TE802 Processos Estocásticos em Engenharia

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João Batista Almada Aranha
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1 TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Duas Variáveis Aleatórias 29 de agosto de 2017 Duas Variáveis Aleatórias Função Distribuição Acumulada Conjunta: F X,Y (x,y) = P[X x, Y y] Propriedades: (a) 0 F X,Y (x,y) 1, (b) F X (x) = F X,Y (x, ), (c) F Y (y) = F X,Y (,y), (d) F X,Y (,y) = F X,Y (x, ), (e) Se x x 1 e y y 1, então F X,Y (x,y) F X,Y (x 1,y 1 ) (f) F X,Y (, ) = 1.

2 Função Massa de Probabilidade Conjunta P X,Y (x,y) = P[X = x,y = y]. x S X y S Y P X,Y (x,y) = 1. P[B] = P X,Y (x,y). (x,y) B Exemplo 1 A PMF conjunta, P Q,G (q,g), das variáveis aleatórias Q e G é dada pela seguinte tabela: Determine: (1) P[Q = 0] (2) P[Q = G] (3) P[G > 1] (4) P[G > Q] P Q,G (q,g) g = 0 g = 1 g = 2 g = 3 q = 0 0,06 0,18 0,24 0,12 q = 1 0,04 0,12 0,16 0,08

3 Função Massa de Probabilidade Marginal Considerando as variáveis aleatórias X e Y com PMF conjunta, P X,Y (x,y), temos que Exemplo 2: P X (x) = Determine P X (x) e P Y (y). y S Y P X,Y (x,y), P Y (y) = P X,Y (x,y) y = 0 y = 1 y = 2 x = 0 0, x = 1 0,09 0,09 0 x = ,81 x S X P X,Y (x,y). Função Densidade de Probabilidade Conjunta F X,Y (x,y) = x y f X,Y (u,v)dvdu P[x < X x + dx, y < Y y + dy] = f X,Y (x,y)dxdy 2 F X,Y (x,y) x y f X,Y (x,y)dxdy = 1 P[A] = f X,Y (x,y)dxdy A

4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta Exemplo 3: As V.A.s X e Y tem PDF conjunta dada por: { c, 0 x 5, 0 y 3, Determine: a) O valor da constante c; b) P[A] = P[2 X < 3, 1 Y < 3]. Exemplo 4: As V.A.s X e Y tem PDF conjunta dada por: { 1/15, 0 x 5, 0 y 3, Determine: P[A] = P[Y > X]. Funções Densidade de Probabilidade Marginais f X (x) = f Y (y) = f X,Y (x,y)dy f X,Y (x,y)dx Exemplo 5: As V.A.s X e Y tem PDF conjunta dada por: { 5y/4, 1 x 1, x 2 y 1, Determine as PDF marginais f X (x) e f Y (y).

5 Funções de Duas Variáveis Aleatórias Sejam X e Y duas variáves aleatórias discretas. A variável aleatória W = g(x,y ) tem PMF dada por, P W (w) = (x,y):g(x,y)=w P X,Y (x,y). Exemplo 6: As V.A.s X e Y tem PMF conjunta dada por: P X,Y (x,y) = { 1 28xy, x = 1,2,4; y = 1,3, Considerando a função W = X Y, determine: a) P W (w) b) E[W ] c) P[W > 0] Funções de Duas Variáveis Aleatórias Sejam X e Y duas variáves aleatórias contínuas. A variável aleatória W = g(x,y ) tem CDF dada por, F W (w) = P[W w] = f X,Y (x,y)dxdy. g(x,y) w Exemplo 7: As V.A.s X e Y tem PDF conjunta dada por: { λµe (λx+µy), x 0, y 0, Determine a PDF de W = Y/X

6 Valores Esperados Para duas variáveis aleatórias X e Y, o valor esperado de W = g(x,y ) é: Discreta: E[W ] = Contínua: E[W ] = x S X y S Y g(x,y)p X,Y (x,y), g(x,y)f X,Y (x,y)dxdy. E[g 1 (X,Y )+ +g n (X,Y )] = E[g 1 (X,Y )]+ +E[g n (X,Y )] E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] + 2E[(X µ X )(Y µ Y )] Valores Esperados Covariância: Cov[X,Y ] = E[(X µ X )(Y µ Y )] Correlação: r X,Y = E[XY ] Cov[X,Y ] = r X,Y µ X µ Y Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] + 2Cov[X,Y ] Se X = Y, Cov[X,Y ] = Var[X] = Var[Y ] e r X,Y = E[X 2 ] = E[Y 2 ] X e Y são ortogonais se r X,Y = 0 X e Y são descorrelacionadas se Cov[X,Y ] = 0 Coeficiente de Correlação: ρ X,Y = Cov[X,Y ] = Cov[X,Y ], 1 ρ X,Y 1 Var[X]Var[Y ] σ X σ Y

