Cálculo das Probabilidades I - Sexta Lista - Rio, 13/09/2014

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Denílson Farinha Barata
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1 Cálculo das Probabilidades I - Sexta Lista - Rio, 13/09/ O diâmetro X de{ um cabo elétrico é uma variável aleatória com densidade de probabilidade K(2x x dada por 2 ), 0 x 1 0, x < 0 ou x > 1. (a) Determine o valor de K. (b) Calcule o valor esperado e a variância de X. (c) Calcule P (0 X 0, 5). (d) Determine a função de distribuição de X. { Kx, se 0 < x < 1 2. Seja (a) Determine o valor de K tal que f(x) seja uma densidade de probabilidade. (b) Faça um esboço do gráfico de f(x). (c) Calcule P (0 X 1/2). (d) Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória cuja densidade de probabilidade é dada por f(x). (e) Determine a função de distribuição de X. 3. Seja X uma variável aleatória cuja densidade de probabilidade é dada por { 2x, se 0 x 1 Calcule P ( X X 2 3). 4. Uma variável aleatória X tem densidade de probabilidade dada por { 4 x, se 0 < x < 4 8 (a) Esboce o gráfico desta densidade. (b) Calcule P (X > 2). (c) Determine m tal que P (X > m) = 1 2. (d) Calcule o valor esperado e a variância de X. 5. A densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por { K(1 x), se 0 < x < 3 3

2 (a) Determine o valor de K. (b) Determine m tal que P (X < m) = 3 P (X > m). 4 (c) Determine m tal que P (X < m) = P (X m). 6. Uma variável aleatória X tem densidade de probabilidade dada por Kx, se 0 < x < 1 K, se 1 x < 4 (a) Determine o valor de K. (b) Calcule P (0 X 2). (c) Calcule E[X]. 7. Considere a seguinte função: { θx + 1 4, 2 x 2 (a) Determine o conjunto de valores para θ tal que f(x) seja uma densidade de probabilidade. (b) Determine o valor de θ que maximiza a variância do modelo descrito pela função de densidade f(x). 8. A densidade de probabilidade do tempo de vida de um tipo de equipamento eletrônico (medido em horas) é dada por: { 10, x > 10 x 2 0, x 10 (a) Calcule P (X > 20). (b) Determine m tal que P (X > m) = 0, 5. (c) Determine a função de distribuição acumulada de X. (d) Calcule a probabilidade de que em um grupo de 6 destes equipamentos, pelo menos dois tenham duração de pelo menos 15 horas. Que suposições você fez para dar a sua resposta? 9. Trens com destino à A chegam à estação a cada 15 minutos a partir das 7 horas da manhã. Trens com destino à B chegam à mesma estação a cada 15 minutos a partir das 7h07 da manhã. Se um certo passageiro chega a essa estação em um tempo uniformemente distribuído entre 7 e 8 da manhã e pega o primeiro trem que chega à estação, qual é a probabilidade de que ele pegue o trem com destino à A? E se o tempo de chegada do passageiro for uniformemente distribuído entre 7h10 e 8h10?

3 10. Um ponto é escolhido ao acaso de um segmento de reta de comprimento L. Calcule a probabilidade de que razão entre o maior e o menor segmento, determinados pelo ponto escolhido, seja maior do que Se Y é uniformemente distribuída no intervalo (0,5), calcule a probabilidade de que as raízes da equação 4x 2 + 4xY + Y + 2 = 0 sejam reais. 12. Um ônibus viaja entre duas cidades que distam 100 km. Se o ônibus quebra durante o trajeto, a distância do local onde ele quebra para a cidade A é uniformemente distribuída em (0,100). Existem três oficinas para consertar o ônibus: uma na cidade A, uma na cidade B e a outra no meio do trajeto. Sugeriu-se à companhia, que seria mais eficiente que essas oficinas ficassem localizadas, respectivamente, à 25 km, 50 km e 75 km de A. Você concorda com esta sugestão? 13. O número de anos de funcionamento de um certo tipo de rádio é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com média 10 anos. Se João compra um rádio usado desse tipo, calcule a probabilidade de que o rádio funcione pelo menos mais 10 anos? 14. O tempo em horas exigido para consertar certo tipo de máquina é exponencialmente distribuído com média de duas horas. (a) Calcule a probabilidade de que o conserto exceda a quatro horas. (b) Determine o tempo t c tal que 90% dos consertos ocorram em tempo inferior a t c. 15. Seja X Uniforme( α, α), α > 0. Determine α de modo que: (a) P ( X < 2/3) = 1/2 (b) P (X > 1) = 1/4 (c) P (X > 1) = 2/ Se X exponencial(λ), mostre que E [ X k] = k!, k = 1, 2, 3,... λk 17. Seja X uma variável com distribuição normal tal que P (X < 5) = 0, 0275 e P (X > 20) = 0, Calcule P (10 < X < 15). 18. A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente com média de 990g e desvio-padrão de 10g. Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso inferior à 976g. (a) Se observarmos uma sequência aleatória destas latas em uma linha de produção, determine a probabilidade de que a décima lata seja a primeira a ser rejeitada. (b) Nas condições do item (a), determine a probabilidade de que em 20 latas, três sejam rejeitadas.

