Lista de Exercícios 4

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1 Introdução à Teoria de Probabilidade. Informática Biomédica. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 30 de maio de Lista de Exercícios 4 são difíceis, são bem mais difíceis. Façam os exercícios do livro de C. Dantas antes de fazer esta lista. ( é material avançado e só devera ser estudado depois de uma primeira revisão. De qualquer maneira, a maioria dos problemas estão resolvidos no gabarito Respostas.) 1 Variáveis Aleatórias 54. Considere a v.a. discreta X com distribuição de probabilidade P (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10, P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X 6); (ii) P ( X 4 > 2); (iii) P (X = a), a é um número primo. 55. Seja X uma v.a. discreta com distribuição de probabilidade dada por { c2 x, x N, P (X = x) = 0, x N. onde N = {0, 1, 2,...}, e N é o complemento de N. Determine: (i) O valor da constante c; (ii) P (X 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser ímpar). 56. Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), x Im(X): (i) X: maior valor observado no lançamento dos sois dados. (ii) X é a soma dos valores observados. (iii) X é o produto dos valores observados. (iv) X é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado. 57. Seja X uma v.a. cuja função de distribuição é dada por 0, x < 0, 1/3, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1, x 2. 1

2 Calcular: P ( 1 2 X 3 2 ), P ( 1 2 X < 3 2 ), P ( 1 2 X 1), P ( 1 2 X < 1), P (1 < X < 2), P (1 X 2) e P (X > 1). 58. Cinco bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição de uma urna contendo N bolas numeradas de 1 até N, N > 5. Seja X a v.a. que denota o maior valor selecionado, determine a função de distribuição de X. 59. Quais são os valores da constante C para que as seguintes funções sejam distribuições nos enteiros positivos 1, 2,...? (i) Geométrica: P (X = x) = C2 x. (ii) Logarítmica: P (X = x) = C2 x /x. (iii) Quadrática inversa: P (X = x) = Cx 2. (iv) Poisson modificada : P (X = x) = C2 x /x!. 60. Seja Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }, com P(ω 1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = 1. Defina X, Y, Z : Ω 3 R tal que X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y (ω 1 ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) = 1, Z(ω 1 ) = 2, Z(ω 2 ) = 2, Z(ω 3 ) = 1. Mostrar que X e Y tem as mesmas distribuições. Encontra a funções de distribuição de X + Y, XY, e X/Y. 61. Seja X uma v.a. definida em (Ω, A, P), e a uma constante. Mostrar que (i) ax é uma variável aleatória, (ii) X X = 0 é uma variável aleatória sempre igual a cero, e X + X = 2X. 62. Seja X uma v.a. com função de distribuição F. Qual é a distribuição de Y = ax + b, onde a e b são constantes ( R)? 63. Seja X uma v.a. e seja g : R R uma função continua e estritamente crescente. Mostrar que Y = g(x) é uma v.a. 64. O lançamento de uma moeda resulta em cara com probabilidade p. A moeda e lançada até aparecer a primeira cara. Seja X o número total de lançamentos, qual é a probabilidade P (X > m)? Encontrar a função de distribuição de X. 65. Expressar as funções de distribuição de X + = max{0, X}, X = min{0, X}, X = X + + X, X, em termos da função de distribuição F da v.a. X. 2

