IND 1115 Inferência Estatística Aula 6

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1 Conteúdo IND 5 Inferência Estatística Aula 6 Setembro de 004 A distribuição Lognormal A distribuição Beta e sua relação com a Uniforme(0,) Mônica Barros mbarros.com mbarros.com A distribuição Lognormal A distribuição Lognormal é uma distribuição de probabilidade contínua usada para dados positivos. Esta distribuição é freqüentemente usada na modelagem do preço de ações e outros ativos financeiros, e também pode modelar o tempo até a ocorrência de um defeito de uma máquina. mbarros.com 3 A Distribuição Lognormal Como criar uma variável lognormal? Seja X ~ N(µ, σ ). Seja Y = exp(x). Então Y tem densidade Lognormal com parâmetros µ e σ. A densidade de Y pode ser facilmente encontrada pelos métodos usuais (por exemplo, o método do Jacobiano), e é dada por: ( log( y) µ ) f( y) =..exp onde y > 0 πσ y σ mbarros.com 4

2 A Distribuição Lognormal A Distribuição Lognormal Exemplo Lognormais com µ = 0.05 e 0.5 e σ = f( x, 0.05, 0.30) f( x, 0.5, 0.30) x 7 mbarros.com 5 Atenção: A distribuição Lognormal, ao contrário do que o nome indica, não significa a densidade do logaritmo de uma variável Normal, pois uma variável Normal admite valores negativos, onde o logaritmo não está definido. Uma variável aleatória com densidade Lognormal é encontrada tomando-se a exponencial de uma variável aleatória Normal! mbarros.com 6 Lognormal como modelo para o preço de uma ação Uma forma de descrever a incerteza sobre o preço de uma ação é supor que as variações no preço entre os instantes t e t+ t podem ser divididas em componentes, uma aleatória e a outra determinística, como a seguir: { ( µ σ )} S =.exp.. t t S + + t t Z t onde Z é uma variável N(0,) e µ e σ > 0 são parâmetros conhecidos. O parâmetro µ representa a taxa média de crescimento do preço ao longo do tempo. mbarros.com 7 Lognormal como modelo para o preço de uma ação Note que, se σ = 0, a evolução dos preços é puramente determinística, e então: S = t t St.exp { ( µ. + t) } Nesta expressão percebemos que a tendência determinística dos preços é crescente desde que µ > 0. Se σ > 0 então existe uma componente aleatória no comportamento dos preços. Esta componente aleatória é dada por uma variável aleatória N(0,), e assim o efeito desta variável pode ser o de atenuar o crescimento determinístico no preço, pois Z pode ser negativo. Note que a variável exp(z) é Lognormal. mbarros.com 8

3 Propriedades da distribuiçã ção Lognormal Teorema (média e variância da Lognormal) Se Y ~ Lognormal(µ, σ ) então: E(Y) = exp( µ + σ /) ( µ σ ) ( e ) σ VAR( Y ) = exp +. Demonstração faça em casa use a fgm de uma Normal. mbarros.com 9 Lognormal (para casa) Sejam Y e Y variáveis Normais independentes com médias 4 e e variâncias iguais a. Sejam X e X definidos como: X = exp(y ) e X = exp(y ). Defina uma nova variável W como: W = e. X. X a) Calcule E(W) b) Calcule VAR(W) 3 mbarros.com 0 Lognormal (para casa) Dicas: ) Se X tem densidade N(µ, σ ) então sua função geradora de momentos é: exp(µt + σ t /) ) Se U é uma variável qualquer então : VAR(U) = E(U ) - {E(U)} Não é necessário especificar completamente a densidade da variável W - você só precisa calcular sua média e variância. mbarros.com É uma distribuição conjunta para duas variáveis X e X, ambas Normais e, a princípio dependentes. A densidade conjunta é dada por: Onde R é: f ( x, x) =.exp. R π ( ρ ) σ ( ρ ) σ x µ x µ x µ x µ. ρ.. σ σ σ σ R = + mbarros.com

