Aula 3 - Revisão de Probabilidade e Estatística: Esclarecimento de Dúvidas

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Laura Canedo Damásio
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1 Aula 3 - Revisão de Probabilidade e Estatística: Esclarecimento de Dúvidas Matheus Rosso e Camila Steffens 19 de Março de 2018

2 Independência de variáveis aleatórias Duas V.A. são independentes se, e somente se: P(X = x i, Y = y j ) = p(x i, y j ) = p(x i ).q(y j ) (1) f (x, y) = g(x).h(y) (2) Onde p(x i, y j ) é a distribuição conjunta de X e Y, caso sejam discretas, e f (x, y) é a distribuição conjunta de X e Y, caso sejam contínuas. As funções g(x) e h(y) são ditas funções de densidade de probabilidade marginal de X e de Y, respectivamente. Teorema X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se: p(x i y j ) = p(x i ) (3) g(x y) = g(x) (4) em que g(x y) é função densidade de probabilidade condicional de X dado Y.

3 Independência de V.A. Propriedades do valor esperado: 1. Se X e Y são independentes, E(XY ) = E(X ).E(Y ). 2. Com X e Y independentes, E(X Y ) = E(X ) e E(Y X ) = E(Y ). Propriedades da variância: 1. Se X e Y são independentes, então Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ). 2. Se X e Y são independentes, então Var(X Y ) = Var(X ). De acordo com Wooldridge (Ap. C), isso ocorre porque a distribuição de X não depende de Y. E a Variância nada mais é do que uma medida dessa distribuição. Independência da Média: vale apenas E(X Y ) = E(X ) e E(Y X ) = E(Y ). Não podemos garantir nada sobre a Variância. Propriedades da covariância e da correlação: 1. Se X e Y são independentes, então Cov(X, Y ) = Se E(Y X ) = E(Y ), então Cov(X, Y ) = 0.

4 Medidas relacionadas às V.A. Var(X ) = E{[X E(X )] 2 } = E(X 2 ) [E(X )] 2 Var(X y) = E{[X E(X y)] 2 y} = E(X 2 y) [E(X y)] 2 Cov(X, Y ) = E{[X E(X )][Y E(Y )]} = E(XY ) E(X ).E(Y )

5 Variáveis aleatórias contínuas importantes Propriedades da Distribuição Normal: 1. Se X Normal(µ, σ 2 ), então X µ σ Normal(0,1). 2. Se X Normal(µ, σ 2 ), então ax + b Normal(aµ + b, a 2 σ 2 ). 3. Se X e Y possuem distribuição conjunta normal, então elas são independentes se, e somente se, Cov(X, Y ) = 0. No caso da distribuição normal, a volta também vale. 4. Qualquer combinação linear de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas normalmente possui distribuição normal.

6 Teoria assintótica n Sequência de V.A. i.i.d.: uma sequência de V.A. {X 1,..., X n } é dita independente e identicamente distribuída se for independente e seguir uma mesma distribuição (mesma forma e mesmos parâmetros). Convergência em probabilidade: dada uma sequência de V.A. iid em que X é a média amostral e µ é a média populacional, quando n, X p µ. Lei dos Grandes Números: indica a convergência da frequência relativa para a probabilidade. Em uma configuração de distribuição binomial, onde p = P(A): Com n, encontra-se que f A p p Resumindo: A média amostral se aproxima da média populacional quando n.

7 Teoria assintótica Teorema Central do Limite: dada uma sequência de variáveis aleatórias iid {X 1,..., X n }, definem-se: X = X i e µ = E(X i ). i i Assim, o TCL implica: X µ i Var(X N(0, 1) (5) i) Caso a sequência {X 1,..., X n } seja i.i.d., com E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2 para i {1,..., n}, então, conforme n : n(x µ) d N(0, σ 2 ) (6) O TCL tem relação com Convergência em Distribuição.

8 Amostragem Estatisticamente, é equivalente à noção de uma sequência de V.A. i.i.d. Em termos práticos, uma amostra aleatória consiste na realização empírica repetida n vezes de uma V.A.. Em virtude da equivalência apontada acima, as observações de uma amostra aleatória são independentes e têm uma mesma distribuição. Logo, a ocorrência de X i = x i não afeta a realização de X j = x j. Além disso, E(X i ) = E(X j ) = µ e Var(X i ) = Var(X j ) = σ 2.

9 Propriedades dos estimadores Considere os estimadores ˆθ e θ para o parâmetro verdadeiro θ: 1. Não tendenciosidade ou Ausência de Viés: E(ˆθ) = θ. Não depende de n. 2. Eficiência: Var(ˆθ) Var(θ ) para qualquer estimador θ. Menor variância entre os estimadores do mesmo grupo. Para estimadores não tendenciosos, o estimador eficiente terá que ter viés nulo. 3. Consistência: ˆθ converge em probabilidade para θ conforme n. Relacionado à Lei dos Grandes Números.

10 Inferência Os testes de hipóteses permitem aferir a significância de uma dada variável, enquanto que os intervalos de confiança proveem uma amplitude para as estimativas pontuais. Teste de Hipóteses: H 0 : β = β 0 (hipótese nula, a ser rejeitada ou não rejeitada) H 1 : β β 0 (hipótese alternativa)

11 Inferência Figura: Teste de Hipóteses

12 Exemplo: teste de gravidez O teste contém um antissoro da hgc (proteína hormonal). Se uma amostra de urina ou sangue contiver hcg, ao entrar em contato com o antissoro, não haverá aglutinação, dando origem a um resultado positivo. H 0 : não está grávida (amostra não contém hcg): hcg = 0. H 1 : está grávida (amostra contém hcg): hcg > 0

13 Procedimento para um teste de hipóteses 1. Estimação do parâmetro. 2. Estabelecimento das hipóteses. 3. Cálculo da estatística de teste: ET = ˆβ β 0 ep( ˆβ) (7) 4. Comparação de ET com o valor tabelado; caso ET valor tabelado, rejeita-se a H 0 ao nível de significância escolhido; caso ET valor tabelado, não é possível rejeitar H 0 ao nível de significância escolhido. Obs.: caso ep( ˆβ) considere uma variância estimada, utiliza-se a distribuição t. Caso se conheça a variância da distribuição normal de referência, ou caso a amostra seja suficientemente grande, utiliza-se a distribuição normal.

14 P-valor O p-valor nos diz qual seria a probabilidade de encontrarmos uma estatística mais extrema à observada (o que levaria à rejeição de H 0 ), condicionando H 0 verdadeira. Quanto menor o p-valor, maiores são os indícios de que a hipótese nula não explica bem o valor observado. Seja o nível de significância α = P(rejeitarH 0 H 0 verdadeira): p valor > α: não há indícios de que deveríamos rejeitar H0. p valor < α: rejeitamos H0.

15 Propriedades dos Somatórios Apêndice A 1. n (x i x) = 0 i=1 2. n n (x i x) 2 = x i (x i x) i=1 i=1 3. n n n (x i x)(y i y) = x i (y i y) = y i (x i x) i=1 i=1 i=1

16 Bibliografia Introdução à Econometria, Jeffrey Wooldridge.

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