SME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades

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1 SME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades Pablo Martin Rodriguez SME ICMC USP Bacharelado em Estatística 20 Mar 2017

2 Vetores aleatórios Definição Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aleatórias (v.a.) definidas no mesmo espaço de probabilidade (Ω, P). Chamamos de variável de aleatória n-dimensional, ou simplesmente de vetor aleatório, à n-upla onde, para cada ω Ω, Observação X := (X 1, X 2,..., X n ) (X 1, X 2,..., X n )(ω) := (X 1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω)). Se as v.a. X i, para i = 1, 2,..., n forem discretas, dizemos que X é um vetor aleatório discreto; continuas, dizemos que X é um vetor aleatório continuo.

3 Vetores aleatórios: exemplos Exemplo Características de uma pessoa: v.a. (X, Y ), onde X = altura, e Y = peso, de uma pessoa de determinada população. Pesquisa de opinião: v.a. (X 1, X 2,..., X 100 ), onde X i = 1 se o i-ésimo indivíduo entrevistado é a favor de determinado assunto, ou X i = 0 caso contrário. Propagação de uma infecção: v.a. (S, I, R), onde S, I e R denotam o # de indivíduos susceptíveis, infectados e recuperados de determinada doença em uma população.

4 Vetores aleatórios: exemplos Realização do modelo de percolação com p=0.51. Fonte: Wikipedia!

5 Vetores aleatórios: exemplos Grafo da Internet. Fonte: Wikipedia!

6 Vetores aleatórios bi-dimensionais Para facilitar a exposição, vamos concentrar nossa atenção em definições e propriedades de vetores aleatórios bi-dimensionais. Definição Sejam X e Y duas v.a. Definimos a função de distribuição de probabilidade acumulada conjunta de X e Y, como para < a, b <. F (a, b) := P(X a, Y b), Observação Podemos obter a distribuição acumulada da v.a. X, F X (a), a partir da distribuição acumulada conjunta F (a, b).

7 Vetores aleatórios bi-dimensionais Observação... continuação. Por definição, sabemos que F X (a) := P(X a), mas {X a} = {X a} {Y < }. Além disto, como {Y < } = {Y n} n=1 temos que ( ) ( ) P(X a) = P X a, {Y n} = P {X a, Y n}. n=1 n=1

8 Vetores aleatórios bi-dimensionais Observação... continuação. Agora, se nos concentramos no evento A n := {X a, Y n} podemos verificar que a sequência A 1, A 2, A 3,... é uma sequência crescente de eventos. Isto é, para cada n vale que A n A n+1. Então, ( ) lim P(A n) = P A n n e portanto n=1 F X (a) = lim F (a, n). n

9 Vetores aleatórios bi-dimensionais Em geral, temos a seguinte Propriedade F X (a) = lim F (a, b) (distribuição marginal de X ), b F Y (b) = lim F (a, b) (distribuição marginal de Y ). a

10 Vetores aleatórios bi-dimensionais Exemplo Consideremos o experimento de jogar dois tetraedros regulares sobre uma superfície plana. Suponha que para cada um deles, os lados estão numerados de 1 a 4. Seja e X = face que está em contato com a superfície do 1 tetraedro Y = maior das faces que estão em contato com a superfície. Vamos encontrar a distribuição acumulada conjunta de X e Y.

11 Vetores aleatórios bi-dimensionais Exemplo... continuação. Note que temos os seguintes possíveis resultados para o vetor (X, Y ): (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 3) (3, 4) (4, 4) Vamos assumir que os 16 pontos do espaço amostral Ω = {(i, j ) : i, j = 1, 2, 3, 4} são igualmente prováveis. Queremos encontrar os valores de F (i, j ) para todo (i, j ). Por exemplo, para encontrar F (2, 3), note que F (2, 3) = P(X 2, Y 3) = 6 16.

12 Vetores aleatórios bi-dimensionais Exemplo... continuação. En geral, F (i, j ) é dado por i < 1 1 i < 2 2 i < 3 3 i < 4 4 i j < j < 2 0 1/16 1/16 1/16 1/16 2 j < 3 0 2/16 4/16 4/16 4/16 3 j < 4 0 3/16 6/16 9/16 9/16 4 j 0 4/16 8/16 12/16 1

13 Vetores aleatórios bi-dimensionais Proposição Se a 1 < a 2 e b 1 < b 2 então P(a 1 < X a 2, b 1 < Y b 2) = F (a 2, b 2) + F (a 1, b 1) F (a 1, b 2) F (a 2, b 1) Demonstração. Exercício!