4 Esta densidade conjunta é chamada de densidade Normal com parâmetros µ, µ, ρ, σ, σ, onde µ e µ são números reais quaisquer, ρ está restrito ao intervalo (-,) e σ, σ são positivos. Se (X, X ) ~ N( µ, µ, ρ, σ, σ ) então: mbarros.com 3 A densidade marginal de X én(µ,σ ) A densidade marginal de X én(µ,σ ) As densidades condicionais também são Normais. A densidade condicional de X dado X = x é: σ ( X X = x)~ N µ + ρ.. ( x µ ), σ. ( ρ ) σ A densidade condicional de X dado X = x é: σ ( X X = x)~ N µ + ρ.. ( x µ ), σ. ( ρ ) σ mbarros.com 4 Dada uma densidade Normal bivariada, quais são as suas características mais importantes? Pr( a < X < b, c < X < d) é encontrada pela integral dupla da densidade Normal bivariada sobre os intervalos (a, b) e (c, d). A integral dupla sobre todos os valores de X e X da densidade Normal bivariada éum. O parâmetro ρ na densidade Normal é o coeficiente de correlação entre X e X. Se ρ = 0, X e X são descorrelatados, mas da expressão da densidade Normal bivariada podemos perceber que a densidade conjunta reduz-se ao produto das densidades marginais. Logo, no caso da distribuição Normal bivariada (e apenas nele!!!!), correlação zero é equivalente à independência entre as duas variáveis aleatórias. mbarros.com 5 mbarros.com 6

5 Os valores esperados das densidades condicionais são funções lineares. Por exemplo: EX ( X x). σ = = µ + ρ. x µ σ ( ) Note que este valor esperado é chamado de regressão de X em X e neste caso percebemos que a função de regressão é uma função linear de X. As variâncias das densidades condicionais são constantes, e não dependem do valor da variável em que se está condicionando. Por exemplo: ( ) VAR( X X = x ) = σ. ρ que não depende de X. Na verdade, quanto maior (em módulo) a correlação entre X e X, menor é a variância condicional (maior a informação que X trouxe para X ). mbarros.com 7 mbarros.com 8 Isto é, se a correlação entre as duas variáveis é grande (em módulo), o conhecimento de uma das variáveis (densidade condicional) implica numa redução substancial da incerteza (variância) da outra. Por outro lado, se a correlação entre as variáveis é pequena, o efeito de conhecer uma variável sobre a incerteza na densidade condicional é pequeno também, e a variância condicional está próxima da variância da variável "sozinha" ( variância da densidade marginal). No limite, se ρ = 0, as variáveis são independentes, e conhecer uma delas não traz qualquer informação sobre a outra variável. Sejam X ~ N(0, ) e X ~ N(0, 4). Escreva a densidade Normal bivariada neste caso em função de ρ e calcule as densidades condicionais quando ρ = 0.5, -0.5, 0, 0.8, Solução x x x x f( x, x) =.exp.. ρ.. + π()() ρ ( ρ ) mbarros.com 9 mbarros.com 0