7 Coeficiente de Correlação Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tal que Y = ax + b. Então, 1, a < 0, ρ X,Y = 0, a = 0, 1, a > 0. Exemplos de V.A.s e seus coeficientes de correlação: X é a altura de um estudante e Y é o peso do mesmo estudante 0 < ρ X,Y < 1 X é distância de um telefone celular até a estação rádio base e Y é a potência do sinal recebido pelo telefone 1 < ρ X,Y < 0 X é a temperatura de um resistor medida em graus Celsius e Y é a temperatura do mesmo resistor medida em graus Kelvin ρ X,Y = 1 X é o ganho de um circuito elétrico medido em decibéis e Y é a atenuação, medida em decibéis, do mesmo circuito ρ X,Y = 1 X é o número de um telefone celular e Y é o RG do dono do celular ρ X,Y = 0 Exemplo 8 As variáveis aleatórias L e T representam, respectivamente, o número de páginas e o tempo de transmissão por página de modelos de fax. A PMF conjunta destas V.A.s é dada pela seguinte tabela: Determine: P L,T (l,t) t = 40s t = 60s l = 1 página 0,15 0,1 l = 2 páginas 0,30 0,2 l = 3 páginas 0,15 0,1 (1) E[L] e Var[L] (2) E[T ] e Var[T ] (3) r L,T = E[LT ] (4) Cov[L,T ] (5) ρ L,T

8 Exemplo 9 As V.A.s X e Y tem PDF conjunta dada por: { xy, 0 x 1, 0 y 2, Determine: a) E[X] e Var[X] b) E[Y ] e Var[Y ] c) r X,Y = E[XY ] d) Cov[X,Y ] e) ρ X,Y Condicionamento por um Evento P X,Y B (x,y) = P[X = x,y = y B] { PX,Y (x,y) P X,Y B (x,y) = P[B], (x,y) B, { fx,y (x,y) f X,Y B (x,y) = P[B], (x,y) B, E[W B] = g(x,y)p X,Y B (x,y), y S Y E[W B] = x S X g(x,y)f X,Y B (x,y)dxdy. Var[W B] = E [ (W µ W B ) 2 B ] = E[W 2 B] (µ W B ) 2

9 Exemplo 10 As V.A.s X e Y tem PDF conjunta dada por: { 1/15, 0 x 5, 0 y 3, a) Determine a PDF condicional de X e Y dado o evento B = {X + Y 4} b) Determine o valor esperado condicional de W = XY dado o evento B = {X + Y 4} Condicionamento por uma Variável Aleatória P X Y (x y) = P[X = x Y = y] P X,Y (x,y) = P X Y (x y)p Y (y) = P Y X (y x)p X (x) E[g(X,Y ) Y = y] = x S X g(x,y)p X Y (x y) E[X Y = y] = f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f Y (y) x S X xp X Y (x y) f Y X (y x) = f X,Y (x,y) f X (x) { 2, 0 y x 1, Exemplo 11: Dada, determinar f X Y (x y) para 0 y 1 e f Y X (y x) para 0 x 1.

10 Condicionamento por uma Variável Aleatória E[g(X,Y ) Y = y] = E[X Y = y] = g(x,y)f X Y (x y)dx xf X Y (x y)dx Exemplo 12: Com relação à PDF condicional, f X Y (x y), obtida no Exemplo 11, determinar E[X Y ]. E[E[X Y ]] = E[X] E[E[g(X) Y ]] = E[g(X)] Variáveis Aleatórias Independentes As variáveis aleatórias X e Y são independentes se e somente se: Caso Discreto: P X,Y (x,y) = P X (x)p Y (y) Caso Contínuo: f X (x)f Y (y) Propriedades: (a) E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )] (b) r X,Y = E[XY ] = E[X]E[Y ] (c) Cov[X,Y ] = ρ X,Y = 0 (d) Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] (e) E[X Y = y] = E[X] y S Y (f) E[Y X = x] = E[Y ] x S X

11 Distribuição Gaussiana Bivariada exp [ ( ) x µ1 2 ( ) 2ρ(x µ 1 )(y µ 2 ) y µ2 2 + σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 2(1 ρ 2 ) 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 ]

12 Distribuição Gaussiana Bivariada Se X e Y são as V.A.s Gaussianas bivariadas definidas anteriormente, X é Gaussiana (µ 1,σ 1 ) e Y é Gaussiana (µ 2,σ 2 ) f Y X (y x) = 1 σ 2 2π e (y µ 2(x)) 2 /2 σ 2 2, onde, dado X = x, µ 2 (x) = µ 2 + ρ σ 2 σ 1 (x µ 1 ), σ 2 2 = σ2 2 (1 ρ2 ) f X Y (x y) = 1 σ 1 2π e (x µ 1(y)) 2 /2 σ 2 1, onde, dado Y = y, µ 1 (y) = µ 1 + ρ σ 1 σ 2 (y µ 2 ), σ 2 1 = σ2 1 (1 ρ2 ) ρ X,Y = ρ PDF Gaussiana Conjunta com µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = σ 2 = 1 e ρ = 0,9

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