Estatística Básica. 13 de maio de 2009

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1 13 de maio de 2009

2 Tipos de Testes Exemplos Teste para amostras independentes com variâncias iguais Teste para amostras independentes com variâncias diferentes Teste para amostras dependentes Teste para Proporção Populacional (p) Teste de aderência

3 Alguns Conceitos Variáveis (Qualitativas e Quantitativas) População e Amostra Experimentos Aleatórios Variabilidade

4 Variável Dependente (Variável Independente + Variável Residual) Variável Independente (Fator,Var. Explicativa,Var Explanatória,Var. Regressora) Variável Residual

5 Comportamento da Variável Funções de Probabilidade Hipóteses Tomada de Decisão

6 Variáveis e suas classificações VARIAVEL QUALITATIVA QUANTITATIVA NOMINAL ORDINAL DISCRETA CONTINUA

7 Introdução Apoio a decisão A incerteza

8 Estatística Descritiva x Estatística Inferencial Estatística Descritiva Tabelas de frequência Gráficos Resumos Numéricos

9 Estatística Inferencial (Indutiva) Estimação

10 Exemplo: Um instituto de pesquisa deseja estimar a proporção de eleitores do partido de situação no primeiro turno das eleições presidenciais.ao coletar uma amostra de 1200 eleitores,a proporção foi estimada em 54%

11 Exemplo:Um laboratório deseja verificar se uma nova droga aumenta a produção de testosterona em homens com idade acima de 35 anos.ao aplicá-lo em um grupo de 40 indivíduos, constatou-se que após um período de tempo a droga aumentou significativamente a quantidade do referido hormônio.

12 Técnicas de Amostragem Amostragem Aleatória Simples Amostragem Aleatória Estratificada Amostragem por Conglomerados (Clusters) Amostragem Sistemática Amostragem por Cotas Amostragem por Conveniência

13 Técnicas de estatística descritiva Tabelas de frequências Tabelas de frequência simples Tabelas de frequência em faixas de valores Alguns tipos de Gráficos Gráficos de setores Histogramas Gráficos de barras Medidas-resumo Tendência Central Dispersão (variabilidade) Separatrizes

14 Tabelas de frequência simples Frequência Frequência Estado Civil Absoluta Relativa Solteiro ,86% Casado ,12% Divorciado 10 2,6% Viúvo 12 3,12% Outro 32 8,31% Total %

15 Tabelas de frequência simples Idade n i f i f ac ,18 0, ,44 0, ,14 0, ,08 0, ,06 0, , ,04 0, ,02 0, ,04 1,00 Total 50 1

16 Tabelas de frequência em faixas de valores Horas semanais de TV Horas n i f i f ac ,28 0, ,34 0, ,22 0, ,08 0, ,08 1,00 Total 100 1

17 Medidas-resumo Tendência central Média Mediana Moda Dispersão(Variabilidade) Amplitude total Desvio médio absoluto Variância Desvio padrão Coeficiente de variação Separatrizes

18 Medidas de tendência central Média aritmética Mediana Moda

19 Média (Aritmética) X Obs = n i=1 x i n

20 Mediana Se n é ímpar Se n é par md obs = x n+1 2 md obs = x n 2 + x n

21 Moda A Moda é simplesmente o valor mais frequente em um conjunto de dados.

22 Renda mensal (em reais) de 8 trabalhadores da construção civíl x Obs = 750 md obs = 575 mo obs = 550

23 Medidas de Dispersão obs = x (n) x (1) dma obs = n x i x obs i=1 var obs = n i=1 dp obs = var obs = cv obs = 100 dp obs x obs n (x i x obs ) 2 n n (xi xobs) 2 i=1 n

24 Separatrizes Quartís Q1 = x ( n 4 ) Q2 = md obs Q3 = x ( 3n 4 ) Decís x ( in )i = 1, 2, 3,..., 9 10

25 Gráficos Gráfico de setores Histograma Cherry Apple Blueberry Vanilla Cream Other Boston Cream Frequency

27 Probabilidade Teorema da Soma Teorema do Produto Probabilidade Condicional

28 Conceitos Básicos de Probabilidade Fenômeno Aleatório Espaço Amostral Evento

29 Definição Clássica de Probabilidade P(A) = número de casos favoráveis ao evento A número de casos possíveis

30 Aproximação da Probabilidade pela Frequência Relativa P(A) = número de ocorrências do evento A número de observações

31 Propriedades de Probabilidades 1 0 P(A) 1 2 P(Ω) = 1 3 P( ) = 0 4 P( n j=1 A j) = n j=1 P(A j)

32 Teorema da Soma P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos P(A B) = 0, assim: P(A B) = P(A) + P(B)

33 Probabilidade Condicional P(A B) = P(A B) P(B)

34 Teorema do Produto P(A B) = P(A).P(B A) com P(A) > 0 Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Desse modo, P(A B) = P(A).P(B)

