Probabilidades e Estatística LEGM, LEIC-A, LEIC-T, MA, MEMec

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Leandro Costa de Caminha
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1 Duração: 9 minutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEGM, LEIC-A, LEIC-T, MA, MEMec Justifique convenientemente todas as respostas o semestre 7/8 5/5/8 9: o Teste A valores. Uma loja comercializa telemóveis das marcas A e B. De acordo com os registos desta loja: 4% e 6% dos telemóveis em stock são das marcas A e B (respetivamente); 5% e % dos telemóveis das marcas A e B (respetivamente) possuem defeitos. Admitindo que inspeciona um telemóvel escolhido ao acaso: (a) Calcule a probabilidade de ele possuir defeitos. (.5) Quadro de acontecimentos e probabilidades Acontecimento Probabilidade A {telemóvel selecionado da marca A} P(A).4 B {telemóvel selecionado da marca B} P(B).6 D {telemóvel selecionado defeituoso} P(D)? P(D A).5 P(D B). Tirando partido da lei da probabilidade total, segue-se P(D) P(D A) P(A) + P(D B) P(B) (b) Obtenha a probabilidade de ele ser da marca A sabendo que possui defeitos. (.5) Ao invocar-se o teorema de Bayes, tem-se P(A D) P(D A) P(A) P(D) A localização de fraturas capilares nas bordas de vigas de aço segue um processo de Poisson com taxa de 4 fraturas por metro. (a) Obtenha a probabilidade de a distância (em metro) entre duas fraturas capilares adjacentes exceder (.) cm. Variável aleatória de interesse T distância (em metro) entre duas fraturas capilares adjacentes Distribuição de T Uma vez que lidamos com um processo de Poisson com taxa de 4 fraturas capilares por metro, temos T Exponencial(λ), com λ 4. Página de 5

2 F.d.p. de{ T, t < f T (t) 4 e 4t, t P(T >.) +. 4 e 4t dt e 4t +. e..94. [Em alternativa, P(T >.) P(X. ) e 4. (4.)!.94 com X. no. de fraturas num segmento de. m de uma viga e X. Poisson(4.).] (b) Qual é a probabilidade de um segmento de 5 cm de uma viga de aço possuir pelo menos duas (.) fraturas capilares? V.a. de interesse X t número de fraturas num segmento de t metros de uma viga (t > ) Distribuição de X t Uma vez que lidamos com um processo de Poisson com taxa igual a 4 fraturas por metro, temos X t Poisson(4 t). F.p. de X.5 P(X.5 x) e 4.5 (4.5) x x!, x,,,... P(X.5 ) P(X.5 ) F Poi sson() () tabel a/calc Grupo II valores. O tempo (em hora) de reparação de peças mecânicas de um dado tipo é representado pela variável aleatória X com distribuição uniforme contínua no intervalo ],[. (a) Determine a probabilidade de o tempo de reparação de uma dessas peças mecânicas vir a exceder (.5) 9 minutos sabendo que a reparação de tal peça está em curso há minutos. Variável aleatória de interesse X tempo (em hora) de reparação da peça mecânica Distribuição de X X Uniforme(,) F.d.p. de X { f X (x), < x <, c.c. Prob. pedida P(X >.5 X >.5) P(X >.5, X >.5) P(X >.5) P(X >.5) P(X >.5).5 dx.5 dx Página de 5

3 P(X >.5 X >.5) x.5 x.5 /4 /4. (b) Obtenha E(4 + X ), o custo esperado da reparação de uma dessas peças mecânicas. (.5) Valor esperado pedido E(4 + X ) 4 + E( X ) 4 + x dx 4 + x (c) Calcule um valor aproximado para a probabilidade de o tempo total de reparação de dessas (.) peças mecânicas não exceder horas. Admita que os tempos de reparação das peças são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas a X. V.a. X i tempo (em hora) de reparação da peça mecânica i, n Distribuição, valor esperado e variância comuns X i i.i.d. X, i,...,n E(X i ) E(X ) V (X i ) V (X ) f or m. +, i,...,n f or m. ( ), i,...,n i,...,n V.a. de interesse S n n i X i tempo total (em hora) de reparação de n peças mecânicas Valor esperado e variância de S n E(S n ) E ( n i X ) i n i E(X i ) X i X n E(X ) V (S n ) V ( n i X ) Xi indep. i n i V (X i ) X i X n V (X ) Distribuição aproximada de S n Pelo teorema do limite central (TLC) pode escrever-se S n E(S n ) V (Sn ) S n n E(X ) n V (X ) a Normal(,). Valor aproximado da probabilidade pedida ( ) Sn n E(X ) n E(X ) P(S n ) P n V (X ) n V (X ) Φ Φ() T LC.5.. Considere que seleciona casualmente e sem reposição baterias de um lote constituído por baterias Página de 5

4 de tipo A, 4 baterias de tipo B e 5 baterias de tipo C. Caso X (respetivamente Y ) represente o número de baterias selecionadas de tipo A (respetivamente de tipo B), então as variáveis aleatórias X e Y possuem função de probabilidade conjunta dada pela tabela seguinte: Y X (a) Determine a mediana de X Y. (.) Par aleatório (X, Y ) X número de baterias selecionadas de tipo A Y número de baterias selecionadas de tipo B F.p. conjunta e f.p. marginais P(X x,y y), P(X x) y P(X x,y y) e P(Y y) x P(X x,y y) encontram-se sumariadas na tabela seguinte: Y X P(X x) P(Y y) F.p. de X Y P(X x Y ) P(X x,y ) P(Y ) 4 6 4, x 6, x, x, restantes valores de x F.d. de X Y F X Y (x) P(X x Y ), x < 4, x <, x <, x Mediana de X Y Representemos a mediana de (X Y ) por me. Então me : F X Y (me) + P(X me Y ) () F X Y (me) + [F X Y (me) F X Y (me )] F X Y (me ) F X Y (me). () Página 4 de 5

5 Ora, tirando partido da definição de mediana em (??) e de F X Y () 56 + P(X Y ) + 6 6, concluímos que é uma mediana de X Y [; a prova da sua unicidade é deixada como exercício]. [Alternativamente, notemos que F X Y ( ) F X Y () 4 F X Y (). Logo (??), permite-nos a concluir que é uma mediana de X Y ; a prova da sua unicidade é deixada como exercício.] (b) Obtenha a covariância entre X e Y. Poderá concluir que as variáveis aleatórias X e Y são (.) dependentes? Valor esperado de X E(X ) x P(X x) x Valor esperado de Y E(Y ) y P(Y y) y Valor esperado de X Y E(X Y ) x y P(X x,y y) Covariância x y cov(x,y ) E(X Y ) E(X ) E(Y ) Comentário É sabido que caso X e Y sejam v.a. independentes então cov(x,y ). Ora, cov(x,y ) 9 donde se pode afirmar que X e Y são efectivamente v.a. DEPENDENTES. 44 Página 5 de 5

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