Probabilidade II Lista 1 - Vetores Aleatórios

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1 Probabilidade II Lista - Vetores Aleatórios Exercício. Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente. Dena as v.a's X : número de caras nos dois lançamentos e Y : função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos. Construa a distribuição conjunta do vetor (X, Y ) e determine as marginais. As v.a's são independentes? Exercício 2. Uma urna contém bolas numeradas de a 3. Duas retiradas são feitas sem reposição. Dena as variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado. Obtenha a distribuição conjunta dessas variáveis e verique se são independentes. Repita o problema considerando retiradas com reposição e considere X = Y se sair o mesmo número nas duas retiradas. Exercício 3. Sejam X e Y duas variáveis independentes com distribuição Geométrica de parâmetro p. Determine P (X = Y ). Exercício 4. A função de probabilidade conjunta do vetor (X, Y ), para 0 < p < /2, é dada por { p, x = ±, y = 0 p(x, y) = 2p, x = 0, y = Verique que E(XY ) = E(X)E(Y ), mas X e Y não são independentes. Exercício 5. Uma urna contém três bolas numeradas, 2 e 3. Duas bolas são retiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda bola tirada. Construa a distribuição conjunta do vetor (X, Y ). Calcule P (X < Y ). Repita o problema considerando retiradas com reposição. Exercício 6. Duas linhas de produção fabricam um certo tipo de peça. Suponha que a capacidade (em qualquer dia) seja de 5 peças na linha I e de 3 peças na linha II. Admita que o número de peças realmente produzidas em qualquer linha seja uma v.a., cuja distribuição conjunta é dada por Y \X ,0 0,03 0,05 0,07 0,09 0,0 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08 2 0,0 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06 3 0,0 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05 As v.a's X e Y são independentes? Calcule a probabilidade de que a linha I produza mais peças do que a linha II. Exercício 7. A densidade conjunta do vetor aleatório (X, Y ) é dada por f(x, y) = 2 I A(x, y), onde A = {(x, y) R 2 : x, 0 y }. a) Obtenha as marginais e verique se X e Y são independentes. b) Obtenha a densidade condicional de Y dado que X > 0. c) Determine a função de distribuição conjunta entre X e Y. d) Calcule P (X + Y < /3) e P ( X Y < ). Exercício 8. A densidade conjunta do vetor aleatório (X, Y ) é dada por f(x, y) = π I A(x, y), onde A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 }.

2 a) Obtenha as marginais e verique se X e Y são independentes. b) Calcule E(X). c) Determine a densidade condicional de X dado que Y = /2. d) Calcule P (X 2 + Y 2 /2) (Depois que você zer os exercícios 8 e 20, volte para interpretar o resultado). Exercício 9. A função de distribuição conjunta do vetor aleatório (X, Y ) é dada por 0, x < 0 ou y < 0 ou x y 2x 2 y 2 x 4 F (x, y) = 6, 0 x < y, 0 y < 2 8x 2 x 4 6, 0 x < 2, y 2, x 2, y 2, x < y a) Obtenha a densidade conjunta entre X e Y. b) Obtenha as marginais de X e Y. c) Obtenha as funções de distribuição marginais de X e Y. Exercício 0. Para quais valores de α, a função abaixo é uma densidade? f(x, y) = [ α( 2x)( 2y)]I (0,) (x)i (0,) (y). Exercício. A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por Calcule P (X > 0 Y > 0). f(x, y) = k[ + xy(x 2 y 2 )]I (,) (x)i (,) (y). Exercício 2. A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por f(x, y) = ki (0,y) (x)i (0,) (y). Obtenha as marginais. Calcule P (X < /2, Y > /3). Exercício 3. A densidade do vetor (X, Y ) é dada por f(x, y) = e (x+y) I (0, ) (x)i (0, ) (y). Determine a função de distribuição conjunta entre as v.a's X e Y e calcule P (X 2, Y ) usando esta função. Exercício 4. A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é f(x, y) = 2 xyi (0,2)(x)I (0,x) (y). Obtenha as marginais e verique se as v.a's são independentes. Calcule P ( < X < 2, < Y < 2). Exercício 5. A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é f(x, y) = 8xyI {0<x<y<} (x, y). Obtenha as marginais e calcule P (X > /2 Y < 3/4). Exercício 6. A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é f(x, y) = 8 (6 x y)i (0,2)(x)I (2,4) (y). Obtenha as marginais. Obtenha as densidades condicionais de X dado Y e de Y dado X. Calcule P (Y X < ). ( Exercício 7. Seja G R n uma região tal que V ol(g) > 0, onde V ol(g) é o volume n-dimensional de G V ol(g) =... dx... dx n ). Dizemos que o vetor (X, X 2,..., X n ) é uniformemente distribuído em G G, se possui densidade f(x,..., x n ) = { V ol(g), (x,..., x n ) G 0, (x,..., x n ) / G Considere o vetor (X, Y ), uniformemente distribuído no retângulo de vértices (0, 0), (0, ), (2, 0) e (2, ). As v.a's X e Y são independentes? Encontre a função de distribuição conjunta deste vetor. Exercício 8. O vetor aleatório (X, Y ) tem densidade uniforme no triângulo (0, 0), (0, ) e (, 0). As v.a's X e Y são independentes? Obtenha E(X) e E(Y ). 2

