Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

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1 Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes

2 Sumário Modelos Probabilísticos Discretos Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrico Geométrico Poisson Contínuos Uniforme Normal Tempo de Vida Exponencial Gama Weibull

3 Modelos Probabilísticos Podem ser discretos ou contínuos, dependendo das variáveis aleatórias que os descrevem. Servem para descrever fenômenos físicos. São expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros.

4 Modelos Discretos Modelo Uniforme Discreto Seja a v.a. X, cujos possíveis valores são representados por x 1, x 2,..., x k. Dizemos que X segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma probabilidade 1/k para cada um desses k valores. P(X=x i ) = 1/k, i = 1,2,..., k. Modelo Uniforme Discreto E[X] = (1+k)/ σ 2 [X] = (k 2-1)/ f(x)

5 Modelos Discretos Modelo de Bernoulli A v.a. X assume dois valores possíveis (0 ou 1), com probabilidades (1-p) e p, respectivamente. P(X=x) = p x (1-p) 1-x, x = 0,1.

6 Modelos Discretos Modelo Binomial (experimentos co reposição) Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade p de sucesso. Sendo k o número de sucessos. P(X=k) = C n,k p k (1-p) n-k, k = 0,1,2,..., n. C n,k = n!/(k! (n-k)!) Notação: X~b(n,p) Exemplo: Qual é a probabilidade de se obter 03 sucessos numa b(12,0.4)? P(X=3) = C 12,3 (0.4) 3 (0.6) 9 =... = 0.142

7 Modelos Discretos Modelo Binomial Exemplo: Seja uma urna com N bolas das quais M são brancas e (N-M) são pretas. Retiram-se sucessivamente n bolsa da urna, recolocando a bola na urna após cada retirada. Qual é a probabilidade de se tirar k vezes bolas brancas? P(X=k) = C n,k (M/N) k (1- M/N) n-k Qual é a probabilidade de se tirar até k vezes bolas brancas?

8 Modelos Discretos Modelo Binomial Esperança: E[X] E[X] = k=0,..n k. P(X=k) = k=1,..n k. [C n,k.p k.(1-p) n-k ] = k=1,..n k. [ (n!/{k!(n-k)!}). p k.(1-p) n-k ] = k=1,..n [ ( n!/{(k-1)!(n-k)!}). p k.(1-p) n-k ] = n.p. k=1,..n [( ( n-1)!/{(k-1)!(n-k)!}). p k-1.(1-p) n-k ] = n.p. j=o,..n-1 [ ( (n-1)!/{(j)!(n-j-1)!}). p j.(1-p) n-j-1 ] = n.p. j=o,..n-1 [ C n-1,j.p j.(1-p) n-j-1 ] = n.p. (p+ (1-p) n-1 = np j=k-1

9 Modelos Discretos Modelo Binomial Esperança: E[X] via função geradora de momento φ(t) = E(e tx ) = k=o,..n [ e tk. C n,k. p k. (1-p) n-k ] = k=o,..n [ C n,k. (p.e t ) k. (1-p) n-k ] = ( p.e t + (1-p) ) n E[X] = dφ(t=0)/dt = n(p.e t + (1-p)) n-1 p.e t, para t =0 = np (a+b) N = n=o,..n [C N,n. a n. b N-n ]

10 Modelos Discretos Modelo Binomial Segundo momento: E[X 2 ] via função geradora de momento φ(t) = E(e tx ) =( p.e t + (1-p) ) n dφ(t)/dt = n(p.e t + (1-p)) n-1 p.e t d 2 φ(t)/dt 2 = n(n-1)(pe t +(1-p)) n-2 p 2 e 2t + n(pe t + (1-p)) n-1 pe t E[X 2 ] = d 2 φ(0)/dt 2 = n(n-1)p 2 + np Variância: σ 2 [X] σ 2 [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = n(n-1)p 2 +np (np) 2 = n 2 p 2 np 2 +np n 2 p = np(1-p)

