ME-310 Probabilidade II Lista 1

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1 ME-3 Probabilidade II Lista. Seja F (a, b) a função da distribuição acumulada conjunta de v.a. X e Y. Sabendo F, calcule P(X > a, Y > b) e P(a < X < a 2, Y b). 2. A distribuição conjunta de X e Y é dada por p(x, y), onde p(, ) /9, p(2, ) /3, p(3, ) /9 p(, 2) /9, p(2, 2), p(3, 2) /8 p(, 3), p(2, 3) /6, p(3, 3) /9. (a) Calcule as distribuições marginais de X e Y. (b) As v.a. X e Y são independentes? (c) Calcule a distribuição condicional de X dado que Y. 3. A densidade conjunta das v.a. X e Y é dada por c(x + 2y), se < x <, < y < f(x, y), caso contrário. Verifique se X e Y são independentes. Calcule: (a) o valor de c; (b) a densidade de X; (c) P(X < Y ); (d) P(X + Y < ).. A densidade conjunta das v.a. X e Y é dada por cxe f(x, y) (x+y), se x >, y >, caso contrário. (a) Calcule o valor de c. (b) Calcule a densidade condicional de Y dado que X x. (c) Verifique se X e Y são independentes. 5. Sejam X e Y v.a. independentes, X U(; 2) e Y U( ; 3). Calcule a densidade de X + Y. 6. Sejam X e Y v.a. independentes, X U(, ) e Y exp(λ). Calcule a densidade de X/Y. 7. Sejam X, X 2, X 3 v.a. i.i.d. exponenciais com parâmetro λ. Calcule: (a) P(maxX, X 2, X 3 } a); (b) P(minX, X 2, X 3 } a); (c) densidade de Z minx, X 2, X 3 }. 8. O número dos clientes que entram numa loja durante uma hora tem distribuição de Poisson com parâmetro λ 2. Cada cliente compra alguma coisa

2 com probabilidade / e não compra nada com probabilidade 3/ independentemente dos outros. Se entre 2: e 3: entraram exatamente clientes, qual é a probabilidade que pelo menos 2 compraram alguma coisa? Se entre 3: e : exatamente 8 clientes não compraram nada, qual é a probabilidade que pelo menos 2 compraram alguma coisa? 9. Um casal combina a se encontrar por volta de 2:3. O homem chega num momento distribuído uniformemente entre 2:5 e 2:5, a mulher chega num momento distribuído uniformemente entre 2: e 3:. Qual é a probabilidade de que primeiro a chegar terá de esperar mais de 5 minutos? Qual é a probabilidade de que o homem vai chegar primeiro?. A densidade conjunta das v.a. X e Y é dada por x + y, se < x <, < y < f(x, y), caso contrário. Calcule a densidade condicional de X dado que Y y.. Sejam X e X 2 v.a. independentes, X i tem distribuição de Poisson com parâmetro λ i, i, 2. Seja Z X + X 2. Calcule a distribuição condicional de X dado que Z n. 2. A distrbuição conjunta de X, Y e Z é dada por p(, 2, 3) p(2,, ) p(2, 2, ) p(2, 3, 2) /. Calcule E(XY Z) e E(XY + XZ + Y Z). 3. Sejam X, Y e Z v.a. i.i.d. que assumem valores e 2 com prob. /2. Ache a distribuição de XY Z e X 2 + Y Z.. Sejam X Poisson(λ) e Y U(, ), independentes. Ache a distribuição de X + Y. 5. Seja f(x, y) c(y x), se < x < y <,, caso contrário. Ache o valor de c e as distribuições marginais de X e Y. As v.a. X e Y são independentes? 6. Um dado honesto é lançado vezes. Qual é a probabilidade de obter duas vezes 6, cinco vezes 5 e três vezes? 2