6 Lembramos novamente que o caso ρ = 0 corresponde à independência entre X e X, pois neste caso a densidade conjunta anterior é apenas o produto das marginais, que são N(0,) e N(0,4). A densidade condicional de X dado X = x é Normal, com média e variância dadas por: EX ( x) = 0 + ρ.. ( x 0) =. ρ. x ( ) VAR( X x ) =.( ρ ) = 4.( ρ ) A densidade condicional de X dado X = x é Normal com média e variância dadas por: E( X x ) = 0 + ρ.. ( x 0 ) =. ρ. x () VAR( X x ) =.( ρ ) = ρ mbarros.com mbarros.com A próxima tabela exibe os valores das médias e variâncias condicionais para os valores de ρ especificados. ρ E(X x) VAR(X x) E(X x) VAR(X x) -0.8 (-.6)x 4(0.36) =.44 (-0.4)x (-.0)x 4(0.75) = 3.00 (-0.5)x (+.0)x 4(0.75) = 3.00 (+0.5)x (+.6)x 4(0.36) =.44 (+0.4)x 0.36 mbarros.com 3 Da tabela notamos que, a variância incondicional de X (quando X não é levado em consideração, ou quando as duas variáveis são independentes) é 4. Esta variância se reduz quando o coeficiente de correlação aumenta em módulo. A média condicional de X dado x não depende de x quando as variáveis são independentes, e é uma reta quando ρ 0. O coeficiente angular desta reta varia de acordo com o valor de ρ, podendo ser negativo ou positivo. Comentários semelhantes se aplicam à distribuição condicional de X dado x. mbarros.com 4

7 A seguir mostramos densidades Normais bivariadas com µ e µ = 0, σ = σ = (4) = 6 e ρ com diversos valores. ρ = -0.8 (Densidade ) Verifique e compare as curvas de nível destas densidades. mbarros.com 5 mbarros.com 6 ρ = -0.8 (Curvas de Nível são ELIPSES!) ρ = -0.8 (Densidade Condicional de X dado X ) mbarros.com 7 mbarros.com 8

8 ρ = -0.8 (Densidade Condicional de X dado X ) ρ = 0 (Densidade ) mbarros.com 9 mbarros.com 30 ρ = 0 (Curvas de Nível são CÍRCULOS) ρ = +0.8 (Densidade ) mbarros.com 3 mbarros.com 3

9 ρ = +0.8 (Curvas de Nível são ELIPSES!) Distribuição Normal bivariada (para casa) Num certo instante de tempo, as taxas de juros de 30 e 60 dias têm, conjuntamente, uma distribuição Normal bivariada com médias 6% e 6.8% ao ano, e desvios padrões 4% e 5% ao ano respectivamente. A correlação entre as taxas é 90%. Calcule: mbarros.com 33 mbarros.com 34 Distribuição Normal bivariada (para casa) a) A probabilidade da taxa de 30 dias estar entre 4% e 8%. b) A probabilidade da taxa de 60 dias estar entre 4% e 8%. c) A probabilidade da taxa de 30 dias estar entre 4% e 8% sabendo que a taxa de 60 dias está hoje em %. d) A probabilidade da taxa de 30 dias estar entre 4% e 8% sabendo que a taxa de 60 dias está hoje em 5%. e) A probabilidade da taxa de 60 dias estar entre 4% e 8% sabendo que a taxa de 30 dias está hoje em 8%. mbarros.com 35 Distribuição Normal bivariada (para casa) Fez-se uma pesquisa de preços de roupas masculinas num shopping center. Uma amostra dos produtos existentes revela que o preço das calças é uma variável Normal com média R$ 80 e desvio padrão R$ 30. O preço das camisas é, por sua vez, uma variável Normal com média R$ 60 e desvio padrão R$ 5. A correlação entre os preços de calças e camisas é 0.6. Calcule as seguintes probabilidades: a) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95. mbarros.com 36

10 Distribuição Normal bivariada (para casa) b) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95 sabendo que uma camisa custa R$ 75 nesta loja. c) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95 sabendo que uma camisa custa R$ 50 nesta loja. d) Qual é a distribuição condicional dos preços das camisas sabendo que o preço das calças é R$ 00? e) Qual é a distribuição condicional dos preços das camisas sabendo que o preço das calças é R$ 70? Distribuição Beta Definição (Função Beta) Sejam m e n > 0 (não necessariamente inteiros). A função Beta com argumentos m e n é definida por: / m n π m n o o β ( mn, ) = x ( x) dx= (sin θ) (cos θ) dθ Aqui usamos a transformação x = sin θ para obter a última integral do lado direito. mbarros.com 37 mbarros.com 38 Distribuição Beta Teorema - Propriedades da Funçã ção o Beta β(m, n) = β(n, m) Γ( m) Γ( n) β ( mn, ) = Γ(m+n) Esta última propriedade é importante por que relaciona as funções Gama e Beta, e será útil na derivação dos momentos da densidade Beta. mbarros.com 39 Distribuição Beta Definição (Densidade Beta) A densidade de probabilidade Beta deve ser aplicada a variáveis aleatórias definidas no intervalo [0,], e será importante no contexto de Estatística Bayesiana. A variável aleatória X tem densidade Beta(m, n), se sua densidade é: f x x x β ( mn, ) m n ( ) = ( ), 0 x, m,n > 0 mbarros.com 40