11 Modelos Discretos Modelo Hipergeométrico Modela experimentos sem reposição de uma população com um número finito de elementos, em cada elemento pode ser de um de dois tipos. M elementos do tipo 1 e (N-M) do tipo 2. Se X é a v.a. que designa o número de ocorrência do evento do tipo 1 dentre n experimentos, então sua distribuição de probabilidade é: P[X=k] = C M,k. C N-M,n-k / C N,n

12 Modelos Discretos Modelo Hipergeométrico P[X=k] = C M,k. C N-M,n-k / C N,n Exemplo: Uma caixa contém 15 peças das quais 04 estão com defeito. Retira-se uma amostra de 03 peças da caixa sem reposição. Calcular a probabilidade que haja 02 ou 03 peças defeituosas na amostra. P[X=2] + P[X=3] = (C 4,2.C 11,1 /C 15,3 ) + (C 4,3. C 11,0 /C 15,3 ) = 0,153

13 Modelos Discretos Modelo Hipergeométrico P[X=k] = C M,k. C N-M,n-k / C N,n Esperança: E[X] = n. M/N Variância: σ 2 [X] = n M (N-M) (N-n) / (N 2 (N-1) )

14 Modelos Discretos Modelo Geométrico Dizemos que uma v.a. X tem distribuição Geométrica de parâmetro p, se sua probabilidade tem forma: P[X=k] = p(1-p) k, 0 p 1 e k=0,1,2,... Notação: X~G(p) Interpretação: Sendo p a probabilidade de sucesso, a distribuição Geométrica seria o número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.

15 Modelos Discretos Modelo Geométrico X~G(p) = P[X=k] = p(1-p) k, 0 p 1 e k=0,1,2,... Exemplo: X~G(0,01) Se 0,05 é a probabilidade de uma fábrica produzir uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de se produzir Q peças boas antes de se produzir a primeira defeituosa? P(Q=k) = 0,05. 0,95 k Distribuiçao geométrica - G(0,05), k=0,1,2, P(Q=k)

16 Modelos Discretos Modelo Geométrico X~G(p) = P[X=k] = p(1-p) k, 0 p 1 e k=0,1,2,... Esperança: E[X] = (1-p)/p Variância: σ 2 [X] = (1-p)/p 2

17 Modelos Discretos Modelo de Poisson: X~Po(λ) Grande importância prática: telecomunicações, física, biologia,... É uma aproximação do modelo binomial quando o número de ensaios de Bernoulli tende a infinito. A v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ se para k=0,1,2,...: P[X=k] = e -λ λ k / k!, onde λ (>0) é a taxa de ocorrência média esperada num determinado intervalo de tempo. Sendo que: E[X] = λ σ 2 [X] = λ

18 Modelos Discretos Modelo de Poisson: X~Po(λ) P[X=k] = e -λ λ k / k!, para λ >0. E[X] = λ, σ 2 [X] = λ Exemplo: A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de partículas α, emitidas por minuto, seja uma v.a. seguindo o modelo de Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média é 5 emissões por minuto. Qual é a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto? A ~ Po(5). P(A>2) = a=3,..., P(A=a) = 1 - a=1,2,3 P(A=a) = 1 - a=1,2,3 (e -5.5 a )/a! = 0,875

19 Modelos Discretos Modelo de Poisson: X~Po(λ) P[X=k] = e -λ λ k / k!, para λ >0. E[X] = λ, σ 2 [X] = λ Distribuição de Poisson com lambda = Po(5) 0.35 Distribuição de Poisson com lambda = 2 -- Po(2) P(N=n) P(N=n) k - número de repetições k

20 Modelos Contínuos Modelo Uniforme Contínuo X~U[a,b] A v.a. X tem distribuição uniforme contínua no intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = 1/ (b-a), a x b; e 0,caso contrário. E[X] = (a+b) / 2 E[X 2 ] = (a 2 +ab+b 2 )/3 σ 2 [X] = (b-a) 2 /12 F(X) =? f(x) 1/(b-a) a b X

21 Modelos Contínuos Modelo Exponencial X~Exp(α) A v.a. contínua X, assumindo valores não negativos, segue o modelo exponencial com parâmetro α>0 se sua densidade de probabilidade é dada por: f(x) = αe -αx, x e 0, caso contrário. F(x) = 0,x α e -αx dx = 1- e -αx P(a<X<b) = F(b) F(a) = - e -αb + e -αa E[X] = 1/ α σ 2 [X] = 1/ α 2

