4. Experimentos em Blocos aleatorizados, quadrados latinos e experimentos relacionados. 4.4 Experimentos em Blocos Incompletos Balanceados

Transcrição

1 4. Experimentos em Blocos aleatorizados, quadrados latinos e experimentos relacionados 4.4 Experimentos em Blocos Incompletos Balanceados (EBIB) Em certos experimentos que usam blocos aleatorizados, podemos não ser capazes de rodar todas as combinações de tratamento em todos os blocos. Razões para isso podem ser por escassez do aparato experimental, tamanho físico do bloco, etc. Suponha no exemplo dos enxertos vasculares (veias) que cada lote de material é suficiente para testar apenas três níveis de pressão. Neste exemplo usou-se 4 níveis de pressão. É possível usar experimentos em blocos aleatorizados no qual nem todo tratamento está presente em cada bloco. EBIB 1

2 Quando todas as comparações de tratamento são igualmente importantes, as combinações de tratamento usadas em cada bloco são selecionadas de modo balanceado tal que cada par de tratamentos ocorra junto o mesmo número de vezes tanto quanto qualquer outro par. Um EBIB é um experimento em blocos incompletos no qual quaisquer dois tratamentos aparecem juntos um número igual de vezes. Suponha que existam a tratamentos diferentes e que há uma restrição de apenas k (k < a) tratamentos em cada bloco. Um EBIB pode ser construído tomando-se b = ( a ) blocos e, designando uma combinação k diferente de tratamentos para cada bloco. 2

3 Suponha a = 5 (número de tratamentos) e k = 3 (número de tratamentos ( ) em cada bloco). 5 Neste caso usaríamos = 10(= b) blocos, 3 a saber, O número de observações pode ser calculado como bk = 10 3 = 30 (número de blocos vezes o número de tratamentos em cada bloco). 3

4 Observe que neste exemplo, cada tratamento ocorre um mesmo número r de vezes, a saber, r = 6 e, cada par de tratamentos fixado ocorre o mesmo número de vezes λ que qualquer outro par, a saber, λ = 3 vezes. Observe também que o número de observações pode ser calculado como ar = 5 6 = 30 (número de tratamentos vezes o número de vezes que cada tratamento ocorre). Observação: O balanceamento ( ) pode ser obtido a com menos do que blocos. k Tabelas de EBIB s são fornecidas em Fisher (1953), Davies (1956) e Cochran e Cox(1957). 4

5 Exemplo: Suponha que um engenheiro químico ache que o tempo de reação em um processo químico dependa do tipo de catalisador empregado. Quatro catalisadores estão sendo investigados. O experimento consiste na seleção de um lote de matéria-prima, no carregamento da planta piloto e na observação do tempo de reação. Devido a variações no lote de matéria-prima o engenheiro decide usar os lotes como blocos. Porém, cada lote é grande o suficiente para permitir três catalisadores. Os dados obtidos estão na tabela a seguir. A ordem na qual os catalisadores são usados é aleatória. Neste exemplo temos a = b = 4 (número de níveis de tratamento e número de blocos) e k = 3 (número de níveis de tratamento em cada bloco). 5

6 Observe que com esses parâmetros, concluímos que r = 3, pois bk = ar. Assim, cada tratamento aparece três vezes ao longo dos quatro blocos. 6

7 Seja r, r < b, o número de vezes que cada tratamento aparece ao longo dos blocos. Então, o número total de observações feitas será dado por N = b k }{{} trat. s em cada bloco = a num. blocos em que cada trat. aparece {}}{ r. Além disso, o número de vezes que cada par de tratamentos aparece ao longo dos blocos é λ = r(k 1) a 1 Neste exemplo λ = = 2. No exemplo anterior λ = 6(2) 4 = 3, com r = 6, k = 3 e a = 5. 7

8 O parâmetro λ deve ser um número inteiro. De fato, para obter a relação para λ, considere qualquer tratamento, a saber, o tratamento 1. Como este tratamento aparece em r blocos e existem k 1 outros tratamentos em cada um destes r blocos, existem r(k 1) observações nos blocos que contêm o tratamento 1, excluindo-se as observações do tratamento 1. Essas r(k 1) observações também devem representar os a 1 tratamentos restantes λ vezes. Portanto, λ(a 1) = r(k 1). 8

9 Análise estatística do EBIB Como de praxe assumimos que existem a tratamentos e b blocos. Além disso, supomos que cada bloco contém k tratamentos (k < a), que cada tratamento ocorre r vezes no plano (r < b), e que existem N = ar = bk observações no total. Finalmente, o número de vezes que cada par de tratamentos ocorre em blocos diferentes r(k 1) é λ = a 1. Se a = b o plano é dito ser simétrico. O modelo estatístico é Y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij em que Y ij é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco, µ é a média global, τ i s representam os efeitos de tratamento, β j s representam os efeitos de bloco e ɛ ij NID(0, σ 2 ) são os componentes de erro aleatório. 9

10 A variação total nos dados é dada por SQ T ot = i j y 2 ij y2.. N SQ T ot pode ser particionada em SQ T ot = SQ T rat.aj + SQ Bl + SQ Res, em que a soma de quadrados de tratamento é ajustada para separar os efeitos de tratamento e de bloco. Este ajuste é necessário porque cada tratamento está representado em um conjunto diferente dos r blocos tal que as diferenças entre totais de tratamento não ajustados y 1., y 2.,...,y a. são afetadas por diferenças entre blocos. 10