11 Distribuição Beta Distribuição Beta onde β(m, n) é a função Beta definida anteriormente. Note que, se m = n = a densidade Beta se reduz à Uniforme no intervalo (0,). Notação: X ~ Beta(m, n) Algumas densidades Beta Beta(,) Beta(,3) Beta(,) A densidade Beta é apropriada para modelar proporções, por causa do seu domínio (o intervalo (0,)) e também pela variedade de formas que a densidade pode assumir, de acordo com os valores especificados de m e n Beta(,) Beta(,3) mbarros.com 4 mbarros.com 4 Distribuição Beta Teorema - (Média e variância de uma v.a. Beta) Se X ~ Beta (m, n) então: E ( X ) m = m + n mn VAR( X ) = ( m+ n+ ) ( m+ n) Distribuição Beta Demonstração Segue do fato: k Γ ( k+ m) Γ ( m+ n) EX ( ) = Γ( m) Γ ( k+ m+ n) Para todo k inteiro mbarros.com 43 mbarros.com 44

12 Distribuição Beta e relação com a Uniforme(0,) Teorema Sejam X, X,..., X n variáveis aleatórias independentes com densidade Unif(0,). Seja Y r o r-ésimo maior número dentre os valores observados de X, X,..., X n. Então Y r tem densidade Beta com parâmetros r e n r +. Distribuição Beta e relação com a Uniforme(0,) Exemplo Um computador gera 0 números aleatórios uniformemente no intervalo (0,). Calcule a probabilidade de que o menor destes números será maior que 0.5. Solução Pelo teorema anterior, a densidade do menor dos 0 números é uma Beta com parâmetros e 0. Isto é, se Y denota este número temos: mbarros.com 45 mbarros.com 46 Distribuição Beta e relação com a Uniforme(0,) A densidade de Y é: ( ) Γ( ) () Γ( ) 0! ( ) ( ) 0( ) onde 0<y< Γ. 0 0!9! f y = y y = y = y A probabilidade deste número exceder 0.5 é: 9 Pr ( Y > 0.5) = 0( y) dy 0.5 Faça a mudança de variável: t = - y dt = - dy e se y 0.5, t 0.5 e se y, t 0. Logo: Pr ( Y > 0.5) = 0t ( dt) = 0 t dt = t = ( 0.5) = % Distribuição Beta (para casa) Considere uma amostra de tamanho n > 3 da densidade Uniforme(0,). Calcule, como função do tamanho da amostra, as seguintes probabilidades: a) De que o maior número na amostra exceda 0.8; b) De que o menor número na amostra seja menor que 0.. c) Faça um gráfico das probabilidades nos ítens a) e b) versus n. mbarros.com 47 mbarros.com 48

13 Distribuição Beta (para casa) Distribuição Beta (para casa) Um computador gera 6 números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo (0,). Calcule a probabilidade de que o menor destes números será maior que 0.. Calcule o valor esperado do menor destes números. Encontre a densidade do o. menor destes números e calcule a sua média e variância. Calcule a probabilidade de que o maior destes números exceda 0.6. Suponha que X tem distribuição Beta com parâmetros a e b. Mostre que Y = - X tem distribuição Beta com parâmetros b e a. mbarros.com 49 mbarros.com 50