35 Teorema da probabilidade Total P(A) = P(A C 1 ) + P(A C 2 ) P(A C n )

36 Teorema de Bayes P(C j A) = P(A C j )P(C j ) k i=1 P(A C i)p(c i ), j = 1, 2,..., k.

38 Variável Aleatória Discreta P(X = x i ) = p(x i ) = p i, i = 1, 2,... Uma função de probabilidade satisfaz duas condiçoes seguintes: 0 p i 1 n p i = 1 i=1

39 Variável Aleatória Continua 1 f (x) 0, para todo x (, ). 2 A área definida por f (x) é igual a 1, ou seja: f (x)dx = 1.

40 Esperança Matemática E(X ) = µ = n x i P(x i ),se X for discreta i=1 b xf (x)dx,se X for contínua. a

41 Variância Variância σ 2 = Var(X ) = k i=1 (x i µ) 2 p i σ 2 = Var(X ) = n i=1 x 2 i p i ( n i=1 x ip i ) 2 = n i=1 x 2 i p i µ 2 Var(X ) = E(X 2 ) [E(X )] 2

42 Principais Distribuições de Probabilidade Modelo Discreto - P(X = x j ) = 1, j = 1, 2, 3,, k. k Modelo Bernoulli - P(X = x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Modelo Binomial ( -) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,, n. k Poisson - P(X = k) = e λ λ k, k = 0, 1, 2,, k! 1 Normal - 1 (x µ) 2 2πσ 2 e 2 σ 2

44 Conceitos Básicos de Inferência Estatística Parâmetro Estatística (Estimador) Estimativa

45 Distribuições Amostrais Distribuição amostral de X Teorema Central do limite(tcl) TCL para proporção

46 Distribuição amostral de X Z = X µ σ/ n t = X µ S/ n

47 Teorema Central do limite (TCL) X µ σ/ n X µ S/ n

48 TCL para proporção Proporção populacional: p = P n i=1 X i N desvio-padrão: p(1 p)/n desvio-padrão estimado: p(1 p)/n

49 Propriedades dos Estimadores Vício Eficiência Consistência

50 Estimador não-viesado E[ ˆΘ] = θ

51 Exemplo estimador viciado de σ 2 : P n i=1 (X i X ) 2 n estimador não viciado de σ 2 : S 2 = P n i=1 (X i X ) 2 n 1

52 Teste de aderência Tipos de Testes Exemplos Teste para amostras independentes com variâncias iguais Teste para amostras independentes com variâncias diferentes Teste para amostras dependentes Teste para Proporção Populacional (p) Teste de aderência

53 Teste de aderência Testada Hipótese Nula (H 0 ) θ ˆθ significativa? acaso? Hipótese Alternativa (H 1 )

54 Teste de aderência Tipos de Testes Teste Bilateral (Bicaudal) Teste Unilateral à Direita Teste Unilateral à Esquerda

55 Teste de aderência Tipos de erros cometidos ao se tomar uma decisão Erro tipo I Erro tipo II α e β Poder do Teste Realidade Decisão H 0 é Verdadeira H 0 é Falsa Rejeitar H 0 Erro Tipo I Decisão Correta Não Rejeitar H 0 Decisão Correta Erro Tipo II

56 Teste de aderência Procedimento para realização de um teste de significância 1 H 0 e H 1 2 Distribuição amostral e estimativa 3 α e estatística 4 RC 5 Conclusão

57 Teste de aderência Região Crítica e Regra de Decisão Regra de Decisão Região Crítica

58 Teste de aderência Exemplo 5.1 Exemplo: Seu amigo lhe diz: Tenho 16 bolas de gude 10 Brancas 4 Verdes 2 Amarelas H 0 : Seu amigo não está mentindo H 1 : Seu amigo está mentindo α: 0,10 pág.74

59 Teste de aderência Ocorrências, Implicações e Decisões Ocorrência Implicação Decisão I BP Afirmação Falsa José Mentiu II BB Afirmação Possível José provavelmente não mentiu III AA Afirmação Possível José provavelmente mentiu B = Bola Branca P = Bola Preta A = Bola Amarela