3 Exercício 9. Seleciona-se, ao acaso, um ponto do círculo unitário A = {(x, y) : x 2 + y 2 }. Determine a densidade conjunta do vetor (X, Y ) e calcule as probabilidades: P (X < Y ), P (X > Y ) e P (X = Y ). Exercício 20. O vetor (X, Y, Z) tem densidade conjunta dada por f(x, y, z) = [4(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) + 7], x, y, z [0, ]. 6 O que pode ser dito da independência de X, Y e Z? Calcule P (X /2, Y > /3). Exercício 2. A função de distribuição conjunta do vetor (X, Y ) é dada por 0, x < 0 ou y < 0 determine o valor esperado de X + Y 2XY. 6 (x2 y + xy 2 ), 0 x < 2, 0 y < F (x, y) = 6 (x2 + x), 0 x < 2, y 3 (2y + y2 ), x 2, 0 y <, x 2, y Exercício 22. O vetor (X, Y, Z) tem densidade { e x y z, x > 0 y > 0, z > 0 f(x, y, z) = 0, c.c. As v.a's X, Y e Z são independentes? Calcule P (X < Y < Z) e P (X = Y < Z). Exercício 23. Dizemos que o vetor aleatório (X, Y ) possui distribuição de Cauchy bivariada se sua densidade é dada por f(x, y) = c 2π (c2 + x 2 + y 2 ) 3/2, < x, y <, c > 0. Encontre as marginais e as densidades condicionais. Exercício 24. Considere um experimento com m possíveis resultados, cada um com probabilidade p i 0, m i =, 2,..., m e p i =. Esse experimento é repetido n vezes de forma independente e observamos as i= v.a's X, X 2,..., X n, que correspondem ao número de ocorrências de cada um dos possíveis resultados dessas repetições. O vetor aleatório (X, X 2,..., X n ) segue o modelo multinomial com função de probabilidade conjunta dada por com n p i = e i= P (X = k,..., X n = k n ) = n k i = n, k i N, 0 k i n. i= n! k! k n! pk pkn n, a) Para 0 lançamentos independentes de um dado honesto, calcule a probabilidade de sair 2 faces, 5 faces 4 e 3 faces 6. b) Para 20 lançamentos independentes de uma moeda honesta, calcule a probabilidade de sair 9 caras e coroas. Exercício 25. Dizemos que o vetor aleatório (X, X 2 ) segue o modelo normal bivariado se sua função de densidade é dada por f(x, x 2 ) = 2πσ σ 2 ρ 2 e [ ] 2( ρ 2 ( x µ ) ) σ 2 +( x 2 µ 2 ) σ 2 2ρ( x µ )( x 2 µ 2 ) 2 σ σ 2 3,