4 19. Suponha que a taxa anual de chuva (em cm 3 ) numa certa região seja normalmente distribuída com média 100 e desvio-padrão 10. Calcule a probabilidade de que a taxa anual fique abaixo de 125 cm 3. Proponha uma forma de calcular a probabilidade de que em 10 anos, não ocorra taxa superior a 125 cm 3, especificando as suposições necessárias para o cálculo proposto. 20. Uma variável aleatória X tem distribuição normal com variância 64. Sabendo que P (X > 68) = 0, 1587, pede-se (a) P (X 74), (b) o valor de δ tal que P ( X E[X] δ) = 0, Seja X N(5, σ 2 ) tal que P (X > 9) = 0, 2. Determine o valor de σ A mediana de uma variável aleatória contínua com distribuição acumulada F é o valor m tal que F (m) = 1. Encontre a mediana de X nos seguintes casos. 2 (a) X Uniforme[a, b]. (b) X N(µ, σ 2 ). (c) X exponencial(λ). (d) a densidade de probabilidade de X é dada por x, 0 x < ( 1 x 3), 2 x A moda de uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade f é o valor de x para o qual f(x) assume um valor máximo. Calcule a moda de X nos casos do exercício anterior. 24. Suponha que o tempo gasto (em minutos) de casa à UFRJ seja uma variável aleatória N(60, 64). Se você deseja estar 95% certo de não chegar atrasado na sua aula de Cálculo das Probabilidades I que começa às 8h, qual é o horário limite para você sair de casa? 25. Em um certo banco, o tempo de atendimento por um caixa a cada cliente comporta-se segundo uma variável aleatória exponencial com média 5 minutos. Se um cliente está sendo atendido pelo caixa, quando você entra no banco, qual é a probabilidade de que este cliente permaneça por pelo menos mais 4 minutos sendo atendido? 26. Em 1000 lançamentos de uma moeda, cara ocorreu 580 vezes. é viciada? Por que? É razoável supor que a moeda 27. Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição Cauchy padrão se sua densidade de probabilidade é dada por 1, < x <. π(1+x 2 ) (a) Mostre que f é simétrica em torno de x = 0.

5 (b) Mostre que se X tem distribuição Cauchy padrão, então 1 X padrão. tem distribuição Cauchy (c) Mostre que se X tem distribuição Cauchy padrão, então não existe o valor esperado de X. 28. A velocidade de uma molécula em um gás uniforme é uma variável aleatória cuja densidade de probabilidade é dada por { ax 2 exp { bx 2 }, x > 0. Determine o valor de a em função de b. 29. Dois tipos de moeda são produzidos por uma fábrica: uma perfeita e a outra com probabilidade de dar cara igual à 0,55. Suponha que tenhamos uma dessas moedas, mas que não sabemos se ela é perfeita ou viciada. De forma a decidir qual é o tipo de moeda que temos, realizaremos o seguinte teste estatístico. A moeda será lançada 1000 vezes. Se cara ocorrer pelo menos 525 vezes, decidiremos que a moeda é viciada; caso contrário decidiremos que a moeda é perfeita. (a) Se a moeda é de fato perfeita, qual é a probabilidade de tomarmos uma decisão errada? (b) Se a moeda é de fato viciada, qual é a probabilidade de tomarmos uma decisão errada? 30. Seja X o tempo de vida em horas de um certo equipamento eletrônico e suponha X N(200, σ 2 ). Se um comprador de tais equipamentos exige que pelo menos 90% dos equipamentos tenham vidas superiores a 150 horas, qual é o maior valor de σ, que ainda satisfará a exigência do comprador? 31. Se 65% da população de uma grande comunidade está a favor de certo projeto do governo, aproxime a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho 100 desta população contenha (a) pelo menos 50 pessoas favoráveis ao projeto; (b) entre 60 e 70 pessoas favoráveis ao projeto; (c) menos de 75 pessoas favoráveis ao projeto. 32. Um restaurante oferece tortas de maçã e de cereja. A cada dia há em seu estoque quantidades iguais de pedaços das duas tortas. Suponha que a cada dia 40 clientes pedem pedaços de tortas e que eles escolhem os sabores com probabilidades iguais. Quantos pedaços de cada tipo o restaurante deve ter em estoque, a cada dia, de modo a garantir que cada cliente tenha cerca 95% de probabilidade de ter seu pedido de sabor de torta atendido? 33. Um teste contém 48 questões do tipo verdadeiro ou falso. Ana tem 3/4 de probabilidade de acertar cada uma das questões e Beatriz chuta todas as questões. É necessário acertar pelo menos 50% do teste para fins de aprovação. Compare as probabilidades de aprovação de Ana e Beatriz.

6 34. A densidade de probabilidade dada por { 1 x exp 1 β 2 2 ( x β ) 2 }, x > 0, é chamada distribuição Rayleigh. Calcule a esperança e a variância associadas a este modelo.

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{ C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), f(x) = Cxe x/2, se x > 0, x + k, se 0 x 3; 0, c.c. k, se 1 < x 2; kx + 3k, se 2 < x 3; Universidade de Brasília Departamento de Estatística 4 a Lista de PE 1. Seja X uma variável aleatória com densidade { C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), 0, se x / ( 1, 1). a) Qual o valor de C? b) Qual a função