60 Teste de aderência Distribuição de Probabilidades das Possíveis Amostras Amostra AA VV AV AB BV BB Prob. 1/120 6/120* 8/120 20/120 40/120 45/120 * P(VV)= (4 2) ( 12 2 ) = V = Bola Verde

61 Teste de aderência Resumo de Decisões para o exemplo Decisão Amostra α = 0, 10 α = 0, 05 AA Rejeitar H 0 Rejeitar H 0 AB Não Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 AV Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 BB Não Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 BV Não Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 VV Rejeitar H 0 Rejeitar H 0

62 Teste de aderência Alguns Testes Paramétricos Mais Utilizados Teste para a média (µ) com Variância σ 2 desconhecida Teste para comparação de duas médias populacionais (µ 1 e Teste para amostras independentes com σ 2 1 = σ 2 2 Teste para amostras independentes com σ 2 1 σ 2 2 Teste para amostras dependentes

63 Teste de aderência Exemplo 5.2 (pág.78) O valor 167cm é menor que 171cm (n=27) Tabela 5.6

64 Teste de aderência Teste para a média com variância desconhecida H 0 : µ = µ 0 Distribuição amostral t de Student para n < 30 Normal para n 30 Exemplo 5.3 (pág.83) Máquina de café Espera-se: µ = 500gr.! Experimento aleatório (n=16)

65 Teste de aderência Exemplos Exemplo 5.4 (Pág. 90): Comparação entre Rações Exemplo 5.5 (pág. 92): Concreto 1 X Concreto 2 Exempl0 5.6 (pág. 93): Medicamento (pressão) Exemplo 5.7 (pág. 95): Pesquisa Eleitoral (n=200)

66 Teste de aderência Teste para amostras independentes com variâncias iguais H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 vs H 1 : µ 1 µ 2 t calculado = (x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s c q 1 n n 2 s 2 c = (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n 1 +n 2 2

67 Teste de aderência Teste para amostras independentes com variâncias diferentes H 0 : µ 1 µ 2 = 0 vs H 1 : µ 1 µ 2 0 t calculado = (x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) r s s2 2 n 1 n2

68 Teste de aderência Teste para amostras dependentes H 0 : µ d = D 0 = 0 vs H 1 : µ d 0 t calculado = d D 0 s d / n

69 Teste de aderência Teste para Proporção Populacional (p) ˆp = k n [1cm] H 0 : p = P 0 vs H 1 : p < p 0 [1cm] Z calculado = ˆp p 0 q p0 (1 p) n

70 Teste de aderência Teste para Comparação de duas Proporções Populacionais H 0 : p 1 = p 2 vs H 1 : p 1 p 2 (ˆp 1 ˆp 2 ) : N(p 1 p 2 ; p 1(1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 ) Z Calculado = ( (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) q : N(0, 1) )) ˆp(1 ˆp)( 1 n nc ˆp = n 1ˆp 1 +n 2ˆp 2 n 1 +n 2 = k 1+k 2 n 1 +n 2

71 Teste de aderência Teste de aderência H 0 :p i = p para todo i H 1 :p i p para pelo menos um valor de i Distribuição Amostral: Qui-Quadrado com k-1 g.l. Estatística do teste: k

72 Teste de aderência Teste Qui-quadrado para Tabelas de Contingência H 0 : Variáveis independentes H 1 : Variáveis dependentes E ij = n i.n.j n.. O ij = n ij χ 2 = s r i=1 j=1 (O ij E ij ) 2 E ij χ 2 q.

74 Introdução Considerando a existência de uma variável quantitativa X a qual apresenta relação com uma variável quantitativa Y, podemos construir um gráfico de dispersão dos valores de X versus os valores de Y

75 Correlação Correlação Coeficiente de Correlação

76 Tipos de Correlação Correlação positiva Correlação negativa

77 Tipos de Regressão Regressão linear Regressão não-linear

78 Coeficiente de Correlação de Pearson Coeficiente de Correlação de Pearson ρ = cor(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ x σ y Resultado próximo a 1 indica correlação positiva Resultado próximo a -1 indica correlação negativa Resultado próximo a 0 indica ausência de correlação

79 Teste de Significância H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 (ou H 1 : ρ > 0 ou H 1 : ρ < 0) Para tal é utilizada a Estatística T: n 2 T = r 1 r 2

