TE802 Processos Estocásticos em Engenharia

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Marcos Aveiro Lacerda
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1 TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Vetores Aleatórios 10 de setembro de 2017 Modelos Probabiĺısticos para N Variáveis Aleatórias F X1,...,X n (x 1,...,x n) = P[X 1 x 1,..., X n x n] (x 1,...,x n) = P[X 1 = x 1,..., X n = x n] f X1,...,X n (x 1,...,x n) = n F X1,...,X n (x 1,...,x n) x 1 x n Se X 1,...,X n são V.A.s discretas com PMF: (x 1,...,x n), (x 1,...,x n) 0 x 1 S X1 x n S Xn (x 1,...,x n) = 1 Se X 1,...,X n são V.A.s contínuas com PDF: f X1,...,X n (x 1,...,x n), f X1,...,X n (x 1,...,x n) 0 F X1,...,X n (x 1,...,x n) = x 1 x n fx 1,...,X n (u 1,...,u n)du 1 du n fx 1,...,X n (x 1,...,x n)dx 1 dx n = 1

2 Modelos Probabiĺısticos para N Variáveis Aleatórias P[A] = (x 1,..., x n ) P[A] = (x 1,...,x n) A A f X1,...,X n (x 1,...,x n )dx 1 dx n Exemplo 1: Considere um conjunto de n tentativas sendo que, para cada tentativa, r resultados s 1,..., s r são possíveis. Em cada tentativa, P[s i ] = p i. Seja N i a V.A. que representa o número de vezes que o resultado s i acontece nas n tentativas. Determine a PMF conjunta das V.A.s N 1,..., N r. ( ) n n! Lembrar que: = número de divisões n 1,n 2,..., n r n 1!n 2! n r! possíveis de n objetos distintos em r grupos distintos de tamanhos n 1,n 2,..., n r, respectivamente. ( ) n P N1,...,N r (n 1,...,n r ) = p n1 1 n 1,n 2,..., n pn2 2 pnr r r Notação Vetorial Vetor Aleatório: X = [ X 1 X n ] Amostra de um Vetor Aleatório: x = [ ] x 1 x n Funções de Probabilidade de um Vetor Aleatório: F X (x) = F X1,...,X n (x 1,...,x n ) P X (x) = P X1,...,X n (x 1,...,x n ) f X (x) = f X1,...,X n (x 1,...,x n ) Funções de Probabilidade de Dois Vetores Aleatórios: F X,Y (x,y) = F X1,...,X n,y 1,...,Y m (x 1,...,x n, y 1,...,y m ) P X,Y (x,y) = P X1,...,X n,y 1,...,Y m (x 1,...,x n, y 1,...,y m ) f X,Y (x,y) = f X1,...,X n,y 1,...,Y m (x 1,...,x n, y 1,...,y m )

3 Exemplos Exemplo 2: Seja o vetor aleatório X com PDF dada por: f X (x) = { 6e a x, x 0, 0, fora. onde a = [ ]. Determine a CDF de X. Exemplo 3: Os vetores aleatórios discretos X = [ ] x 1 x 2 x 3 e Y = [ ] y 1 y 2 y 3 ralacionam-se através de Y = AX. Determine a PMF conjunta P Y (y) sabendo que X tem PMF conjunta dada por, (1 p)p x3, x 1 < x 2 < x 3 ; P X (x) = x 1,x 2,x 3 {1,2,...}, 0, fora e que A = Funções de Probabilidade Marginais Algumas PMFs marginais considerando as V.A.s discretas W,X,Y,Z com PMF conjunta P W,X,Y,Z (w,x,y,z): P X,Y,Z (x,y,z) = P W,Z (w,z) = P X(x) = w S W P W,X,Y,Z (w,x,y,z) x S X w S W y S Y y S Y P W,X,Y,Z (w,x,y,z) z S Z P W,X,Y,Z(w,x,y,z)

