TE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Processo Aleatório. TE802 Processos Aleatórios. Evelio M. G. Fernández. 18 de outubro de 2017

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1 TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Processos Aleatórios 18 de outubro de 2017 Processo Aleatório Processo Aleatório (ou Estocástico), X(t): Função aleatória do tempo para modelar formas de onda desconhecidas

2 Processos Estocásticos Definições Processo Estocástico, X(t): Consiste de um experimento com uma medida de probabilidade P[ ] definida num espaço amostral S e uma função que atribui uma função do tempo x(t,s) a cada realização (função amostra) s no espaço amostral do experimento. Função amostra x(t,s): Função do tempo associada com o resultado s de um experimento. Ensemble: Conjunto de todas as possíveis funções do tempo que podem resultar de um experimento. Exemplo Registro, M(t), do número de chamadas em andamento contabilizadas num comutador telefônico a cada segundo sobre um intervalo de 15 minutos: Média de ensemble: Número médio de chamadas em andamento em, por exemplo, t = 403 segundos. Média temporal: Número médio de chamadas em andamento durante um determinado intervalo de 15 minutos.

3 Processo Aleatório Processo Aleatório Um processo aleatório, observado num instante de tempo é uma variável aleatória Processo Aleatório: conjunto indexado de V.A. onde o índice é o tempo Para uma V.A: o resultado de um experimento aleatório é associado a um número Para um processo aleatório: o resultado de um experimento aleatório é associado a uma forma de onda que é uma função do tempo

4 Tipos de Processos Aleatórios Variáveis Aleatórias de Processos Aleatórios Exemplo 1: Seja X(t) = R cos(2πft) { um sinal retificado com amplitude aleatória R 1 cuja PDF é dada por: f R (r) = 10 e r/10, r 0, 0, fora. Determine f X(t) (x). Exemplo 2: Numa linha de produção de resistores de 1000 Ω o valor real de cada resistor é uma V.A. R, uniforme (950,1050). As resistências de resistores diferentes são independentes. Para atender um pedido de resistores com 1% de tolerância utiliza-se um verificador automático que a cada segundo mede o valor exato de resistência de um resistor (este teste dura um segundo). O processo N(t) representa o número de resistores com 1% de tolerância encontrados em t segundos. A V.A. T r representa o tempo transcorrido até r resistores com 1% de tolerância serem identificados. Determine: a) A probabilidade, p, de um determinado resistor ter 1% de tolerância. b) A PMF de N(t). c) O valor esperado do tempo até encontrar o primeiro resistor com 1% de tolerância, E[T 1 ]. d) A probabilidade de o primeiro resistor com 1% de tolerância ser encontrado em exatamente 5 segundos. e) Se o primeiro resistor com 1% de tolerância é identificado transcorridos 10 segundos, determine E[T 2 T 1 = 10].

5 Processos Aleatórios: Caracterização Estatística Função de Densidade de Probabilidade Conjunta: f X(t1 )X(t 2 ) X(t k )(x 1, x 2,..., x k ) Processos de Poisson Processos de Contagem, N(t): n(t,s) = 0 para t < 0 e n(t,s) é uma função amostra de valor inteiro e não decrescente com o tempo. Processo de Poisson de taxa λ: (a) O número de chegadas em qualquer intervalo (t 0,t 1 ], N(t 1 ) N(t 0 ), é uma variável aleatória de Poisson com valor esperado λ(t 1 t 0 ). (b) Para qualquer par de intervalos não sobrepostos (t 0,t 1 ] e (t 0,t 1], o número de chegadas em cada intervalo, N(t 1 ) N(t 0 ) e N(t 1) N(t 0) respectivamente, são variáveis aleatórias independenetes.

