Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos

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Irene Raminhos Amado
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1 1 Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos Documento auxiliar à disciplina de Modelação, Identificação e Controlo Digital Alexandre Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

2 Sejam: Ω Ω Ω ω Ω Variáveis Aleatórias ω ω ξ ω Ω 2 ω ξ ξ Se F X é diferenciável, então: é a função de densidade de probabilidade. ξ ξ ξξ ξ Ω

3 3 Funções de Densidade de Probabilidade Comuns Uniforme:! ξ ξ " ## Gaussiana ou Normal:! ξ µ ξ $ $ πσ $ σ $ Importância da densidade gaussiana: Uma variável aleatória (VA) consistindo na soma de muitos eventos aleatórios independentes é aprox. gaussiana. Ex: Ruído termo-eléctrico numa resistência. Transformações lineares de VAs gaussianas têm também distribuição a gaussiana.

4 Valor Esperado 4 Seja g(.) uma função de variável aleatória. { } O valor esperado de g é dado por: { } Se g(.) é a identidade, obtemos a média: %%% ξ ξξ ξ ξξ Se %%% $, obtemos a variância: %%% $ Mostrar que: %%%% %%% $ $

5 5 Duas Variáveis Aleatórias Sejam X, Y duas variáveis aleatórias: Define-se a distribuição conjunta: ξη ξ η A densidade conjunta é: ξη ξηξη As densidades marginais são obtidas por: ξ ξηη η ξηξ

6 6 Independência estatistica e densidades condicionadas Duas variáveis aleatórias dizem-se independentes se: ξη ξ η A densidade de X (ou Y) condicionada a um valor particular de Y (ou X) é dada por: & ξ& η ξη η & η& ξ ξη ξ Qual é a densidade condicionada de duas variáveis aleatórias independentes?

7 7 Valores Esperados: { } ξη ξηξη ξη %% { } Média: ξη ξ ξ ξηξη ξ ξξ Variância: Covariância: %% %% $ $ ξ ξξ ξ %% %% %% %% ξ η ξηξη ξη Qual é a covariância de duas variáveis aleatórias independentes?

8 8 Distribuições Multivariável Sejam n variáveis aleatórias X 1, X 2,... X n. Para compactar notação define-se o vector: X (X 1 X 2... X n ) T Dado um vector de R n : ξ ( x 1 x 2... x n ) T, a distribuição conjunta é: ( )!! ξ # ξ A f.d.p. conjunta, f X (ξ), é tal que:! # ξ # ξ ξ # ξ!!!

9 9 Valores Esperados Média:! # Matrix de Covariâncias: { }!!! $ #! # # # # #! $ $! $ $ $ Matrix de Cov. Cruzadas: { }

10 Densidade Gaussiana Multivariável 10! $ π %%% %%%! $ Se as diversas variáveis aleatórias são independentes então a matriz de covariância é diagonal e podemos escrever a f.d.p como:! ξ! $ πσ $ σ %%% $

11 Processos Estocásticos Discretos 11 Seja uma sequência discreta x (x 1, x 2,..., x n ) T, indexada no tempo. Podemos considerar a sequência discreta como a realização de n VAs X 1, X 2,... X n. ξ ξ i Várias realizações possíveis k i k

12 12 Definições Dada a estrutura indexada no tempo das variáveis aleatórias, definem-se as seguintes funções do tempo: Função média: ( ) Função de covariância: ( ) ( )( ) Função de cov. cruzada: ( ) ( )( )

13 13 Processos estocásticos estacionários Um processo estocástico é chamado estacionário se a distribuição conjunta F X (ξ) é invariante a translacções dos instantes de amostragem. Isto implica: A sequência média é constante no tempo. As sequências de covariância só dependem da diferença entre os instantes de amostragem: Abuso de notação!

14 14 Variância e função de correlação de um processo estacionário Variância do processo X : r x (0) o Indica quão grandes são as flutuações do processo. Função de correlação do processo X : ρ " o Indica as interdependencias temporais do processo entre instantes de tempo separados de k unidades: Valores próximos de 1 significam correlação forte Valores próximos de zero indicam correlação baixa Valores próximos de -1 indicam correlação negativa

15 15 Propagação da média e da covariância num sistema linear Seja h(k) a resposta impulsiva de um sistema linear e invariante no tempo e u(k) uma sequência estocástica com valor médio m u (k) e covariância r u (k). Quais são as funcões média e covariância da sequência de saída y? A relação entrada-saída do sistema é dada pelo somatório de convolução: +

16 16 Cálculo da média { } m u (k) H(q) m y (k) A média de um processo estocástico propaga-se através de um sistema linear de forma idêntica a um sinal determinístico.

17 17 Cálculo das Covariâncias Considerem-se os processos y (k) y(k)-m y (k), e u (k) u(k)-m u (k), cujas médias são nulas. É fácil verificar que: ' + ' Assim, para a covariancia cruzada, temos: ' ' ' { ' ( + τ ) '( ) } ( ) '( + τ ) '( ) + τ ' τ + ( ) { '( + τ ) '( ) } ( ) ( τ ) + Ou seja, corresponde à convolução da covariancia de entrada com a resposta impulsiva do sistema.

18 18 Para a covariância da saída temos: ' + + τ { ' + τ '} ' + τ ' Como h(k) é um sinal determinístico, ficamos com: τ ' + τ ' τ + ' { } '

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