3 Probabilidade 2 - ME3 - Lista September, 22 Lembrando:. Probabilidade conjunta P (a < X a 2, b < Y b 2 ) F (a, b ) + F (a 2, b 2 ) F (a, b 2 ) F (a 2, b ) 2. Soma de v.a. independentes (por convolução) f X+Y (a) f x(a y) f y (y)dy f x(x) f y (a x)dx 3. Probabilidade conjunta: f(x, y)dxdy. Densidade condicional: f X/Y (x, y) f(x,y) f(y) 5. Densidade marginal: f(x) f(x, y)dy 6. V.a. independentes: f(x, y) f(x) f(y) 7. I.i.d: independentes e identicamente distribuídas (mesma distribuição e cada uma é independente das demais) 8. Esperança: E(g(x, y, z)) x X y Y z Z g(x, y, z) p(x, y, z)

4 ) Seja F (a, b) a função da distribuição acumulada conjunta da v.a. X e Y. Sabendo F(x,y), calcule a)p (X > a, Y > b) Resp. a) P (Ω) P (X > a, Y > b}. X > a, Y > b} c ) P (X > a, Y > b}) + P (X > a, Y > b} c ) P (X > a, Y > b) + P (X a Y b) P (X a Y b) P (X a) + P (Y b) P (X a, Y b) F (a, ) + F (, b) F (a, b) unindo as duas equações temos que: P (X > a, Y > b) (F (a, ) + F (, b) F (a, b)) + F (a, b) F (a, ) F (, b) b)p (a < X < a 2, Y b) Resp. b) vamos enumerar o que sabemos: P (a < X < a 2 ) P (X < a 2 ) P (X a ) lim ɛ P (X a 2 ɛ) P (X a ) lim ɛ F (a 2 ɛ, ) F (a, ) F (a 2, ) F (a, ) P (a < X < a 2 ) P (a < X < a 2, Y b. Y < b}) P (a < X < a 2, Y b) + P (a < X < a 2, Y < b) P (a < X < a 2, Y < b) limp (X < a 2, Y b ɛ) limp (X a, Y ɛ ɛ b ɛ) lim limp (X a 2 δ, Y b ɛ) limp (X a, Y b ɛ) ɛ δ ɛ lim limf (a 2 δ, b ɛ) limf (a, b ɛ) F (a 2, b) F (a, b) ɛ δ ɛ Unindo essas informações temos que F (a 2, ) F (a, ) P (a < X < a 2, Y b) + F (a 2, b) F (a, b) P (a < X < a 2, Y b) F (a 2, ) F (a, ) F (a 2, b) + F (a, b) Obs.: foi usado a notação de limite só para chamar a atenção nas desigualdades e lembrar que apesar de no caso contínuo não fazer diferença se estamos usando ou <, nas variáveis discretas (ou quando procuramos pela melhor aproximação de uma variável normal em uma tabela de distribuição normal ) isso pode fazer uma diferença signicante! Se a pergunta foi 'tenho mesmo que usar esses limites?', a resposta é 'não', quando estiver trabalhando com variáveis contínuas pode passar direto para o passo nal e nem se preocupar com limites. 2

5 2) A distribuicão conjunta de X e Y é dada por p(x, y), onde: p(, ) /9; p(2, ) /3; p(3, ) /9 p(, 2) /9; p(2, 2) ; p(3, 2) /8 p(, 3) ; p(2, 3) /6; p(3, 3) /9 a) Calcule as distribuicões marginais de X e Y. Resp. a) Lembre-se que P (Y y) x3 x P (X x, Y y). P (Y ) p(, ) + p(2, ) + p(3, ) P (Y 2) p(, 2) + p(2, 2) + p(3, 2) P (Y 3) p(, 3) + p(2, 3) + p(3, 3) P (X ) p(, ) + p(, 2) + p(, 3) P (X 2) p(2, ) + p(2, 2) + p(2, 3) P (X 3) p(3, ) + p(3, 2) + p(3, 3) b) As v.a. X e Y são independentes? Resp. b) Para que sejam independentes é necessário que P (X x, Y y) P (X x) P (Y y) para todos x e y, portanto basta mostrar um par que não obedece esta restrição para provar que as v.a. não são independentes: Pegue, por exemplo X 2 e Y 2 temos que P (X 2, Y 2) p(2, 2), mas P (X 2) y3 y P (X 2, Y y) e P (Y 2) x3 x P (X x, Y 2) Como P (X 2, Y 2) 2 P (X 2) P (Y 2), temos que as v.a. X e Y não são independentes c) Calcule a distribuicão condicional de X dado que Y. Resp. c) 5 9 Pela denição temos: P (X x/y y) P (Xx,Y y) P (Y y) p(x,y) P (Y y) Primeiro vamos calcular P (Y ) x3 x P (X x, Y ) Agora podemos calcular P (X x/y ) 5 se x 3 5 se x 2 5 se x 3 p(x,y) P (Y ) /9 5/9 se x /3 5/9 se x 2 /9 5/9 se x 3 3

