Variáveis Aleatórias. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva

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1 Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva Variáveis Aleatórias

2 Variável Aleatória Variável aleatória (VA) é uma função que associa a cada elemento do espaço amostral de um experimento aleatório um número real. Exemplo: Considere o experimento aleatório E = Lançar uma moeda não viciada duas vezes e observar os resultados e a variável aleatória X = número de caras que ocorre no experimento aleatório k = cara c = coroa Ω = {(k,k), (k,c), (c,k), (c,c)} X = {0, 1, 2} (k,k) (c,k) (k,c) (c,c) Ω

3 Variável Aleatória Discreta Tipos de Variáveis Aleatória Variável aleatória X é dita discreta se o conjunto de valores de X é finito ou infinito enumerável. Exemplos: 1) E = Observar aviões que chegam em determinado aeroporto no período de um mês X = número de aviões que chegam atrasados X = {0, 1, 2, 3,...} 2) E = Lançar uma moeda 100 vezes X = número de lançamentos até ocorrer a primeira cara X = {1, 2, 3, 4,..., 100} 3) E = Observar os estudantes de uma determinada escola X = número de estudantes do sexo feminino X = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 3

4 Tipos de Variáveis Aleatória Variável Aleatória Contínua Variável aleatória X é dita contínua se o conjunto de valores de X é infinito não enumerável. Exemplos: 1) E = Observar um determinado carro de fórmula 1 numa corrida X = distância percorrida por este carro de fórmula 1 X = { x / x ϵ R e x 0 } 2) E = Observar o atendimento de funcionários de uma empresa X = tempo que um funcionário leva para atender clientes num certo dia X = { t / t ϵ R e 0 t 24 } 4

5 Função de Probabilidade para Variável Aleatória Discreta Seja X = {x 1, x 2,..., x n } uma variável aleatória discreta. p(x) é uma função de probabilidade da variável aleatória X se satisfaz as seguintes condições: (i) p(x i ) 0, i = 1, 2,...,n n i= 1 (ii) p(x i ) = 1, i = 1, 2,...,n (iii) p(x i ) = P(X = x i ), i = 1, 2,...,n 5

6 Distribuição de Probabilidade É o conjunto de todos os pares ordenados ( x i, p(x i ) ) e pode ser expressa em forma de tabelas, gráficos ou fórmulas. Exemplo 1 Seja o experimento aleatório E = lançamento de três moedas não viciadas e a variável aleatória X = número de caras que ocorre. Montar a distribuição de probabilidade para a variável aleatória X. Ω = {(c,c,c), (k,c,c), (c,k,c), (c,c,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(k,k,k)} X = {0, 1, 2, 3} X = x i P(X = x i ) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 1 6

7 Exemplo 2 Utilizando o experimento aleatório e a variável aleatória do exemplo anterior determinar a probabilidade de ocorrer: a) Exatamente uma cara; P(X = 1) = 3/8 P(X = 1) = 12,5% b) No máximo uma cara; P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) P(X 1) = 1/8 + 3/8 P(X 1) = 4/8 = 50% c) Pelo menos duas caras. P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1)] P(X 1) = 3/8 + 1/8 P(X 2) = 4/8 = 50% 7

8 Exemplo 3 O número de acidentes em um certo trecho de uma rodovia no período da noite é uma variável aleatória X discreta com função de probabilidade dada por P(X = x) = k.(3 x).(4 x) com x ϵ {0, 1, 2, 3} e k ϵ R. Determine a probabilidade de ocorrer no máximo um acidente naquele trecho. 8

9 Função de Probabilidade para Variável Aleatória Contínua A f(x) é uma função densidade de probabilidade (fdp) para a variável aleatória contínua X, para todo x ϵ R, se satisfaz as seguintes condições: (i) f(x) 0 (ii) + - f( x) dx = 1 (iii) P(a < X < b) = b a f( x) dx 9

10 Observações: 1) f(x) 0, para todo x real, significa que o gráfico da função não pode estar abaixo do eixo das abscissas; + - 2) f( x) dx = 1 significa que a área abaixo da função f(x) é igual a 1; 3) P(a < X < b) significa que a probabilidade da variável aleatória X estar compreendido entre a e b é a área abaixo da função f(x) no intervalo [ a, b ]; 4) Como P(X = a) = a a f( x) dx = 0 Então P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = b a f( x) dx

11 Exemplos 1) A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é dada por: a) Determine o valor de k sabendo que é um número real; b) Determine P(1 < X 3). 2) As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) de um supermercado é uma variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por: Determine a probabilidade de num determinado dia o supermercado necessitar mais de uma tonelada de matéria prima.

12 Função de Distribuição Acumulada Chama-se função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X, para qualquer número real k, indica-se F X (k), a soma das probabilidades de X = x i que são menores ou iguais a k, ou seja: F X (k) = P(X k) se X é variável aleatória discreta F X (k) = se X é variável aleatória contínua Exemplos 1) Considerando a variável aleatória X sendo o número de caras que ocorre no lançamento de três moedas não viciadas determine F X (2). 2) Determine a função de distribuição acumulada para a fdp do exemplo 2 do slide anterior. 12

13 Esperança Matemática, Expectância ou Média A esperança matemática E(X) de uma variável aleatória X é uma medida que posiciona o centro de uma distribuição de probabilidade definida por: n E( X) = xi. p( x i ) se X é uma variável aleatória discreta i= E( X) = x. f( x) dx se X é uma variável aleatória contínua 13

14 Propriedades da Esperança Matemática P1) Se a ϵ R então E(a) = a P2) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) P3) Se a ϵ R e b ϵ R então E(aX + b) = a.e(x) + b P4) E(X.Y) = E(X).E(Y) se X e Y são variáveis aleatórias independentes 14

15 Exemplo 1: Considere um jogo no qual três moedas não viciadas são lançadas e o jogador recebe R$ 2,00 por cada cara que ocorrer. Quanto o jogador espera ganhar após uma jogada? E( X) = Número de caras x i = valor a ser recebido p(x i ) 0 0 1/ / / /8 Total i= 1 x. p( i x i ) E(X) = 0.1/ / / /8 = R$ 3,00 15

16 Exemplo 2: Determinar a esperança matemática da variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por: 16

17 Variância Variância V(X) de uma variável aleatória X é definida por: n 2 V( X) = [ xi -E( X)]. p( x i ) se X é uma VA discreta i= V( X) = [ x -E( x)]. f( x) dx se X é uma VA contínua Observação: Raiz quadrada da variância é o desvio-padrão 17

18 Propriedades da Variância P1) Se a ϵ R então V(a) = 0 P2) Se a ϵ R então V(X + a) = V(X) P3) Se a ϵ R então V(aX) = a²v(x) P4) V(X) = E(X²) [E(X)]² 18

19 Exemplo 1 Uma urna tem 6 bolas brancas e duas verdes. Três bolas são retiradas sem reposição. Considere a variável aleatória X sendo o número de bolas verdes retiradas. Determine o desvio-padrão da variável aleatória X. Exemplo 2 Determine a variância da variável aleatória contínua X dada pela função densidade de probabilidade: 19