80 Exemplo Exemplo: n=80 r=0.78 t tab = 1.99 (α = 5%, teste bilateral)

81 Regressão Linear Regressão Linear Simples y i = β 0 + β 1 x i + ε i

82 Estimação dos Parâmetros MQO SQ = β 0 = y β 1 x β 1 = np y i x i ny.x i=1 np xi 2 nx2 i=1 n ε 2 i = 1 n = (y i β 0 β 1 x i ) 2 1 E(Y x) = β 0 + β 1 x

83 Adequação do Modelo de Regressão Linear Simples Coeficiente de Determinação (R 2 ) R 2 = r 2 r = Coeficiente de correlação de Pearson amostral R 2 = SQ Reg /SQ Total

84 Quadro da da Regressão Variação g.l. Soma de Quadrados Quadrado Médio Regressão p 1 SQ Reg = n (ŷ i y) 2 QM Reg = SQ Reg t=1 (p 1) Resíduos n p SQRes = n (y 1 ŷ i ) 2 QMRes = SQRes t=1 Total n 1 SQTotal = n (yi y) 2 t=1 p = número de parâmetros do modelo n = tamanho amostral (n p)

85 Intervalo de confiança para y ŷ ± t α/2,n 2 var(ŷ) var(ŷ) = σ 2 [ 1 n + (x x2 ) σ 2 = np (y i by i ) 2 i=1 (n 2) np ] (x i x) 2 i=1

87 Introdução An O Va Analyse Of Variance A (ANOVA) versus Teste t Análise de variância: um fator Decomposição da variabilidade total Variab. Total = Variab. Tratamento + Variab. Residual

88 Alguns Conceitos Fator: Variável Independente Níveis Variável Dependente (variável resposta, variável)

89 Tratamento Tratamento: Combinação entre os níveis dos fatores apostila Quantitativo Tratamento Qualitativo

90 Unidade Experimental Unidade de alocação do experimento Unidades experimentais: Grupos de indivíduos ou indivíduos Observações (Dados)

91 Resíduo O Resíduo (erro experimental): Fatores não controlados fatores não controláveis sob a Hipóteses testada (H 0 )

92 Princípios básicos da experimentação Repetição Aleatorização Controle Local (Blocos)

93 Hipóteses H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ I H 1 : µ i µ i

94 Delineamentos Experimentais Delineamento Experimental: Forma como os tratamentos são designados às parcelas Parcelas homogêneas: Tratamentos podem ser sorteados nas unidade experimentais sem qualquer restrição (DCC)

95 Tabela de Dados Trat. Repetições Total J 1 y 11 y y 1j y 1 2 y 21 y y 2j y I y I 1 y I 2... y Ij y I y 1 y 2... y j y

96 Quadro da Anova Causas de Graus de Soma de Quadrados F Calculado Variação Liberdade Quadrados Médios Tratamentos I-1 SQTrat QMTrat QMTrat/QMRes Resíduo I(J-1) SQRes QMRes Total IJ-1 SQTotal I = Quantidade de Tratamentos J = Quantidade de Repetições

97 Obtenção das Somas dos quadrados SQTotal = SQTrat = I J i=1 j=1 IP yi 2 i=1 J C y 2 ij C SQRes = SQTotal - SQRes C = P ( I JP y ij ) 2 i=1 j=1 IJ

98 Obtenção dos Quadrados Médios e F calculado QMTrat = SQTrat I 1 QMRes = SQRes I (J 1) Fcalculado = QMTrat QMRes

99 Pressupostos para a realização da Anova Algumas pressuposições devem ser obedecidas: Resíduos: Independentes Normalmente distribuídos Variância comum (Homocedasticidade)

100 Teste de Tukey Permite testar qualquer contraste Estatística do teste: = q QMRes q = Amplitude Studenizada QMRes = Quadrado Médio do Resíduo r = Número de Repetições Comparação e Contraste r

101 Teste de Kruskal-Wallis Alternativa para quando os resíduos não são indepentes ou homocedásticos Postos Estatística do teste: H = 12 N(N + 1) k (R j ) 2 3(N + 1) n j j=1 N = Número total de observações k = Número de tratamentos n j = Números de obeservações do j-ésimo tratamento R j = Soma dos postos do j-ésimo tratamento

102 Teste de Kruskal-Wallis Caso haja empate, é feita correção atráves da Estatística C (t 3 C = 1 i t i ) N 3 N Temos a Estatística corrigida H 1 = H C