ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE UM CRITÉRIO (DIC)

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1 ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE UM CRITÉRIO (DIC) Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina 11 de dezembro de 2017

2 Uma análise de variância expressa uma medida da variação total num conjunto de dados como uma soma de termos, cada um dos quais é atribuído a uma fonte ou causa específica de variação.

3 Uma análise de variância expressa uma medida da variação total num conjunto de dados como uma soma de termos, cada um dos quais é atribuído a uma fonte ou causa específica de variação. Quando há somente um fator além do acaso, nos referimos à análise como uma análise de variância de um critério.

4 Suponha que haja a tratamentos ou diferentes níveis de um único fator que se queira comparar. A resposta observada de cada dos a tratamentos é uma variável aleatória. Os dados seriam da forma: Tratamentos Observações Totais Médias 1 y 11 y 12 y 1b T 1 ȳ 1 2 y 21 y 22 y 2b T 2 ȳ a y a1 y a2 y ab T a ȳ a em que y ij representa a j-ésima observação do i-ésimo tratamento; T i = b y ij ȳ i = j=1 b j=1 y ij b e ȳ = a b y ij ab.

5 O modelo estatístico para a é: y ij = µ + τ i + ɛ ij, { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b (1) em que, y ij é o valor observado para a variável resposta obtido para o i-ésimo tratamento em sua j-ésima repetição; µ é a média de todos os valores possíveis da variável resposta; τ i é o efeito do tratamento i no valor observado y ij ; ɛ ij é o erro experimental associado ao valor observado y ij ;

6 Temos que o objetivo geral é verificar se existe diferença significativa entre pelo menos duas médias de tratamentos. As hipóteses testadas são: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a H 1 : µ i µ j (Pelo menos duas médias de trat. diferem entre si) Uma forma equivalente de escrever as hipóteses anteriores é em termos dos efeitos dos tratamentos τ i, que é: H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 H 1 : τ i 0 Há efeito de tratamento

7 Para verificarmos se a hipótese nula (H 0 ) é rejeitada ou não, completase o seguinte Quadro da Análise de Variância: Tabela 1: Quadro da Análise de Variância. CV G.L. S.Q. Q.M. F calc F tab Tratamentos a - 1 SQTrat SQTrat a 1 QMTrat QMRes F (α;gltrat,gl Res ) Resíduo a(b-1) SQRes SQRes a(b 1) - - Total ab - 1 SQTotal Se F cal > F (α;gltrat,gl Res ), então rejeita-se H 0, ou seja, há pelo menos duas médias de tratamentos que diferem entre si.

8 Tem-se que a soma de quadrados total que corresponde à soma de quadrados dos desvios de todos os dados em relação à média é particionada da seguinte forma: (y ij ȳ) 2 = (y ij ȳ i + ȳ i ȳ) 2 Fazendo manipulações algébricas, tem-se (y ij ȳ) 2 = (ȳ i ȳ) 2 + (y ij ȳ i ) 2 SQ total = SQ trat + SQ res

9 SQ total = (y ij ȳ) 2 = a b yij 2 ( a b y ij) 2 ab SQ trat = (ȳ i ȳ) 2 = a i=1 T 2 i b ( a b y ij) 2 ab em que T i é o total do i-ésimo tratamento. SQ res = SQ total SQ trat

10 Como vimos anteriormente, a análise de variância para testar essas hipóteses só é válida se forem satisfeitas as seguintes condições: 1 aditividade: os efeitos devem se somar (não há interação); 2 independência: os erros (ɛ ij ) devem ser independentes; 3 normalidade: os erros (ɛ ij ) devem possuir uma distribuição normal (teste Shapiro-Wilks e análise gráfica); 4 homocedasticidade ou homogeneidade de variâncias: os erros (ɛ ij ) devem possuir uma variância comum σ 2 (teste de Bartlett, teste F máximo e teste de Levene);

11 Exemplo 1 Os dados abaixo fornecem a quilometragem por litro (km/l) de um carro para 4 tipos de gasolina: Tipos de Gasolina A B C D 15,1 14,9 15,4 15,6 15,0 15,2 15,2 15,5 14,9 14,9 16,1 15,8 15,7 14,8 15,3 15,3 15,4 14,9 15,2 15,7 15,1 15,3 15,2 15,7 Considerando que as pressuposições da análise de variância foram satisfeitas, a um nível de 5% de significância, verifique se há diferença significativa entre os tipos de gasolina em relação à média de consumo.

12 Exemplo 2 Um técnico de laboratório quer comparar a resistência à ruptura de três marcas de fio e, inicialmente, ele limita sua análise aos seguintes resultados (em quilogramas): Fio 1 18,0 16,4 15,7 19,6 16,5 18,2 Fio 2 21,1 17,8 18,6 20,8 17,9 19,0 Fio 3 16,5 17,8 16,1 16,0 Supondo que esses dados constituem amostras aleatórias de três populações normais com o mesmo desvio-padrão, efetue uma análise de variância para testar, ao nível de 1% de significância, se as diferenças entre as médias amostrais são significantes.