6 Processos de Poisson A variável aleatória de Poisson, M = N(t 1 ) N(t 0 ) tem PMF dada por: P M (m) = { [λ(t1 t 0)] m m! e λ(t1 t0), m = 0,1,..., 0, fora. Para um processo de Poisson N(t) de taxa λ, a PMF conjunta de N = [ N(t 1 )... N(t k ) ] para t1 < < t k é dada por: P N (n) = { α n 1 1 e α 1 n 1! α n 2 n 1 2 e α 2 e α k (n 2 n 1)! αnk nk 1 k (n k n k 1 )!, 0 n 1 n k, 0, fora. onde α 1 = λt 1, e para i = 2,...,k, α i = λ(t i t i 1 ). Para um processo de Poisson de taxa λ, os tempos entre chegadas X 1,X 2,..{. são sequências aleatórias iid com PDF exponencial λe f X (x) = λx, x 0, 0, fora. Propriedades dos Processos de Poisson Exemplo 3: Pacotes de dados transmitidos por um modem telefônico formam um processo de Poisson de taxa 10 pacotes/segundo. Usando M k para representar o número de pacotes transmitidos na k-ésima hora, determine a PMF conjunta de M 1 e M 2. P[X n > t + x X n > t] = P[X n > t + x,x n > t] P[X n > t] = e λx. Sejam N 1 (t) e N 2 (t) dois processos de Poisson independentes com taxas λ 1 e λ 2. O processo de contagem N = N 1 (t) + N 2 (t) é um processo de Poisson de taxa λ 1 + λ 2. Seja N = N 1 (t) + N 2 (t). Dado que aconteça uma chegada no processo N(t), a probabilidade condicional de a chegada ser do processo N 1 (t) é λ 1 /(λ 1 + λ 2 ).

7 Valor Esperado e Correlação O valor esperado de um processo estocástico X(t) é a função determinística µ X (t) = E[X(t)] Exemplo 4: Se R é uma V.A. positiva, determine o valor esperado de X(t) = R cos(2πft) A função autocovariância do processo estocástico X(t) é C X (t,τ) = Cov[X(t),X(t + τ)] e da sequência aleatória X n é C X [m,k] = Cov[X m,x m+k ] τ = 0 C X (t,τ) = Var[X(t)] e para k = 0, C X [n,n] = Var[X n ] A função de autocorrelação do processo estocástico X(t) é R X (t,τ) = E[X(t)X(t + τ)] e da sequência aleatória X n é R X [m,k] = E[X m X m+k ] C X (t,τ) = R X (t,τ) µ X (t)µ X (t + τ) C X [n,k] = R X [n,k] µ X (n)µ X (n + k) Exercícios Exercício 1: O sinal na entrada de um filtro digital é uma sequência aleatória iid...,x 1,X 0,X 1,... com E[X i ] = 0 e Var[X i ] = 1. A saída do filtro é uma sequência aleatória...,y 1,Y 0,Y 1,... que se relaciona com a sequência de entrada através de Y n = X n + X n 1. Determine E[Y n ] e C Y [m,k] Exercício 2: Dado um processo aleatório X(t) com valor esperado µ X (t) e autocorrelação R X (t,τ) considere a observação de Y (t) = X(t) + N(t) onde N(t) é um processo aleatório de ruído com µ N (t) = 0 e autocorrelação R N (t,τ). Supondo que o processo de ruído é independente de X(t), determine o valor esperado e a autocorrelação de Y (t).

8 Processos Estacionários Processo Aleatório Estacionário (no sentido estrito): A sua caracterização estatística é independente do tempo em que a observação do processo é iniciada: f X(t1 +τ)x(t 2 +τ) X(t k +τ)(x 1, x 2,..., x k ) = f X(t1 )X(t 2 ) X(t k )(x 1, x 2,..., x k ) Processo Aleatório Estacionário Questão: Avaliar a probabilidade de obtermos uma função amostra x(t) de um processo aleatório X(t) que passe através deste conjunto de janelas de amplitude.

9 Processo Aleatório Estacionário Propriedades de Processos Estacionários Se X(t) é um processo aleatório estacionário, então Y (t) = ax(t) + b é também um processo estacionário, µ X (t) = µ X, R X (t,τ) = R X (τ), C X (t,τ) = R X (τ) µ 2 X = C X(τ).

