínuo) (3) g[x (t)] T = 1 m g[x (i)] (caso discreto) (4) m i=1 Lembrando que as correspondentes médias amostrais são dadas, respectivamente, por: E{g[X (t)]} = m E{g[X (t)]} = g(x i )P(X = x i ). i=1 g(α)f X (α)dα e Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

37 Médias Temporais Considerando um processo aleatório que associa o resultado de um dado (não tendencioso) a um dos sinais temporais a seguir: x 1 (t) = 5, x 2 (t) = 3, x 3 (t) = 1, x 4 (t) = 1, x 5 (t) = 3 e x 6 (t) = 5, encontre a média amostral e as médias temporais. - A média amostral para um tempo t = t 1 é: µ X = 0 Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

38 Médias Temporais Considerando um processo aleatório que associa o resultado de um dado (não tendencioso) a um dos sinais temporais a seguir: x 1 (t) = 5, x 2 (t) = 3, x 3 (t) = 1, x 4 (t) = 1, x 5 (t) = 3 e x 6 (t) = 5, encontre a média amostral e as médias temporais. - A média amostral para um tempo t = t 1 é: µ X = 0 - Existe uma média temporal para cada função x i, ou seja: µ X T = 5 para X (t) = x 1 (t) µ X T = 3 para X (t) = x 2 (t) µ X T = 1 para X (t) = x 3 (t) µ X T = 1 para X (t) = x 4 (t) µ X T = 3 para X (t) = x 5 (t) µ X T = 5 para X (t) = x 6 (t) Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

39 Médias Temporais Considerando um processo aleatório que associa o resultado de um dado (não tendencioso) a um dos sinais temporais a seguir: x 1 (t) = 5, x 2 (t) = 3, x 3 (t) = 1, x 4 (t) = 1, x 5 (t) = 3 e x 6 (t) = 5, encontre a média amostral e as médias temporais. - A média amostral para um tempo t = t 1 é: µ X = 0 - Existe uma média temporal para cada função x i, ou seja: µ X T = 5 para X (t) = x 1 (t) µ X T = 3 para X (t) = x 2 (t) µ X T = 1 para X (t) = x 3 (t) µ X T = 1 para X (t) = x 4 (t) µ X T = 3 para X (t) = x 5 (t) µ X T = 5 para X (t) = x 6 (t) Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

40 Ergodicidade Na análise de sinais aleatórios em geral assume-se que há o conhecimento prévio de valores como médias, funções de auto-correlação e densidades espectrais de potência. Em muitas aplicações estas informações não estão disponíveis e um problema central da teoria dos processos aleatórios é como fazer essa estimação a partir dos dados medidos. Seria bastante prático e simples se a estimação pudesse ser realizada a partir de uma observação do processo aleatório (ou seja, considerando apenas uma função amostral e calculando as médias temporais). Em geral, as médias amostrais e temporais são distintas, exceto quando o processo estocástico é ergódico. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

41 Ergodicidade Definição: Um processo aleatório estacionário é dito ergódico quando suas médias amostrais são iguais às médias temporais. A ergodicidade pode ser definida em função de algumas médias amostrais específicas: Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

42 Ergodicidade Definição: Um processo aleatório estacionário é dito ergódico quando suas médias amostrais são iguais às médias temporais. A ergodicidade pode ser definida em função de algumas médias amostrais específicas: - Ergodicidade da Média: lim T µ X T = µ X. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

43 Ergodicidade Definição: Um processo aleatório estacionário é dito ergódico quando suas médias amostrais são iguais às médias temporais. A ergodicidade pode ser definida em função de algumas médias amostrais específicas: - Ergodicidade da Média: lim T µ X T = µ X. - Ergodicidade da Autocorrelação: lim R XX (τ) T = R XX (τ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

44 Ergodicidade Definição: Um processo aleatório estacionário é dito ergódico quando suas médias amostrais são iguais às médias temporais. A ergodicidade pode ser definida em função de algumas médias amostrais específicas: - Ergodicidade da Média: lim T µ X T = µ X. - Ergodicidade da Autocorrelação: lim R XX (τ) T = R XX (τ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

45 Ergodicidade Deste modo, se um processo aleatório é considerado ergódico é possível estimar os parâmetros amostrais a partir de uma única realização. Exemplo: Para o sinal de sonar passivo mostrado nos exemplos anteriores, os valores de µ X e R XX (τ) foram obtidos das amostras considerando que o processo estocástico é ergódico: µ X 0, 0039; 0.2 R XX τ Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29

46 Exercícios de Fixação Os exercícios devem ser resolvidos e entregues no dia 03/04/2012. Neste dia, alunos serão sorteados para apresentar a solução de alguns destes exercícios para a turma. Os exercícios de fixação consistem em: 1 Problemas do livro Random Signals: Detection Estimation and Data Analysis de Shanmugan e Breipohl (a partir da página 204): 3.1, 3.2, 3.11, 3.12, 3.13, 3.17, 3.20, 3.22, 3.35, Utilizar o Matlab ou outro software adequado (Scilab, Statistica, Root, etc) para: a Considerando o processo aleatório X (t) = A cos(120t + Θ),sendo A uma variável aleatória normal com µ A = 0 e σ 2 A = 1 e Θ uma variável uniformemente distribuída no intervalo [ π, π], gere uma realização com pontos deste sinal para 0 < t 4s. b Estime computacionalmente os valores médios de primeira e segunda ordem e Trace a função de autocorrelação e a densidade espectral de potência. c Adcione a X (t) um ruído uniformente distribuido no intervalo [0; 0,2] e repita os itens a e b. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 02 - Processos Aleatórios ENGA83 - Semestre / 29