Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430

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1 Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Fabrício Simões IFBA 16 de novembro de 2015 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

2 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

3 Revisão de Probabilidade Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

4 Espaço Amostral - Teoria Básica de Probabilidade 1 Espaço Amostral - S: Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo: Jogar um dado. 2 Evento - A : Subconjunto do espaço amostral. Espaço Amostral - S Evento A Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

5 Conceito de Probabilidade 1 Considere que um experimento seja realizado N vezes e que o resultado A 1 tenha ocorrido N A1 vezes. A frequência relativa de A 1 é dada por f r (A 1 ) = N A 1 N 2 Mas, com o aumento do valor de N é possível identificar uma regularidade estatística, um padrão no comportamento do valor de f r. Para n : N A1 P(A 1 ) = lim n n Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

6 Probabilidade de um Evento 1 Se os elementos forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer o evento A, P(A), é a soma da probabilidade de cada elemento que compõe o subconjunto A é dada por P(A) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A N ) 2 Entretanto, se todos os resultados (elementos) ocorrem com a mesma probabilidade (eventos equiprováveis), então: Exemplo 1 - Jogar um dado. P(A) = N(A) N(S) Probabilidade de ocorrer o evento A = {3, 5} é dada por P(A) = 2 6 = 1 3 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

7 Axiomas de Kolmogorov 1 P(A) 0; 2 0 P(A) 1; 3 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, 4 P(A B) = P(A) + P(B) A B = Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

8 Probabilidade 1 Probabilidade de ocorrer o evento A E o evento B : P(A B) = P(A)P(B), se os eventos forem independentes. 2 Probabilidade de ocorrer o evento A OU o evento B : para P(A B) = Exemplo 2 P(A B) = P(A) + P(B), Considere o lançamento de um dado. Qual a probabilidade de ocorrer o evento B = {1} OU o evento A = {6}? P(A B) = P(A) + P(B) = = 1 3 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

9 Probabilidade Condicional 1 P(A/B) - Probabilidade de ocorrer A dado que B ocorreu. P(A/B) = P(A B), P(B) 0 P(B) 2 Os eventos são independentes quando a ocorrência do evento A não depende do evento B, então: P(A B) = P(A)P(B) e P(A/B) = P(A) Regra de Bayes P(B/A) = P(A/B)P(B), P(A) 0 P(A) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

10 Adição e Multiplicação Regras de Adição P( n i=1a i ) = n P(A i ) P(A i A j ) + P(A i A j A k ) i=1 Regras de Multiplicação ( 1) n P(A i... A k ) P(A 1 A 2... A k ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 ) P(A k /A 1 A 2... A k 1 ) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

11 Aplicação 1 - Engenharia de Confiabilidade Sabendo que a probablidade dos sistemas A e B funcionarem é p, qual a probabilidade do sistema completo funcionar? A p i(t) L B p R i(t) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

12 Variável Aleatória 1 É uma variável cujo valor (um número real) depende da ocorrência do evento. Evento X = f(evento) nível baixo 0 Mapeamento nível alto 1 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

13 Variável Aleatória Discreta f(x) Fonte Digital X 1 1/2 P (X = 0) = 0,5 P (X = 1) = 0,5 0 Espaço Amostral de X 0 1 x Distribuição de Probabilidade 1 O par (x i, P x (x i )) é uma distribuição de probabilidade se c) P x (x i ) é a probabilidade de ocorrer x i. a) P x (x i ) 0; b) i P x(x i ) = 1; Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

14 Variável Aleatória Contínua 1 Exemplo: x(t) variação contínua da amplitude Ruído Térmico x t a b p x(x) x 2 Propriedades: P(a < x < b) = b a p x (x) 0 p x (x)d x Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

15 Momentos de Ordem n Variável Aleatória Contínua E[x n ] = Variável Aleatória Discreta x n p x (x)dx E[x n ] = i x n i P x (x i ) Mais importantes : Ordens 1 e 2. µ x = E[x] = xp x (x)dx E[x 2 ] = x 2 p x (x)dx Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

