PROVA DE ESTATÍSTICA e PROBABILIDADES SELEÇÃO - MESTRADO/UFMG /2012

Transcrição

1 PROVA DE ESTATÍSTICA e PROBABILIDADES SELEÇÃO - MESTRADO/UFMG - 0/0 Instruções:. Cada questão respondida corretamente vale (um) ponto.. Cada questão respondida incorretamente vale - (menos um) ponto. 3. Cada questão deixada em branco vale 0 (zero) pontos (neste caso marque TO- DAS as alternativas). 4. Pelo menos 9 (nove) questões devem ser respondidas pelo candidato. 5. A nota final será a soma dos pontos (negativos e positivos) de todas as questões. 6. As opções escolhidas devem ser assinaladas na folha de respostas no final da prova. Questões. Suponha que (X,..., X 0 ) seja uma amostra de uma variável aleatória X N(0, ). Considere a varíável aleatória Y = C(X +X ). A respeito da distribuição de Y, podemos afirmar que: (a) se c = 49 então Y N(0, ); (b) se c = (c) se c = 49, então Y t 0; 7 então Y t 7; (d) se c = 49 então Y t 0 ; 0 i=3 X i. A respeito das propriedades do Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) de um parâmetro θ de uma distribuição da Família Exponencial regular, caso ele exista, é correto afirmar que: (a) O EMV é sempre não viciado e consistente. (b) O EMV é consistente e assintoticamente eficiente. (c) O EMV é um estimador não viciado de variancia uniformemente mínima. (d) O EMV é não viciado, mas não é consistente.

2 3. Considere uma variável aletória com distribuição Binomial(5, θ). Queremos testar H 0 : θ = / contra H : θ = 3/4. Seja α = P (erro tipo I). e β = P (erro tipo II)). Marque a alternativa correta: (a) Fixando α = /3, se escolhemos a região crítica como A = {x : x = 0}, temos que β = /04. (b) Fixando α = /3, se escolhemos a região crítica como A = {x : x = 5}, temos que β = 43/04. (c) Fixando α = 6/3, se escolhemos a região crítica como A 3 = {x : x 4}, temos que o poder do teste é 648/04. (d) Fixando α = 6/3, se escolhemos a região crítica como A 4 = {x : x }, temos que o poder do teste é 008/ Sejam X Geometrica(p), X Gama(α, ), X 3 Uniforme(0, b) e sejam S (X), S (X), S 3 (X), estatísticas suficientes dos parâmetros de cada distribuição, respectivamente. Marque a alternativa em que as três estatísticas suficientes estão corretas: (a) S (X) = n i= X i, S (X) = n i= X i, S 3 (X) = Max i X i. (b) S (X) = X, S (X) = n i= logx i, S 3 (X) = Min i X i. (c) S (X) = X, S (X) = n i= (X i X) /n, S 3 (X) = Max i X i. (d) S (X) = n i= X i/n, S (X) = n i= X i, S 3(X) = X. 5. As funções geradoras das variáveis aletórias X,Y e Z são, respectivamente, M X (t) = (0, 7e t + 0, 3) 0, M Y (t) = e (et ), M Z (t) = e t+t. Então podemos afirmar que as Variáveis X,Y e Z têm, respectivamente, distribuição (a) N ormal(0, 7; 0), P oisson(), Quiquadrado(). (b) Binomial(0; 0, 7), P oisson(), N ormal(, 4). (c) Binomial(0; 0, 3), P oisson(), N ormal(, ). (d) Binomial(0; 0, 7), P oisson(0), Quiquadrado(). 6. Seja X, X,..., X 6 uma amostra aleatória de uma distribuição N(µ, σ ). Seja um estimador não viciado de σ T = c{(x X ) + (X 3 X 4 ) + (X 5 X 6 ) } Determine c e verifique qual dos dois estimadores é mais eficiente: T ou S = 6 i= (X i X) 6. (a) c = 3 e T é mais eficiente. (b) c = 3 e S é mais eficiente. (c) c = 6 e T é mais eficiente. (d) c = 6 e S é mais eficiente.