22 Modelos Contínuos Modelo Exponencial X~Exp(α) f(x) = αe -αx, x e 0, caso contrário. F(x) = 1- e -αx ; P(a<X<b) =? Funções Densidade e Distribuição de Probabilidade do M odelo Exponencial - X~Exp(2)

23 Modelos Contínuos Modelo Exponencial X~Exp(α) f(x) = αe -αx, x e 0, caso contrário. F(x) = 1- e -αx Exemplo: O intervalo, em minutos, entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma v.a. com distribuição exponencial com α=0,2. Qual é a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos? P(X<2) = F(2) F(0) = -e -0.2(2) + e -0.2 (0) = -e = 0,33 E[X] = 1/ α = 5 σ 2 [X] = 1/ α 2 = 25 Qual é probabilidade do intervalo ser superior a 7, sabendo-se que ele é superior a 5 minutos? P(X>7/X>5) = P(X>7,X>5) / P(X>5) = P(X>7) / P(X>5) =?

24 Modelos Contínuos Modelo Exponencial X~Exp(α) f(x) = αe -αx, x e 0, caso contrário. F(x) = 1- e -αx Propriedade: P(X>t+s X>s) = P(X>t). P(X>t+s X>s) = P(X>t+s,X>s)/P(X>s) = P(X>t+s)/P(X>s) = {F(+ ) F(t+s)} / {F(+ ) F(s)} = e - αt = P(X>t) P(X>7/X>5) = P(X>7,X>5) / P(X>5) = P(X>7) / P(X>5) = P(X>2)

25 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) A v.a. contínua X tem distribuição Normal, com parâmetros µ, σ 2, se sua função densidade é dada por: f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ Propriedades: f(x) é simétrica em relação à µ; f(x) 0 quando x - ou + ; O valor máximo de f(x) se dá para x = µ. E[X] = µ Variância = E[(X - µ) 2 ] = σ 2

26 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ E[X] = µ Variância = E[(X - µ) 2 ] = σ 2 Funções densidade e distribuição de probabilidade para um m odelo Norm al - N(1,1) X

27 Histograma para mil amostras Histograma de uma distribuiçao Nornal - N~(0,1) 8 x 105 Histograma de uma distribuiçao Nornal - N~(0,1)

28 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) 0.4 Funçao Normal - variando-se a média

29 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) 0.7 Funçao Normal - variando-se a variancia

30 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ E[X] = µ Variância = E[(X - µ) 2 ] = σ 2 F(X) = -,x f(x)dx não há solução analítica P(a<x<b) = F(b) F(a) = a,b f(x)dx

31 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ Dado X~(µ, σ 2 ) z = (x-u)/ σ E[Z]= E[(X- µ)/ σ] = (1/ σ) (E[X] - µ) = 0 Var[Z] = Var[(X- µ)/ σ]=(1/ σ 2 ) Var[(X- µ)] = (1/ σ 2 ) Var[X] = 1 Z~N(0,1) Normal padrão!

32 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) z = (x-u)/ σ Z~N(0,1) Normal padrão! Então: P(a<X<b) = P[(a-u)/ σ < Z < (b-u)/ σ ] Assim, basta saber os valores tabelados de F(Z). Exemplo: dado X~N(2,9), obter P(2<X<5). P(2<X<5) = P[(2-2)/ 3 < Z < (5-2)/ 3 ] = P(0<Z<1) = 0,3413

33 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) z = (x-u)/ σ Z~N(0,1) Normal padrão! Exemplo: dado X~N(0,2) A) P(1<X<2) = 0,421 0,258 = 0,163 B) P(1<X<2/ X>1)» P(0,7<Z) = 0,5 P(0<Z<0,7) = 0,5 0,258 = 0,242

34 Modelos Contínuos Modelo Normal ou Gaussiana X~N(µ, σ 2 ) z = (x-u)/ σ Z~N(0,1) Normal padrão! Exemplo: Se X ~(0,2) e Y = 3X 2, calcule, E[Y], σ(y) e f y (y).