16 Momento Centrais O n-ésimo momento central da variável aleatória x é dado por E[(x µ x ) n ] = Resultados importantes E[(x µ x )] = 0 (x µ x ) n p x (x)dx E[(x µ x ) 2 ] = σ 2 x σ 2 x é a variância da variável aleatória x. σ 2 x é o desvio padrão. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

17 Variáveis Aleatórias Conjuntas e Discretas Em alguns experimentos, o resultado depende de duas ou mais variáveis aleatórias; Vamos considerar as variáveis aleatórias discretas x e y, cuja probabilidade de x = x i e y = y j é representada por P xy (x i, y j ) Se as variáveis aleatórias são discretas e independentes, então : P xy (x i, y j ) = P x (x i )P y (y j ) Distribuições de probabilidade marginais são dadas por P x (x i ) = N P xy (x i, y j ) j=1 P y (y j ) = N P xy (x i, y j ) i=1 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

18 Probabilidade Condidional Probabilidade condicional entre as variáveis aleatórias discretas x i e y j Mas, se x i e y j são independentes P x/y (x i /y j ) = P xy(x i, y j ) P y (y j ) P y/x (y j /x i ) = P xy(x i, y j ) P x (x i ) P x/y (x i /y j ) = P x (x i ) P y/x (y j /x i ) = P y (y j ) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

19 Variáveis Aleatórias Conjuntas e Contínuas Função de densidade de probabilidade conjunta p xy (x, y) = p x (x)p y (y), para variáveis aleatórias independentes. Probabilidade de x 1 x x 2 e y 1 y y 2 é dada por P(x 1 x x 2, y 1 y y 2 ) = x2 y2 x 1 y 1 Funções de densidade de probabilidade marginal p x (x) = p y (y) = p xy (xy)d y p xy (xy)d x p xy (x, y)d x d y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

20 Probabilidade Condicional 1 A função de densidade de probabilidade condicionada p x/y (x, y) é dada por p x/y (x/y) = p x,y (x, y) p y (y), p y (y) = p x,y (x, y)d x 2 Mas, para variáveis x e y independentes, temos que 3 Então: p x,y (x, y) = p x (x)p y (y) p x/y (x/y) = p x (x) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

21 Aplicação 2 1 Determine as probabilidades P y (0) e P y (1). X e Y são variáveis aleatorias conjuntas e discretas P X (0) = q X 1 P e P e Y 0 P Y (0) =? 1 P X (1) = 1-q 1 P e P e 1 P Y (1) =? Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

22 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 2 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

23 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 4 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

24 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 8 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

25 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 10 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

26 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 12 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

27 Processo Estocástico Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

28 Espaço Amostral de um Processo Estocástico O espaço amostral é constituído por funções no domínio do tempo, ou seja, as realizações do evento dependem do tempo. x 3(t) x 2(t) t x 1(t) t t x 4(t) t Espaço Amostral Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

29 Espaço Amostral de um Processo Estocástico Cada membro x n (t) do processo x(t) é uma amostra, uma possível realização; E o valor de uma amostra no instante t a, ou seja, x n (t a ), é uma variável aleatória. Espaço Amostral do Processo x(t) x 1 (t) t a t x 2 (t) t Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

30 Processo Estocástico - Definições 1 É uma extensão do conceito de variável aleatória, compreendendo o espaço amostral, o conjunto de formas de onda e as funções densidade de probabilidade associadas. 2 É um experimento aleatório cujos resultados é uma forma de onda em função do tempo. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

31 Contínuo e Discreto Contínuo Variável aleatória assume qualquer valor dentro do intervalo [a,b]. Por exemplo, o ruído branco. Discreto Variável aleatória assume valores isolados (pontuais) dentro do intervalo [a,b]. Por exemplo, o sinal quantizado e o número de ligações em um sistema telefônico. x(t) y(t) t t t t ta tb tc td te Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