6 3) A densidade conjunta das v.a. X e Y e dada por f(x, y) c (x + 2 y) se < x < e < y < : caso contrário *) Verique se X e Y são independentes. Resp. *) vamos calcular as marginais: f(x) + f(x, y)dy c (x+2 y)dy c (x y+y2 ) y y c (x + ) se < x < caso contrário f(y) + f(x, y)dx c ( y) se < y < caso contrário Disso, vericamos se f(x, y) c 2 (x + ) ( y) se < x < e < y < caso contrário Então concluímos que não são independentes a) o valor de c Resp. a) c c 2 3 b) a densidade de X; + f(x, y)dxdy c (x + 2 y)dx c ( x y x)x x c (x + 2 y) se < x < e < y < caso contrário f(x) f(y) c (x + 2 y)dxdy c (x + )dx Resp. b) f(x) + f(x, y)dy 2 3 (x + 2 y)dy 2 3 (x y + y2 ) y y 2 3 (x + ) se < x < caso contrário c) P (X < Y ); Resp. c) P (X < Y ) + y x y) xy x dy y2 dy 5 3 y3 3 d) P (X + Y < ) Resp. d) f(x, y)dxdy y y y (x + 2 y)dxdy 2 3 ( x

7 P (X + Y < ) P (X < Y ) + y f(x, y)dxdy y 2 3 (x + 2 y)dxdy 2 3 ( x x y)x y x dy 2 3 ( ( y) ( y) y)dy 2 ( y)3 3 ( 6 + y 2 2 y3 3 )y y 2 3 ( ) 3 não são indepen- Observe que não podemos aplicar a equação 2 pois as v.a. dentes. ) A densidade conjunta das v.a. X e Y e dada por f(x, y) c x e (x+y) se x > e y > caso contrário (a) Calcule o valor de c. usando a denição temos que c x e y e x dxdy c c ( +x e ) x c logo c f(x, y)dxdy c x e (x+y) dxdy x e x dx c x e x dx e y dy (b) Calcule a densidade condicional de Y dado que X x. Usando a denição f X/Y (x, y) f(x,y) f(y) e f(y) f(y) f(x, y)dx x e (x+y) dx f X/Y (x, y) f(x,y) f(y) f(x,y) f(y) x e (x+y) e y (c) Verique se X e Y são independentes. f(x, y)dx temos: e y se y > caso contrário x e x se x > caso contrário Basta calcular f(x) f(x, y)dy x e (x+y) dy x e x e y se x > e y > Como f(x, y) caso contrário são conjuntos independentes x e x se x > caso contrário f(x) f(y) temos que X e Y 5) Sejam X e Y v.a. independentes,x U(, 2) e Y U(, 3). Calcule a densidade de X + Y. Lembrando V U(a, b) f V (v) b a I a v b} se v < a v a e F V (v) b a se a v b se b > b b a se a v b caso contrário 5

