Exercícios Funções Multivariadas, Exponencial e Outras

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1 Turma 2017 Exercícios Funções Multivariadas, Exponencial e Outras Problema 1 (bivariada) Um bim de cinco transistores possui dois que são defeituosos. Os transistores são testados um a um, até que os defeituosos sejam identificados. Denotando N1 o número de de testes a serem feitos até encontrar o primeiro transistor defeituoso e por N2 o número até encontrar o segundo defeituoso, apresente a Distribuição Conjunta de N1 e N2. Problema 2 (bivariada) Dada a seguinte função densidade bivariada X e Y, =,0<< a) Encontre o valor de C b) Determine as funções marginais de X e Y c) Determine o valor de E[X] Problema 3 (bivariada) Dada a seguinte função densidade conjunta de X e Y é dada por: a) Calcular P{X<Y} b) Calcular P{X<a}, =, 0 <, 0 < Problema 4 (bivariada) Um par de variáveis aleatórias (X,Y) é uniformemente distribuída numa região R de um plano para uma constante C sua distribuição conjunta (bivariada) é:, =,, = 0 a) Mostre que 1/C=área da região R

2 b) Suponha que o espaço de (x,y) é uniformemente distribuído num quadrado centrado em (0,0) e com lados de tamanho 2. Mostre que X e Y são independentes, considerando que cada uma das variáveis x e y é uniformemente distribuída no intervalo (-1,1) c) Qual é a probabilidade de que (x,y) caiam num círculo de raio 1 centrado na origem? Ou seja, calcule a P{X 2 +Y 2 1} Problema 5 (bivariada) Dois pontos são selecionados aleatoriamente em uma linha de comprimento L de modo a estarem em lados opostos do ponto médio da linha. Em outras palavras, os dois pontos X e Y são variáveis aletórias independentes tal que X é uniformemente distribuída no intervalo (0,L/2) e Y uniforme entre (L/2,L). Determine a probabilidade de que a distância entre os dois pontos é maior que L/3. Problema 6 (bivariada) Dada a seguinte função densidade bivariada:, =121 0< < 1,0<<1 a) X e Y são independentes? b) Determine E[X] c) Determine E[Y] d) Determine Var(X) e Var (Y) Problema 7 (multivariada) Suponha que A, B e C são variáveis aleatórias independentes, cada uma uniformemente distribuída em (0,1) a) Qual a função densidade de A, B e C? b) Qual a probabilidade de que as raízes da equação Ax 2 +Bx+C=0 são reais?

3 Problema 8 (bivariada) Dada a FDP de X e Y:, = 6 7 # + % 0< <1 0<<2 2 a) Verificar que esta função é uma fdp b) Calcule a função densidade de X c) Determine P[X>Y] d) Determine P[Y>1/2/X<1/2] e) Determine E(X) f) Determine E(Y) Problema 9 (bivariada) Dada a FDP: Caso I X e Y são independentes? E no caso de: Caso II X e Y são independentes? Para o caso I determine: a) P(X<Y) b) P(X<a), = & > 0 > 0, = 0 () )*+,, = 2 0< < 0<<1, =0 () )*+,

4 Problema 10 (bivariada) Supondo que X é uniformemente distribuído em (0,1) e Y é exponencial com parâmetro λ=1, calcular: a) P (X+Y a) b) P(X/Y a) Supor independência. Problema 11 (multivariada) A Função Massa de Probabilidades das variáveis aleatórias X, Y e Z é: P(1,2,3) = p(2,1,1) = p(2,2,1) = p(2,3,2) = ¼ Calcular: a) E[XYZ] b) E[XY + XZ + YZ] Problema 12 (exponencial) O tempo de consertar uma máquina é uma exponencial de parâmetro λ=0,5. a) Qual a probabilidade de que o reparo leve mais de duas horas? b) Qual é a probabilidade condicional que o reparo leve pelo menos dez horas, dado que já foram gastas mais de nove horas? Problema 13 (exponencial) O número de anos de funcionamento de um rádio é uma exponencial de parâmetro λ=1/8. Se João compra um rádio usado, qual é a probabilidade de que ele vai funcionar mais oito anos? Problema 14 (exponencial) João estima que a milhagem de um carro rodar antes de ser enviado ao ferro velho é uma exponencial com λ=1/20. Carlos tem um carro usado com milhas. Se João comprar o carro de Carlos, qual é a probabilidade de que este

5 carro vai rodar mais milhas? Faça o mesmo cálculo supondo agora que a vida útil do carro (milhagem) é uma distribuição uniforme no intervalo (0,40). Problema 15 (uniforme e mudança de variável) X é uniformemente distribuída entre (0,1), determine a FDP de Y =e X Problema 16 (exponencial) A mediana corresponde ao valor de X para Fx(m)=0,5 (Função de Distribuição ou Função Acumulada de Probabilidade). Determine o valor de m para uma exponencial de parâmetro -. Problema 17 (exponencial) Se X é uma exponencial de parâmetro λ e C>0, demonstre que CX é uma exponencial de λ/c. Problema 18 (multivariada) Três bolas são retiradas de uma urna sem reposição. Na urna existem 5 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Xi é igual a 1 se a i-ésima bola selecionada é branca, e igual a zero no caso contrário. Determinar a FMP de: a) X1 e X2 b) X1, X2 e X3 Problema 19 Vendas em semanas sucessivas, em unidades de mil dólares, possui distribuição Normal Bivariada, com média comum igual a 40, desvio-padrão comum igual a 6 e correlação igual a 0,6. a) Determinar a probabilidade do total de vendas em duas semanas sucessivas ultrapassar 90. b) Se a correlação fosse igual 0,2 ao invés de 0,6, você acha que as vendas aumentariam ou diminuiram em relação ao item a? Explique.

6 c) Repita o item a quando a correlação é igual a 0,2. Problema 20 Um time de basquete tem 44 jogos numa temporada. 26 jogos serão com times classe A e 18 com times classe B. Suponha que a probabilidade de vencer um time classe A é 0,4 e de vencer um classe B é 0,7. Suponha também que os resultados entre os jogos são independentes. Calcule a probabilidade do time vencer 25 ou mais jogos e a probabilidade de vencer mais jogos classe A do que jogos classe B. Dica: admitir Normal Bivariada para vitórias classe A (XA) e vitórias classe B (XB), considerando que vencer ou perder pode ser aproximado por um Modelo Binomial. Problema 21 (TLC) O tempo médio que um comprador leva no caixa é 1,5 minutos e a variância igual 4. Qual a probabilidade de que 100 compradores podem ser atendidos em menos de duas horas? Problema 22 (TLC) Uma bomba de gasolina registra um erro de medida médio igual a zero e variância 0,01 por litro de combustível. Determine a probabilidade de que a bomba ao registrar 400 litros, o verdadeiro valor bombeado esta dentro de 4 litros por 400 litros.

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