10 Exemplo 5: Onda Senoidal com Fase Aleatória Considere o processo aleatório X(t) = A cos(2πf c t + Θ), onde Θ é uma variável aleatória uniforme (0, 2π). Determine o valor esperado e a autocorrelação deste processo. Processos Estacionários no Sentido Amplo X(t) é um processo estocástico estacionário no sentido amplo se para todo t, E[X(t)] = µ X e R X (t,τ) = R X (τ) Propriedades de R X (τ) 1 R X (0) = E[X 2 (t)] 2 R X (τ) = R X ( τ) 3 R X (τ) R X (0) R X (τ) descreve a interdependência de duas variáveis aleatórias obtidas observando-se um processo aleatório X(t) em instantes de tempo τ segundos separados.

11 Processos Ergódicos Médias Temporais de Funções Amostra: X(T ) = 1 2T X 2 (T ) = 1 2T T T T R X (τ, T ) = 1 2T x(t)dt T T x 2 (t)dt T x(t + τ)x(t)dt O processo X(t) é ergódico para a média se, lim T X(T ) = µ X lim Var[X(T )] = 0 T Um processo X(t) com autocovariância C X (τ) é ergódico para a média se e somente se lim T 1 2T 2T 2T ( 1 u ) C X (u)du = 0 2T Processos Ergódicos O processo X(t) é ergódico na função de autocorrelação se, lim R X(τ, T ) = R X (τ) T lim Var[R X(τ, T )] = 0 T Exemplo 6: Considere o processo X(t) = A cos(ω 0 t + Θ), onde Θ é uma variável aleatória com densidade uniforme no intervalo [0, 2π], e A é uma V. A. discreta, sendo P[A = 1] = P[A = 2] = 1 2. a) Calcule E[X(t)], R X (t 1,t 2 ), e σ 2 X (t). b) Esse processo é ergódico na média? E na autocorrelação?

12 Correlação Cruzada Função de correlação cruzada: R XY (t,τ) = E[X(t)Y (t + τ)] X(t) e Y (t) são processos aleatórios conjuntamente estacionários no sentido amplo se X(t) e Y (t) são ambos estacionários no sentido amplo e se R XY (t,τ) = R XY (τ) Se X(t) e Y (t) são processos conjuntamente estacionários no sentido amplo, então R XY (τ) = R Y X ( τ) Exemplo 7: X(t) é um processo aleatório estacionário no sentido amplo com função de autocorrelação R X (τ). Considere Y (t) = X( t). a) Expresse a função de autocorrelação de Y (t) em termos de R X (τ). É Y (t) estacionário no sentido amplo? b) Expresse a função de correlação cruzada de X(t) e Y (t) em termos de R X (τ). São X(t) e Y (t) conjuntamente estacionários no sentido amplo? Processos Gaussianos 1 X(t) é um processo Gaussiano se X = [ X(t 1 )... X(t k ) ] é um vetor Gaussiano. 2 Se X(t) é um processo Gaussiano estacionário no sentido amplo, então X(t) é um processo Gaussiano estacionário. 3 Se as V.A.s X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t n ) de um processo Gaussiano não são correlacionadas, ou seja, se E [( X(t k ) µ X(tk )) ( X(ti ) µ X(ti ))] = 0, i k então essas V.A.s são estatisticamente independentes. 4 Seja X(t) um processo Gaussiano na entrada de um sistema linear invariante no tempo, então o processo na saída do sistema continua sendo Gaussiano.

13 Processo de Ruído Branco Gaussiano W (t) é um processo de ruído branco Gaussiano se e somente se W (t) é um processo estocástico estacionário Gaussiano com µ W = 0 e R W (τ) = N 0 2 δ(t) Exercícios Exercício 3: Sejam X(t) e Y (t) dois processos estacionários no sentido amplo e independentes com médias µ X e µ Y e funções de autocorrelação R X (τ) e R Y (τ), respectivamente. Seja W (t) = X(t)Y (t). (a) Determine µ W (t) e R W (t,τ) e verifique se W (t) é estacionário no sentido amplo. (b) São W (t) e X(t) conjuntamente estacionários no sentido amplo? Exercício 4: Seja X(t) um processo aleatório de tempo contínuo Gaussiano com funções valor esperado e autocovariância dadas por µ X (t) = 3t, C X (t 1,t 2 ) = 9e 2 t 1 t 2. Determine P[X(3) < 6] e P[X(1) + X(2) > 15].