8 O Objetivo desta questão é atentar para problemas decorrentes de trabalhar com intervalos, ou seja, devemos considerar apenas intervalos válidos. Para isso considere Z X + Y queremos encontrar f Z (z). temos que: f X (x) 2 I x 2} f Y (y) I y 3} (pessoalmentee acho essa representação mais simpática, não ocupa duas linhas do caderno, esse I só nos diz que fora do intervalo a função vale ) Podemos usar diretamente a equação 2: f Z f X+Y (a) f x(x) f y (a x)dx 2 2 I a x 3}dx vamos tentar tirar alguma informação dos intervalos possíveis: a x 3 x 2 a 5 (soma das variáveis X e Y) 2 I x 2} I a x 3}dx. se a então x estará limitado da seguinte forma: a x 3 a + x a 3 com máximo 2 x 2 e mínimo x, mas além disso, x está limitado pelo intervalo constante x 2, unindo essas duas informações para a então x a+ f Z (a) 2 +a f Y (a x)dx 8 ( + a) 2. se a 3 então x estará limitado em: a x 3 a + x a 3 com máximo x e mínimo 2 x 2, porém estes dois intervalos contém integralmente a outra restrição x 2, como, quem restringe o valor é o menor intervalo de cada lado, para o caso a 3 temos x 2 f Z (a) 2 2 f Y (a x)dx 8 (2) 3. se 3 a 5 x estará limitado em: a x 3 a + x a 3 com máximo 5 x 2 e mínimo x, e como sempre também estará limitado a x 2, o intervalo que limita superiormente é 2 x e o inferior x a 3 logo a 3 x 2 f Z (a) 2 2 a 3 f Y (a x)dx 5 a 8 (2 (a 3)) 8 5 a 8 se 3 a < 5 +a Com isso temos nossa f Z (a) 8 se a < se a < 3 caso contrário *) Poderíamos ter usado a outra forma da equação 2 para chegar ao mesmo resultado: 6

9 f Z (a) 2 I a y 2} I y 3}dy 8 3 I a y 2}dy denovo isso nos fornece dados importantes a y 2 a 2 y a y 3 y 5 Trabalhando no mesmo intervalo, temos:. se a então y estará limitado da seguinte forma: a y 2 a 2 y a com máximo y e mínimo x 3, mas além disso, y está limitado pelo intervalo constante y 3, unindo essas duas informações temos y a f Z (a) 2 a f X(a y)dy 8 ( + a) 2. se a 3 então y estará limitado em: a y 2 a 2 y a com máximo 3 y e mínimo y e tambeme stá limitado por y 3, observe que desta vez é o intervalo com a que limita tanto inferiormente quanto superiormente f Z (a) 2 a a 2 f X(a y)dy 8 (2) 3. se 3 a 5 y estará limitado em: a y 2 a 2 y a com máximo 5 y 3 e mínimo 3 y, e como sempre também estará limitado a y 3, o limitante inferior é dado por a 2 e o superior pela constante 3 a 2 y 3 f Z (a) 2 3 a 2 f X(a y)dy 5 a 8 (3 (a 2)) 8 Ou seja, são iguais! 6. Sejam X e Y v.a. independentes, X U(, ) e Y exp(λ). Calcule a densidade de Z X/Y. Resp. 6) Queremos f Z (z) df Z(z) dz F Z (z) P (Z z) P (X/Y z) P (X z Y ) x<zy f(x) f(y)dxdy ( λ e λzy )dy + e λz λz λz f Z (z) df Z(z) com z dz λz 2 e λz z zy λ e λx dxdy e λz λz 2 f(x, y)dxdy x<zy zy λ e λx dxdy 7

