Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba"

David Andrade Vieira
6 Há anos
Visualizações:

1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 1 / 21

2 Covariância Quando duas variáveis aleatórias X e Y não saõ independentes, geralmente é de interesse avaliar quão fortemente estão relacionadas uma com a outra. A covariância dá uma ideia da dispersão dos valores da variável bidimensional (X,Y) em relação ao ponto (E(X),E(Y)). Definição 13.1 Seja (X, Y)uma variável aleatória bidimensional. A covariância de X e Y que denotaremos Cov(X,Y) é definida por: Cov(X,Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))] Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 2 / 21

3 Covariância Para X e Y discretas: Cov(X,Y) = (x µ X )(y µ y )p(x,y) x y Para X e Y contínuas: Cov(X,Y) = (x µ X )(y µ y )f(x,y)dxdy Reescrevendo a equação da covariância: Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 3 / 21

4 Covariância IMPORTANTE: A covariância será positiva se as duas variáveis tendem a variar no mesmo sentido, isto é, valores de X acima da sua média estão associados a valores de Y acima de sua média, o mesmo ocorrendo para valores de ambos inferiores à média. A covariância será negativa se valores acima da média de uma variável estão associados a valores inferiores à média da outra. Lema 13.1:Se X e Y são variáveis aleatórias independentes Cov(X,Y) = 0 DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 4 / 21

5 Covariância Exemplo 1: Voltando ao exemplo 1 da aula sobre Independência, temos a seguinte distribuição de probabilidade conjunta para X = valor dedutível na apólice de automóvel e Y = valor dedutível na apólice residencial. Obtenha a Cov(X,Y). p(x, y) x y Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 5 / 21

6 Covariância Exemplo 1: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 6 / 21

7 Covariância Exemplo 2: Uma empresa de nozes comercializa latas de nozes mistas com amêndoas, castanha de caju e amendoins. Suponha que o peso líquido de cada lata seja exatamente 1 libra, mas que a contribuição do peso de cada tipo de noz seja aleatória. Como os três pesos devem somar 1, um modelo de probabilidade conjunta para quaisquer dois forece todas as informações necessárias sobre o peso do terceiro tipo. Sejam X = peso das amêndoas em uma lata selecionada e Y = peso das castanhas de caju. Obtenha a Cov(X,Y) sabendo que a f.d.p. conjunta de (X,Y) é f(x) = 24xy, 0 x 1,0 y 1,x + y 1; 0 c.c.; Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 7 / 21

8 Independência Exemplo 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 8 / 21

9 Pode parecer que a relação no exemplo do seguro seja bastante forte, uma vez que Cov(X,Y) = 1875, enquanto Cov(X,Y) = 2, no exemplo das castanhas, 75 parece uma relação fraca. O valor da covariância entre duas variáveis aleatórias depende das unidades de medida adotadas para medir essas variáveis. No exemplo do seguro, se tivéssemos expressado os valores em centavos, teríamos Cov(X,Y) = Por outro lado, se tivéssemos expressado os valores em centenas de reais, teríamos Cov(X,Y) = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 9 / 21

10 A deficiência da covariância é que seu valor calculado depende diretamente das unidades de medida. Assim, é de interesse introduzir um conceito cujo valor seja independente da unidade medida. Definição 13.1: O coeficiente de correlação das variáveis aleatórias X e Y, denotado por ρ X,Y, é definido por: Corr(X,Y) = ρ X,Y = Cov(X,Y) σ X σ Y Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 10 / 21

11 Proposição 13.1: 1. Se a e c são ambos positivos ou negativos, Corr(aX + b,cy + d) = Corr(X,Y) 2. Para quaisquer duas variáveis X e Y, 1 Corr(X,Y) 1. A proposição 1 acima mostra que ρ corrige a deficiência da Cov(X,Y), ou seja, o coeficiente de correlação não é afetado por mudança linear das unidades de medida. A proposição 2 acima sugere como reconhecer a existência de uma relação (linear) forte. A relação positiva mais forte é evidenciada por ρ = +1, enquanto a relação negativa mais forte é evidenciada por ρ = 1. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 11 / 21

12 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 12 / 21

13 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 13 / 21

14 SUGESTÃO AVALIAÇÃO DE ρ ρ 0.8 Relação Linear Forte 0.5 < ρ < 0.8 Relação Linear Moderada ρ 0.5 Relação Linear Fraca O coeficiente de correlação não é, na verdade, uma medida geral de força de uma relação. Proposição 13.2: 1. Se X e Y são independentes, então ρ = 0, porém ρ = 0 não implica independência. 2. ρ = 1 ou ρ = 1 se e somente se Y = ax + b para quaisquer números a e b com a 0. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 14 / 21

15 Esta proposição diz que ρ é uma medida do grau da relação linear entre X e Y, e somente quando as duas variáveis estiverem perfeitamente relacionadas de forma linear é que ρ assumirá os valores extremos positivo ou negativo. Um ρ menor que 1 em valor absoluto indica somente que a relação não é completamente linear, mas que ainda pode haver uma relação não-linear bastante forte. ρ = 0 não implica que X ey sejam independentes, mas apenas que há ausência completa de relação linear. Quando ρ = 0, X e Y são ditos não-correlacionados. Duas variáveis podem ser não-correlacionadas, porém altamente dependentes, pois pode existir uma relação não-linear forte. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 15 / 21

16 Exemplo 3: Determine os coeficientes de correlação das variáveis dos exemplos 1 e 2. Interprete os resultados. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 16 / 21

17 Exemplo 3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 17 / 21

18 Exemplo 4: Sejam X e Y V.A. discretas com função de probabilidade conjunta dada a seguir. Obtenha o coeficiente de correlação e interprete so resultados. 1 p(x,y) =, (x,y) = ( 4,1),(4, 1),(2,2),( 2, 2); 4 0, c.c. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 18 / 21

19 Exemplo 4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 19 / 21

20 O valor de X é determinado completamente pelo valor de Y e vice-versa, de modo que as duas variáveis são totalmente dependentes. Embora haja perfeita dependência, também há ausência completa de qualquer relação linear. Um valor de ρ próximo de 1 não implica necessariamente que aumentar o valor de X cause um aumento em Y. Implica somente que valores grandes de X estão associados as valores grandes de Y. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 20 / 21

21 Por exemplo: na população de crianças, o tamanho do vocabulário e o número de cáries são correlacionadas de forma positiva, mas certamente não é verdade que as cáries façam o vocabulário aumentar. Os valores de ambas as variáveis tendem a aumentar com a idade das crianças, uma terceira variável. Associação (uma alta correlação) não é a mesma coisa que causa. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 21 / 21

Documentos relacionados

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19 Calculamos algumas características da