3 7. Caixas de cereais são produzidas em uma determinada fábrica, o peso de cada caixa de cereal é de 6 gramas. Um inspector escolhe uma amostra de 0 caixas e observou uma média de X = 5, 9060 gramas e desvio padrão de S = 0, 9 gramas. Suponha que a variável em estudo segue uma distribuição Normal. Usando um coeficiente de confiança γ = 95%. Escolha a alternativa correta: (a) [5, 7679; 6, 044] (b) [5, 408; 6, 40] (c) [5, 7466; 6, 0654] (d) [5, 469; 6, 349]. 8. Um professor de Biologia da UFMG acredita que a variância de vida de um certo organismo ao ser exposto a um determinado agente mortal, é mais de 65 minutos ao quadrado. Uma amostra aleatória de 5 organismos deu uma variância de 5. Suponha que a variável em estudo segue uma distribuição Normal. Considerando-se um nível de significância de 5%, tem-se : I. O valor da estatística de teste para verificar as hipóteses levantadas pelo pesquisador é de 7,44. II. As informações proporcionam evidências suficientes como para concluir que a afirmação do professor é correta. (a) (b) (c) (d) 9. Seja X, X,..., X n uma amostra aleatória com função de densidade f(x; θ) = θe θx, x 0, θ > 0. I. O estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro θ é ˆθ = n n. i= X i II. O estimador encontrado no item (I) é consistente para θ. (a) (b) (c) (d) 3

4 0. Seja X, X,..., X n uma amostra aleatória com função de densidade f(x; θ) = 6θ 4 x3 e ( x/θ), x 0, θ > 0. I. A estatística ˆθ n i= = X i n é suficiente, mas não é completa para θ. II. A estatística ˆθ = n i= X i é suficiente e completa para θ (a) (b) (c) (d). Suponha que uma urna contém 3 moedas M, M e M 3. A moeda M tem probabilidade /5 de sair cara, a moeda M tem probabilidade / de sair cara, a moeda M 3 tem probabilidade 3/5 de sair cara. Uma dessas moedas é selecionada aleatoriamente e lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair cara em duas jogadas da moeda selecionada? (a) 67/90 (b) 73/00 (c) 53/90 (d) 57/00. Considere uma urna contendo 000 bolas, das quais 5 são brancas, 50 são pretas e as outras são amarelas. Uma bola é retirada da urna aleatoriamente e então recolocada na urna antes que outra bola seja retirada. Esse processo segue até 00 vezes. Qual é a probabilidade aproximada de que uma bola branca seja selecionada no máximo vezes? (a) 3/(8 e) (b) 5/(8 e) (c) /( e) (d) 3/( e) 3. Os ônibus em direção à cidade A chegam na rodoviaria em intervalos de tempo de 5 minutos a partir das 0:00 horas, enquanto os ônibus em direção à cidade B chegam na rodoviária em intervalos de tempo de 5 minutos a partir das 0:0 horas. Se uma pessoa chegar na rodoviária em um horario uniformemente distribuído entre 0:00 e :05 e pegar o primeiro ônibus que chega, em que proporção de tempo ela vai para a cidade A? Obs: Considere que os ônibus partem imediatamente após sua chegada à rodoviária. 4

5 (a) /5 (b) 3/5 (c) 4/5 (d) /5 4. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por { x + y se x (0, ), y (0, ) f(x, y) = 0, caso contrario Determine P (X < Y ). (a) / (b) /4 (c) /3 (d) 3/4 5. Sejam X, X,..., X n variáveis aleatórias exponenciais independentes e identicamente distribuídas com parâmetro λ. Calcule E ( mín(x, X,..., X n ) ). (a) (nλ) n (b) n λ (c) nλ (d) λ n 5