10 7. SejamX, X 2, X 3 v.a. i.i.d. exponenciais com parâmetro λ. Calcule: (a) P (maxx, X 2, X 3 } a) Resp. a) P (maxx, X 2, X 3 } a) P (X a, X 2 a, X 3 a) iid P (X a) 3 ( e a ) 3 (b) P (minx X 2 X 3 } a) Resp. b) P (minx X 2 X 3 } a) P (X a, X 2 a, X 3 a) iid ( P (X a)) 3 e 3 a (c) densidade de Z minx, X 2, X 3 } Resp. c) f Z (z) df Z(z) dz de 3 a dz dp (minxx2x3} a) dz 3 e 3 a se a caso contrário d( P (minxx2x3} a)) dz 8. O número dos clientes que entram numa loja durante uma hora tem distribuição de Poisson com parâmetro λ 2. Cada cliente compra alguma coisa com probabilidade / e não compra nada com probabilidade 3/ independentemente dos outros. Se entre 2: e 3: entraram exatamente clientes, qual é a probabilidade que pelo menos 2 compraram alguma coisa? Se entre 3: e : exatamente 8 clientes não compraram nada, qual e a probabilidade que pelo menos 2 compraram alguma coisa? Resp. 8) #clientes que entram na loja: E P oisson(2) cada cliente compra com prob / C Bernoulli(/) independentes Entre 2 e 3 horas entram exatamente clientes. O número de clientes entraram e que compraram alguma coisa é Y P oisson(2 E(C)) P oisson(3), basta então P (Y 2) P (Y ) P (Y ) e 3 3! e 3 3! Sabemos exatamente quantos não compraram (8 entre 3:-:), então se entrarem X nesse intervalo, sabemos que exatamente X 8 compraram alguma coisa, para isso, basta calcular P (E ) P (E ) P (E ) e λ λ! e λ λ! e 2 ( + 2) dp (minxx2x3} a) dz 8

11 9. Um casal combina de se encontrar por volta de 2:3. O homem chega num momento distribuído uniformemente entre 2:5 e 2:5, a mulher chega num momento distribudo uniformemente entre 2: e 3:. Uma observação aqui é o cuidado com a representação das horas, podemos por exemplo representar como minutos, ou frações de hora. Eu acho que é mais fácil trabalhar com minutos e depois converter, da seguinte maneira: seja H a variável aleatória que representa a hora que o Homem vai chegar ao local e D H U(5, 5). Dessa forma : H D h min seja M a variável aleatória que representa a hora que a Mulher vai chegar ao local e D M U(, 6). Dessa forma : M D M min Por causa das propriedades da uniforme: f DH (h) 3 I h (5,5) f DM (m) 6 I m (,6) a) Qual e a probabilidade de que primeiro a chegar terá de esperar mais de 5 minutos? P (H M > 5. M H > 5) P (H M > 5) + P (M H > 5) Calculando cada parcela temos: P (M H > 5) P (M > 5+H) P (D M > 5+D H ) f(m, h)dmdh m>5+h m>5+h f D M (m) f DH (h)dmdh 3 5+h I h (5,5) I m (,6) dmdh h dmdh h5 h h5 (6 5 h)dh 6 3, 25 P (H M > 5) P (H > 5+M) P (D H > 5+D M ) f(m, h)dmdh h>5+m h>5+m f D M (m) f DH (h)dmdh m I h (5,5) I m (,6) dhdhm m dhdm 2 m3 6 3 m m (5 5 m)dm 6 3, 25 **) observe que não integramos até 6 pois para valores maiores que 3, a segunda integral se torna por causa do problema de intervalos discutido na questão 5 assim a resposta é:p (H M > 5. M H > 5) P (H M > 5) + P (M H > 5) 2 9

12 b) Qual e a probabilidade de que o homem vai chegar primeiro? P (M H > ) P (M > H) P (D M > D H ) f(m, h)dmdh m>h m>h f D M (m) f DH (h)dmdh h I h (5,5) I m (,6) dmdh h 2 m m5 (6 h)dh h dmdh 6 3. A densidade conjunta das v.a. X e Y e dada por f(x; y) x + y; se < x < e < y <. Calcule a densidade condicional caso contrário de X dado que Y y. Resp. )f X/Y (x/y) f(x,y) f(y) x+y x+y (x+y)dx x+ 2 I <x<,<y<. Sejam X e X 2 v.a. independentes, X i tem distribuição de Poisson com parâmetro λ i, i, 2. Seja Z X + X 2. Calcule a distribuição condicional de X dado que Z n. Resp. ) X P oisson(λ ) f X (x ) e λ λ x x! X 2 P oisson(λ 2 ) f X2 (x 2 ) e λ 2 λ x 2 2 x 2! P (x k/x+y n) e λ λ k k! e λ 2 λ n k 2 (n k)! e (λ +λ 2 ) (λ +λ 2 ) n n! P (Xk,X+Y n) P (X+Y n) λk λn k 2 (λ +λ 2) n n k P (Xk,Y n k) P (X+Y n) indep. P (Xk) P (Y n k) P (X+Y n) *) Na página 39 do Ross temos que se X, Y P oisson(λ,2 ) e Z X + Y então Z P oisson(λ + λ 2 ) 2. A distribuicão conjunta de X, Y e Z é dada por p(, 2, 3) p(2,, ) p(2, 2, ) p(2, 3, 2) : Calcule E(XY Z) e E(XY + XZ + Y Z). Resp. 2) a) temos que g(x, y, z) x y z com isso e a equação 8 temos: 2 3 x X y Y z Z g(x, y, z) p(x, y, z)