4 Funções de Probabilidade Marginais Algumas PDFs marginais considerando as V.A.s contínuas W,X,Y,Z com PDF conjunta f W,X,Y,Z (w,x,y,z): f X,Y,Z (x,y,z) = f W,Z (w,z) = f W,X,Y,Z (w,x,y,z)dw f W,X,Y,Z (w,x,y,z)dxdy f X(x) = f W,X,Y,Z(w,x,y,z)dwdydz Exemplo 4: As variáveis aletórias Y 1,..., Y 4 têm PDF conjunta dada por: { 4, 0 y1 y f Y1,...,Y 4 (y 1,..., y 4 ) = 2 1, 0 y 3 y 4 1, 0, fora. Determine as PDFs marginais f Y1,Y 4 (y 1,y 4 ), f Y2,Y 3 (y 2,y 3 ) e f Y3 (y 3 ). Independência de Variáveis Aleatórias e Vetores Aleatórios As V.A.s X 1,..., X n são independentes se para todo x 1,..., x n, (x 1,..., x n ) = P X1 (x 1 )P X2 (x 2 ) P Xn (x n ) f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = f X1 (x 1 )f X2 (x 2 ) f Xn (x n ) Exemplo 5: Considerando as variáveis aletórias do Exemplo 4 cuja PDF conjunta é dada por: { 4, 0 y1 y f Y1,...,Y 4 (y 1,..., y 4 ) = 2 1, 0 y 3 y 4 1, 0, fora. Determine se as variáveis aletórias Y 1,..., Y 4 são independentes.

5 Independência de Variáveis Aleatórias e Vetores Aleatórios As V.A.s X 1,..., X n são independentes e identicamente distribuídas (iid) se para todo x 1,..., x n, (x 1,..., x n ) = P X (x 1 )P X (x 2 ) P X (x n ) f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = f X (x 1 )f X (x 2 ) f X (x n ) O vetores aleatórios X e Y são independentes se, P X,Y (x,y) = P X (x)p Y (y) f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y) Funções de Vetores Aleatórios Para a variável aletória W = g(x), P W (w) = P[W = w] = P X (x) F W (w) = P[W w] = E[W ] = E[g(X)] = E[W ] = E[g(X)] = x:g(x)=w g(x) w x 1 S X1 f X (x)dx 1 dx n x n S Xn g(x)p X (x) g(x)f X (x)dx 1 dx n

6 Funções de Vetores Aleatórios Dado o vetor aleatório contínuo X, define-se o vetor Y de forma que Y k = ax k + b, a e b constantes, a > 0. A CDF e a PDF de Y são: ( y1 b F Y (y) = F X,..., y n b a a ), f Y (y) = 1 ( a n f y1 b X,..., y ) n b a a Seja X um vetor aleatório contínuo e A uma matriz inversível. Então o vetor aleatório Y = AX + b tem PDF dada por: f Y (y) = 1 det(a) f ( X A 1 (y b) ) Valor Esperado e Matriz de Correlação E[X] = µ X = [ E[X 1 ] E[X 2 ] E[X n ] ] Correlação: R X = E[XX ] Covariância: C X = E[(X µ X )(X µ X ) ] C X = R X µ X µ X Exemplo 6: Determine o valor esperado, E[X], a matriz de correlação, R X e a matriz de covariância, C X do vetor bidimensional X cuja PDF é dada por: { 2, 0 x1 x f X (x) = 2 1, 0, fora.

7 Correlação e Covariâncias Cruzadas Correlação Cruzada: R XY = E[XY ] Covariância Cruzada: C XY = E[(X µ X )(Y µ Y ) ] Considerando Y = AX + b, µ Y = Aµ X + b R Y = AR X A + (Aµ X )b + b(aµ X ) + bb C Y = AC X A R XY = R X A + µ X b C XY = C X A Exemplo 7 Dado o vetor aleatório do Exemplo 6, seja Y = AX + b, onde A = 6 3 e b = Determine: (a) µ Y (b) R Y (c) C Y (d) R XY (e) C XY (f) ρ Y1,Y 3 e ρ X2,Y 1