32 Função de Autocorrelação É uma medida da taxa de mudança das funções amostrais de um processo estocástico. x(t) y(t) x 1(t) y 1(t) R x(τ) R y(τ) t t x 2(t) y 2(t) t x 3(t) t x(t 1) x(t 2) x(t 1), x(t 2) são variáveis aleatórias. y 3(t) x(t 1) x(t 2) y(t 1), y(t 2) são variáveis aleatórias. t t R x (τ 1 ) > R y (τ 1 ) τ 1 = t 2 t 1 τ Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

33 Função de Autocorrelação: Abordagem Matemática Inicialmente, vamos adotar as variáveis abaixo : x(t 1 ) = x 1. x(t 2 ) = x 2. Portanto, a autocorrelação entre essas variáveis nos instantes t 1 e t 2 é dada por R x (t 2, t 1 ) = E[x 1 x 2 ] = x 1 x 2 p x1,x 2 (x 1, x 2 ; t 1, t 2 )dx 1 dx 2 Mas, em algumas situações a autocorrelação depende apenas da diferença τ = t 2 t 1 R x (t 2 t 1 ) = R x (τ) = E[x(t 1 )x(t 1 + τ)] Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

34 Estacionário no Sentido Estrito (SSS) Lembre-que: O processo estocástico (aleatório) é uma coleção infinita de variáveis aleatórias; Cada variável aleatória x(t 1 ) no instante t 1 possui uma função densidade de probabilidade p x1 (x 1 ); Para todas as variáveis aleatórias, temos uma função densidade de probabilidade conjunta p x1,x 2,...,x n (x 1, x 2,..., x n ; t 1, t 2,..., t n ) de ordem n. Definição de Estacionaridade no Sentido Estrito Processo aleatório cujo comportamento estatístico não muda com o tempo, por exemplo: fdp de ordem 1: p x1 (x 1 ; t 1 ) = p x (x) fdp de ordem n: p x1,x 2,...,x n (x 1, x 2,..., x n ) são independentes da escolha do tempo. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

35 Contraexemplo: A temperatura é não estacionária p x3 (x 3 ) p x4 (x 4 ) - Estatísticas dependem do tempo. x(t 4 ) = x 4 x(t 3 ) = x 3 p x4 (x 4 ) (x3) px3 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

36 Estacionário no Sentido Estrito (SSS) Algumas consequências do conceito da estacionaridade no sentido estrito: A densidade de probabilidade de primeira ordem é independente do tempo. Portanto, P(x(t 1 ) k) = P(x(t 1 + T ) k) = A média é constante E[x 1 ] = E[x 2 ] = k xp x (x)dx p x (x)dx A densidade de probabilidade conjunta de segunda ordem é independente do tempo. Portanto, P(x(t 1 ) k, x(t 2 ) k) = P(x(t 1 + T ) k, x(t 2 + T ) k) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

37 Estacionário no Sentido Estrito (SSS) e Amplo (WSS) A autocorrelação depende apenas da diferença t 2 t 1. R x1,x 2 (t 2 t 1 ) = x 1 x 2 p x1,x 2 (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 Mas, existe uma condição menos restritiva de estacionaridade chamada de Estacionaridade no Sentido Amplo (WSS) Nesse caso: A média de x(t) independe do tempo; A autocorrelação entre x(t 1 ) e x(t 2 ) depende apenas da diferença t 2 t 1. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

38 Exercícios 1 Considere o sinal DC aleatório x(t) = k. A variável k pode assumir com a mesma probabilidade os valores { 5, 3, 1, 1, 3, 5}. Esboce o espaço amostral do processo x(t) Calcule a média de x(t) Calcule a autocorrelação do processo x(t) É estacionário no sentido amplo (WSS)? 2 Considere o processo x(t) = at + b. A variável b é constante e a, uma variável aleatória modelada por uma função uniforme no intervalo [ 2, 2] Esboce o espaço amostral do processo x(t) É estacionário no sentido estrito (SSS) ou no sentido amplo (WSS)? Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

39 Exercício 1 Um processo estocástico x(t) tem funções amostrais da forma x(t) = A + B cos(ω o t + θ), no qual A é uma constante, B é uma variável aleatória modelado por uma função uniforme U [0, ] e θ modelada por U [0, 2π]. O processo é estacionário? Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 35

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