4 com (x, x 2 ) R 2 e os parâmetros µ, µ 2, σ, σ 2 e ρ satisfazendo: µ, µ 2 R, σ > 0, σ 2 > 0 e ρ. Se o vetor (X, Y ) segue o modelo normal bivariado com parâmetros µ X = µ y = 0, σ X = σ Y = e ρ = /2, encontre as marginais e decida se as v.a's X e Y são independentes. Exercício 26. Considere o vetor (X, X 2,..., X n ). Suponha que essas v.a's sejam independentes e que tenham funções de distribuição F, F 2,..., F n, respectivamente. Mostre que as funções de distribuição das v.a's Y = min(x, X 2,..., X n ) e W = max(x, X 2,..., X n ) são dadas, respectivamente, por Como cam F Y n n F Y (y) = [ F Xi (y)] e F W (w) = F Xi (w). i= i= e F W se as v.a's forem identicamente distribuídas? Exercício 27. A função de densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por Determine a densidade da v.a. W = 2X + Y. f(x, y) = e (x+y) I [0, ) (x)i [0, ) (y). Exercício 28. Sejam X e Y v.a's independentes com mesma distribuição exponencial de parâmetro λ. Mostre que a v.a. W = X + Y tem distribuição Gama com parâmetros α = 2 e β = λ. Exercício 29. A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por Obtenha a densidade da v.a. W = X + Y. f(x, y) = 3 (x + y)i (0,2](x)I (0,] (y). Exercício 30. Sejam X e Y v.a's independentes com mesma distribuição normal de parâmetros µ = 0 e σ 2 =. Mostre que a v.a. W = X + Y tem distribuição normal com parâmetros µ = 0 e σ 2 = 2. Exercício 3. Sejam X e Y v.a's independentes com mesma distribuição exponencial de parâmetro λ =. Mostre que as v.a's W = X + Y e U = X/Y são independentes. Além disso, encontre suas distribuições. Exercício 32. Sejam X e Y v.a's independentes com mesma distribuição U[0, ]. Determine a distribuição da v.a. W = X/Y. Exercício 33. Suponhamos que temos um circuito no qual tanto a corrente I, como a resistência R sejam v.a's contínuas independentes com as seguintes densidades: f I (i) = 2iI [0,] (i) e f R (r) = r2 9 I [0,3](r). Determine a densidade da v.a. E = IR (tensão no circuito). Exercício 34. O vetor (X, Y ) tem densidade conjunta dada por f(x, y) = 4xyI [0,] (x)i [0,] (y). Encontre a densidade da v.a. W = XY. DISTRIBUIÇÃO Os exercícios da Lista foram distribuídos de acordo com a tabela abaixo. Os exercícios são individuais e a entrega deverá ser feita até 28 de março. Allan Rogger Pereira Elizário - e 24 Brunna Maria de Oliveira Lorenzon - 2 e 25 Daniela Gomes Fagundes - 3 e 26 Daniella Guimarães de Almeida Bueno - 4 e 27 4

5 Diego da Silva Morais - 5 e 28 Diego Ribeiro Silva Toledo - 6 e 29 Diogo Bruno Ribeiro Silva - 7 e 30 Elaine de Moura Macedo - 8 e 3 Herberth Duarte dos Santos - 9 e 32 João Pedro Pires Gonçalves - 0 e 33 Jorge Antônio Lima da Silveira - e 34 José Francisco Arruda e Silva - e 2 José Humberto de Araújo Ferraz - 2 e 3 Karollyna Barbosa Bie - 3 e 4 Laís Franco - 4 e 5 Lucas Santos Bicalho - 5 e 6 Ludmilla Pereira Pimenta - 6 e 7 Patrick Mandela Ferreira Barbosa - 7 e 8 Paulo Henrique Isecke Neto - 8 e 9 Pedro Leonardo Longhin Silva - 9 e 20 Rodrigo de Queiróz Barbosa - 0 e 2 Walef Pacíco da Lima - e 22 Wennerkeinny Wendley Stalschus de Oliveira - 2 e 23 5