8 Vetores Aleatórios Gaussianos O vetor aleatório X é Gaussiano (µ X, C X ) se e somente se: ( 1 f X (x) = (2π) n/2 exp 1 ) [det(c X )] 1/2 2 (x µ X) C 1 X (x µ X ) As componentes de X serão independentes se e somente se C X é uma matriz diagonal. Neste caso, C X = diag[σ 2 1, σ2 2,..., σ2 n] Seja A uma matriz m n com rank(a) = m. Então, Y = AX + b é um vetor Gaussiano m-dimensional com µ Y = Aµ X + b e C Y = AC X A Exemplo 8 Medições de temperatura em graus Fahrenheit realizadas às 06:00h, às 12:00h e às 18:00h num determinado dia são representadas pelas variáveis aleatórias Gaussianas X 1, X 2, X 3 com variância 16 graus 2. Os valores esperados são 50 graus, 62 graus e 58 graus, respectivamente. A matriz de covariância das três medições é: 16,0 12,8 11,2 C X = 12,8 16,0 12,8 11,2 12,8 16,0 (a) Escreva a PDF conjunta de X 1,X 2 usando notação algébrica. (b) Escreva a PDF conjunta de X 1,X 2 usando notação vetorial. (c) Escreva a PDF conjunta de X = [ X 1 X 2 ] X 3 usando notação vetorial. (d) Usando a fórmula Y i = (5/9)(X i 32) para converter as medições para graus Celsius, determine µ Y. (e) Determine C Y. (f) Escreva a PDF conjunta de Y = [ Y 1 Y 2 ] Y 3 usando notação vetorial.

9 Vetor Aleatório Normal Padrão O vetor n-dimensional normal padrão Z é o vetor Gaussiano n-dimensional com E[Z] = 0 e C Z = I. Para um vetor Gaussiano (µ X, C X ), seja A uma matriz n n tal que AA = C X. Então, o vetor aleatório Z = A 1 (X µ X ) é um vetor aleatório normal padrão. O vetor X = AZ + b é um vetor aléatório Gaussiano com µ X = b e C X = AA. Para um vetor Gaussiano X com covariância C X, existe sempre uma matriz A tal que C X = AA. Exemplo 9 Seja X um vetor aleatório Gaussiano com valor esperado µ X = [ ] e covariância C X = Determine: (a) A matriz de correlação, R X (b) A PDF conjunta f X1,X 2 (x 1,x 2 ) (c) P[X 1 > 8] Considerando agora que Y = AX + b, onde A = b = [ 4 4 ], determine: (d) O valor esperado µ Y (e) A covariância C Y (f) A correlação R Y (g) P[ 1 Y 2 1] [ ] 1 1/2 2/3, e 1 1/2 2/3

10 Exercício 1 Com relação ao problema da regata de iatismo com participação de 10 veleiros, em que os tempos de chegada X i são modelados por variáveis aleatórias Gaussianas com valor esperado 35 minutos e desvio padrão 5 minutos. Considere que todos os veleiros estão sujeitos ao mesmo regime de ventos e marés então, para cada par de veleiros i e j, os tempos de chegada X i e X j têm coeficiente de correlação ρ = 0,8. (a) Determine a matriz de covariância de X = [ X 1 X 10 ] (b) Seja Y = X 1 + X X a V.A. que representa o tempo médio de chegada. Determine o valor esperado e a variância de Y. Determine P[Y 25]. Exercício 2 Num sistema automático de geolocalização, um expedidor envia uma mensagem para seis caminhões de uma mesma frota perguntando pela localização de cada caminhão. Os tempos de espera pelas respostas dos seis caminhões são V.A.s iid exponenciais com valor esperado igual a 2 segundos cada uma. (a) Determine a probabilidade de todas as seis respostas serem recebidas em até 5 segundos. (b) Caso o sistema tenha que localizar todos os seis veículos em menos de três segundos, o valor esperado do tempo de resposta de cada veículo deverá ser reduzido. Qual será o máximo valor esperado do tempo de resposta que possibilitará que os seis veículos sejam localizados em menos do que 3 segundos com, pelo menos, 90% de probabilidade?

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