13 b) pela propriedade linear da esperança temos: E(XY +XZ +Y Z) E(XY )+ E(XZ) + E(Y Z), disso E(XY +XZ+Y Z) E(XY )+E(XZ)+E(Y Z) Sejam X, Y e Z v.a. i.i.d. que assumem valores e 2 com prob. 2. Ache a distribuicão de XY Z e X2 + Y Z. Resp. 3) todas as 3-uplas possíveis são: (,, ), (, 2, ), (2,, ), (2, 2, ), (,, 2), (, 2, 2), (2,, 2), (2, 2, 2) observe que a probabilidade de X,Y,Z é 2 tanto para quanto para 2 dado que g(x, Y, Z) X Y Z P (g(x, y, z) ) 8 P (g(x, y, z) 2) 3 8 P (g(x, y, z) 3) P (g(x, y, z) ) 3 8 P (g(x, y, z) 5) P (g(x, y, z) 6) P (g(x, y, z) 7) P (g(x, y, z) 8) 8 nesse caso, temos h(x, Y, Z) X 2 + Y Z P (h(x, y, z) ) P (h(x, y, z) 2) P (X, Y, Z ) 8 P (h(x, y, z) 3) P (x, y 2, z ) + P (X, Y, Z 2) 2 8 P (h(x, y, z) ) P (h(x, y, z) 5) P (x 2, y, z ) + P (X, Y 2, Z 2) 2 8 P (h(x, y, z) 6) P (x 2, y 2, z ) + P (X 2, Y, Z 2) 2 8 P (h(x, y, z) 7) P (h(x, y, z) 8) P (x 2, y 2, z 2) 8

14 . Sejam X P oisson(λ) e Y U(, ), independentes. Ache a distribuicão de Z X + Y. Resp. ) f Z (z) P (X + Y z) P (X z Y ) P (Y k) P (X z k)dk P (X z k)dk P (Y k, X z k)dk λ (z k) e λ (z k)! Mas pela denição de Poisson, se X P oisson(λ) então f X (x) com isso, a integral se torna f Z (z) λ (z k) e λ (z k)! parte inteira de z 5. Seja f(x, y) dk λ(z k) e λ (z k)! I z k Z} λ z e λ z!, em que z denota a c(y x) se < x < y < caso contrário a) Ache o valor de c e as distribuicões marginais de X e Y. Resp. a) f(x, y)dxdy c 6 c c 6 b) As v.a. X e Y são independentes? Resp. b) Não, pois f(y) y 6(y x)dx 6y2 6 y2 2 3y2 y (y x)dxdy c (y2 y2 2 )dy c ( 3 6 ) f(x) y2 6(y x)dy 6 x 2 6xy y yx 6( 2 x2 2 x+x2 ) 6( x2 2 x 2 ) f(x, y) f(x) f(y) 6. Um dado honesto e lançado vezes. Qual e a probabilidade de obter duas vezes 6, cinco vezes 5 e três vezes? Resp. 6) Usaremos a distribuição multinomial (Ross ), cada uma com probabilidade de sucesso de um sexto P (X 2, X 2 5, X 3 3)! 2!5!3! dk λx e λ x! se x N caso contrario 2

15 Este solucionário foi feito para a disciplina ME3-2Sem 22. Caso encontre algum erro, por favor peça alteração informando o erro em nosso grupo de discussão: 22 Bons estudos, Eric. 3