3 2 Esperança matemática e variância 66. Para cada uma das v.a. no exercício ** encontrar: (i) P (X > 1), (ii) E[X], (iii) P (X é par). 67. Mostre, para toda variável aleatória X discreta, que: (i) Se existe uma constante α tal que P (X α) = 1, então E[X] α. (ii) Se existe uma constante β tal que P (X β) = 1, então E[X] β. Se X Y, isto é, {w Ω : X(w) Y (w)}, então E[X] E[Y ]. 68. Seja X uma variável aleatória com E[X 2 ] < e sejam a e b constantes reais. Mostrar que Var(aX + b) = a 2 Var(X). [pode começar mostrando que Var(X + b) = Var(X).] 69. Considere dois lançamentos consecutivos de um dado. Sejam X: número de vezes em que é obtida a face 1, x = 0, 1, 2. Y : número de vezes em que é obtida a face 6, y = 0, 1, 2. Z = X + Y : número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z). É verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)? 70. Para um grupo de n pessoas, determine o número esperado de dias do ano que são aniversário de exatamente k pessoas, k n. [Suponha que o ano tem 365 dias e que todos os arranjos são equiprováveis.] 71. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a porta de sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determine a média e a variância do número de tentativas se (i) as chaves incorretas são descartadas e, conseqüentemente, não mais selecionadas; (ii) as chaves incorretas não são separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas uma chave consegue abrir a porta. 72. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a N. Uma pessoa retira uma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta forma até obter uma bola pela segunda vez, isto é, até obter uma bola já retirada anteriormente. Seja X o número total de extrações necessárias para obter esta repetição, (i) obtenha a distribuição de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que ( E[X] = ) ( )( 1 2 ) ( )( 1 2 ) ( 1 n 1 ) n n n n n n 73. Cada membro de um grupo de n jogadores lança um dado (só uma vez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo laçamento tem o mesmo resultado, encontrar a média e a variância do total de pontos do grupo. (ii) Encontrar a média e a variância dos pontos totais do grupo se qualquer par de 3

4 jogadores que lançam o mesmo número k (k = 1, 2,..., 6), ganham k pontos. 74. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m. Se as m pessoas são selecionadas ao acaso, calcule o número médio de cassais sobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.] 75. Mostrar que se Var(X) = 0 então X é constante; isto é, existe a R tal que P (X = a) = 1. [Mostrar primeiro que se E[X 2 ] = 0 então P (X = 0) = 1.] 76. Seja X uma v.a. discreta e g : R R. Mostrar que E[g(X)] = x g(x)p (X = x) se a soma existe. 3 Esperança condicionada Definição. Seja X e Y duas variáveis aleatórias definidas em (Ω, A, P). A esperança condicional de X dado o evento {Y = y} é definida por E[X Y = y] = x xp (X = x, Y = y)/p (Y = y), (1) sempre e quando P (Y = y) > 0. Observamos que a medida que y varia sobre os possíveis valores de Y, E[X Y = y] define uma função de Y, denotada por E[X Y ]. Dado que Y é uma variável aleatória, Y (ω), a função assim definida também é uma variável aleatória, isto é Y (ω) E[X Y ](ω), e portanto faz sentido calcular o seu valor esperado E[E[X Y ]]. 77. Mostrar as seguintes propriedades da esperança condicionada. (i) E[aY + bz X = x] = ae[y X = x] + be[z X = x], a, b R. (ii) E[Y X = x] 0 se Y 0. (iii) E[1 X = x] = 1. (iv) Se X e Y são independentes, então E[Y X = x] = E[Y ]. (vi) E[Y g(x) X = x] = g(x)[y X = x] para qualquer função continua g. (v) E{E[Y X, Z] X} = E[Y X]. 4

5 4 Independência de variáveis aleatórias 78. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Seja Z = XY. Mostrar que X, Y e Z são independentes a pares. Serão as três independentes? 79. Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos enteiros positivos e com a mesma distribuição P (X = x) = 2 x, x = 1, 2,.... Encontrar (i) P (min{x, Y } x). (iii) P (X = Y ). (v) P (X divide Y ). (ii) P (Y > X). (iv) P (X ky ), k enteiro positivo. (vi) P (X = ry ), r racional positivo. 80. Três jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo a ordem ABC, ABC, A... (i) Mostrar que a probabilidade de que A seja o primeiro em lançar um 6, logo B e finalmente também C é 216/1001. (ii) Mostrar que a probabilidade de que o primeiro 6 seja lançado por A, o segundo por B, e o terceiro por C é 46656/ (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R R. Mostrar que g(x) e h(y ) são independentes. (b) Mostrar que duas v.a. X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) para todo x Im(X), y Im(Y ). (c) Mais geralmente, mostrar que X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma função de x e outra de y. 82. Sejam X, Y duas variáveis aleatórias independentes as quais podem assumir unicamente os valores { 1, 1}, de tal maneira que P(X = 1) = a, P(Y = 1) = γ. Uma terceira variável aleatória, Z, é definida por Z = cos((x + Y ) π ). Se 0 < a, 2 γ < 1, mostre que existem valores únicos de a e γ tais que X e Z são independentes, e Y e Z são independentes. Neste caso, serão X, Y e Z independentes? 5

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