11 A soma de quadrados devida aos blocos é SQ Bl = 1 k j y 2.j y2.. N em que y.j é o total no j-ésimo bloco. SQ Bl tem b 1 graus de liberdade. A soma de quadrados de tratamento ajustada é SQ T rat.aj = a k Q 2 i i=1 λa em que Q i é o total ajustado para o i-ésimo tratamento, e é calculado como Q i = y i. 1 k bj=1 n ij y.j com n ij = { 1, se o trat. i aparece no bloco j 0, caso contrário 11

12 Os totais de tratamento ajustados somam zero. SQ T rat.aj tem a 1 graus de liberdade. SQ Res = SQ T ot SQ T rat.aj SQ Bl com N a b + 1 graus de liberdade. A estatística apropriada para testar a hipótese de ausência de efeito de tratamento é dada por F 0 = QM T rat.aj QM Res A tabela ANOVA correspondente é apresentada a seguir. 12

13 Q i = y i. 1 k bj=1 n ij y.j com n ij = { 1, se o trat. i aparece no bloco j 0, caso contrário 13

14 Exemplo 4.5: Verifique se há efeito de tratamento no experimento dos catalisadores. Os dados estão no arquivo catalisador.txt. SQ T ot = i j y2 ij = = 81, 00. SQ Bl = 1 3 ( ) = 55, 00 Q 1 = (n 11y.1 + n 12 y.2 + n 13 y.3 + n 14 y.4 ) = 9 3 Q 2 = 7 3, Q 3 = 4 3 e Q 4 = Assim, SQ T rat.aj = k i Q2 i λa = 22, 75 e, SQ Res = SQ T ot SQ T rat.aj SQ Bl = 3,

15 A tabela ANOVA é FV gl SQ QM F P-valor Trat.aj 3 22,75 7,58 11,66 0,0107 Bloco 3 55,00 Erro 5 3,25 0,65 Total 11 81,00 15

16 Se o fator em estudo é fixo, testes sobre médias dos tratamentos individuais podem ser de interesse. Se contrastes ortogonais são usados, os contrastes amostrais devem ser calculados usandose os totais de tratamento ajustados Q i no lugar de y i.. Neste caso, SQ C = k c i Q i i λa c 2 i i são os coeficientes do contraste. 2 em que os c i s Outros métodos de comparações múltiplas podem ser usados para comparar todos os pares de tratamento, nos quais os efeitos de tratamento são estimados por ˆτ i = k i Q i λa com erro padrão S = kqmres λa subseção

17 Na análise que acabamos de realizar, SQ T ot foi decomposta em SQ T rat.aj + SQ Bl + SQ Res. Pode ser que estejamos interessados em avaliar os efeitos de bloco. Para isso, uma outra decomposição da soma de quadrados total terá que ser usada, a saber, SQ T rat + SQ Bl.aj + SQ Res. Os totais ajustados por bloco são dados por Q j = y.j 1 r i n ij y i., j = 1, 2,..., b. Na tabela a seguir apresenta-se um sumário completo da tabela ANOVA. Observe que SQ T ot SQ T rat + SQ Bl + SQ Res. 17

18 18

19 Estimação de mínimos quadrados ˆµ = ȳ.. ˆτ i = kq i λa, i = 1, 2,..., a No exemplo em questão tem-se ˆτ 1 = 9/8, ˆτ 2 = 7/8, ˆτ 3 = 4/8 e ˆτ 4 = 20/8. Exercícios recomendados do capítulo 4: a 19

20 Exercício 4.38: Um experimentador deseja comparar 4 tratamentos em blocos de tamanho 2. Determine um EBIB para este experimento, usando 6 blocos. Solução: ( 4 Temos a = 4 e k = 2. Fazendo b = = 6, 2 implica que r = 3 (número de vezes que cada tratamento ocorre). Nesse caso λ = r(k 1) a 1 = = 1. Uma solução é dada por Trat. Bl. 1 Bl. 2 Bl. 3 Bl. 4 Bl. 5 Bl. 6 1 X X X 2 X X X 3 X X X 4 X X X ) 20

21 Exercício 4.39: Um experimentador deseja comparar 8 tratamentos em blocos de 4 observações. Determine um EBIB para esse experimento com λ = 3. Temos a = 8, k = 4 e λ = 3. Nesse caso o número de blocos deve ser o dobro do número de vezes que cada tratamento ocorre (ar = bk) e, como λ = r7 3 segue que uma escolha adequada para r é 7, levando b = 14. Não saia tentando montar a tabela por sua conta, pois possivelmente, no final, você perceberá que algum dos parâmetros fixados terá sido violado. Em geral exitem tabelas prontas para serem selecionadas. A partir dos capítulos 6,7 e 8 será, de fato, possível, propor um EBIB com essas condições. A seguir apresentamos um plano possível para essas condições. 21

22 x x x x x x x 2 x x x x x x x 3 x x x x x x x 4 x x x x x x x 5 x x x x x x x 6 x x x x x x x 7 x x x x x x x 8 x x x x x x x 22

23 Exercício 4.42: Verifique que um EBIB com parâmetros a = 8, r = 8, k = 4 e b = 16 não existe. Observe que essas condições implicariam r(k 1) λ = a 1 = 8(3) 7 = 24 7 que não é um número inteiro. Logo, um experimento em blocos incompletos balanceado com esses parâmetros não existe. 23

24 Exercício(s) do capítulo 4 para entregar na aula do dia 20/10. aluno nome exercícios 1 Aline 33 2 Andre 29 3 Carolina 28 4 Felipe 23 5 Fernanda 21 6 Igor 20 7 Laura 20 8 Mariana 21 9 Michele Pedro Sandra Veronica Priscila Dimas Thaís 33 24