14 Vetores aleatórios discretos Sejam X e Y v.a. discretas. Definição Chamamos função de probabilidade conjunta de X e Y à função p(x, y) := P(X = x, Y = y). Observação Podemos obter a função de probabilidades marginal de X a partir de p(x, y). Com efeito, p X (x) = P (X = x, y {Y = y}) = y P(X = x, Y = y) = y p(x, y).

15 Vetores aleatórios discretos Em geral, temos a seguinte Propriedade p X (x) = y p(x, y) (função de probabilidade marginal de X ), p Y (y) = x p(x, y) (função de probabilidade marginal de Y ).

16 Vetores aleatórios discretos Exemplo No exemplo do lançamento de dois tetraedros regulares temos que X e Y são v.a. discretas. A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por (i, j ) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 2) p(i, j ) 1/16 1/16 1/16 1/16 2/16 (i, j ) (2, 3) (2, 4) (3, 3) (3, 4) (4, 4) p(i, j ) 1/16 1/16 3/16 1/16 4/16

17 Vetores aleatórios continuos Sejam X e Y v.a. continuas. Definição Chamamos função densidade de probabilidade conjunta de X e Y à função não-negativa f (x, y), definida para < x <, < y <, satisfazendo f (x, y) dx dy = 1, e tal que para todo C R 2 vale P ((X, Y ) C) = C f (x, y) dx dy.

18 Vetores aleatórios continuos Observação Sejam x 0 e y 0. Então, P (x < X x + x, y < Y y + y) f (x, y) x y. Observação Como F (a, b) = P(X a, Y b) = b a f (x, y) dx dy, temos que f (a, b) = 2 (F (a, b)). a b

19 Vetores aleatórios continuos Observação Podemos obter as densidades marginais das v.a. X e Y, a partir da densidade conjunta f (x, y). Note que para todo a < b temos que P(a < X < b) = P(a < X < b, < Y < ) = Agora, se definimos f X (x) := f (x, y) dy b a f (x, y) dy dx. temos que P(a < X < b) = b a f X (x) dx.

20 Vetores aleatórios continuos Em geral, temos a seguinte Propriedade f X (x) = f Y (y) = f (x, y) dy (densidade marginal de X ), f (x, y) dx (densidade marginal de Y ).

21 Vetores aleatórios continuos Exemplo A função densidade de probabilidade conjunta das v.a. X e Y é dada por { 2 e x e 2y, 0 < x <, 0 < y <, f (x, y) = Calcular: P(X > 1, Y < 1); P(X < Y ). 0, caso contrário.

22 Vetores aleatórios continuos Exemplo... continuação. Note que P(X > 1, Y < 1) = P((X, Y ) C) onde C = {(x, y) R 2 : 1 < x <, 0 < y < 1}. Então, P(X > 1, Y < 1) = f (x, y) dx dy = C 2 e x e 2y dx dy e portanto P(X > 1, Y < 1) = e 1 (1 e 2 ).

23 Vetores aleatórios continuos... continuação. Para calcular P(X < Y ) usamos C = {(x, y) R 2 : 0 < x < y < }. 2 y = x 2 Então, P(X < Y ) = C f (x, y) dx dy = y (verificar!) e x e 2y dx dy = 1 3.

24 PROBLEMAS Problema 1. Sabe-se que um cesto com 5 transistores contém 2 com defeito. Os transistores devem ser testados, um de cada vez, até que os defeituosos sejam identificados. Suponha que X 1 representa o número de testes feitos até que o primeiro transistor defeituoso seja identificado, e X 2 o número de testes adicionais feitos até que o segundo transistor defeituoso seja identificado. Determine a função de probabilidade conjunta de X 1 e X 2. Problema 2. Se X e Y são duas variáveis aleatórias tais que { λ1 λ 2 e λ1x λ2y, 0 < x <, 0 < y <, f (x, y) = Calcule P(X < Y ). 0, caso contrário.