09 de setembro de 2013

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1 Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agronômica ESALQ/USP 09 de setembro de 2013

2 Conteúdo

3 Contexto Quando o F da ANOVA está sendo utilizado para testar diferenças entre I tratamentos, a seguinte hipótese de nulidade é formulada: ou, alternativamente H 0 : t 1 = t 2 =... = t I = 0 H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ I

4 Contexto Entretanto, quando I > 2, algumas comparações especícas de tratamentos podem ser interesse. Nesse contexto, os procedimentos de comparações múltiplas (PCM) são apropriados, desde que tratamento seja um fator qualitativo, e servem como um complemento do F.

5 Contexto Figura : diferença mínima signicativa Fonte: Adaptado de Vieira (1989)

6 Tipos de comparações de ou s para contrastes de podem ser de dois tipos: Planejadas ou pré-estabelecidas Não ou post-hoc

7 de Uma combinação linear de cujos coecientes somam zero constitui um contraste de, denotado por sendo que I i=1 a i = 0. C = a 1 µ 1 + a 2 µ a I µ I = I a i µ i, i=1

8 Exemplo Considere o exemplo (aula4) de quatro cultivares de milho ensaiados em DIC, cujas de produtividade (kg/100m 2 ) foram: ˆµ 1 = 23, ˆµ 2 = 27, ˆµ 3 = 26 e ˆµ 4 = 31. Dentre vários outros, os seguintes contrastes podem ser formados: C 1 = µ 1 µ 2 C 2 = µ 3 µ 1 C 3 = 1(µ µ 2 ) µ 3 Verique se estes são realmente contrastes de.

9 Exemplo As estimativas desses contrastes são: Ĉ 1 = ˆµ 1 ˆµ 2 = = 4 Ĉ 2 = ˆµ 3 ˆµ 1 = = 3 Ĉ 3 = 1(ˆµ ˆµ 2 ) ˆµ 3 = 1 ( ) 26 = 1 2

10 ortogonais Dois contrastes entre são ditos serem ortoginais quando C 1 = I i=1 a iµ i C 2 = I i=1 b iµ i ˆ Cov(Ĉ 1, Ĉ 2 ) = 0. Mas qual é a nalidade de formar contrastes ortogonais?

11 Covariância entre contrastes se ˆ Cov(Ĉ 1, Ĉ 2 ) = Cov(a 1ˆµ a I ˆµ I, b 1ˆµ b I ˆµ I ) = σ 2 = 1 σ2 =... = 2 σ2 = σ 2 (homocedasticidade) I r 1 = r 2 =... = r I = r ( balanceado) então: ˆ Cov(Ĉ 1, Ĉ 2 ) = 0 I a i b i = 0. i=1 I a i b i ˆσ 2 i i=1 r i

12 Observações Três ou mais contrastes são ditos serem mutuamente ortogonais se todos eles forem ortoginais aos pares. Para I, vários grupos de contrastes mutuamente ortogonais podem ser formados, porém cada grupo será constituído de I 1 contrastes. O uso de contrastes ortogonais é recomendado, mas obrigatório!

13 Exercício Para os 3 contrastes do exemplo anterior (milho), verique quais pares são ortogonais.

14 Variância de um contraste A variância da estimativa de um contraste (Ĉ ) de é dada por: se Var(Ĉ) = Var(a 1ˆµ 1 + a 2ˆµ a I ˆµ I ) = σ 2 = 1 σ2 =... = 2 σ2 = σ 2 (homocedasticidade) I r 1 = r 2 =... = r I = r ( balanceado) então: Var(Ĉ) = σ2 r I i=1 Obs.: em se tratando da ANOVA, em geral ˆσ 2 = QMRes. a 2 i I i=1 a 2 i r i σ i

15 Variância de um contraste Calcule a estimativa da variância do contraste C 3 do exemplo considerando r = 5, ˆσ 2 = QMRes = 7, 00.

16 Soma de Quadrados de um contraste A soma de quadrados (SQ) da estimativa de um contraste (Ĉ ) de é dada por: SQ(Ĉ) = (Ĉ)2 I a 2 i i=1 r i

17 Tipos de erro Ao tomar uma decisão num de hipóteses estamos sujeitos a dois dois tipos de erro: Erro : ocorre quando se rejeita uma hipótese H 0 verdadeira. A probabilidade de cometer esse erro é denotada por α. Erro I: ocorre quando se aceita uma H 0 que é falsa. A probabilidade de cometer esse erro é denotada por β.

18 Taxas de erro Em se tratando de comparações múltiplas, isto é, vários s sendo realizados com o mesmo conjunto de dados, dois tipos de taxa de erro são importantes: Taxa de erro da comparação (TEC): o α individual das comparações de. Taxa de erro da família (TEF): a probabilidade de erroneamente rejeitar ao menos uma H 0 quando duas ou mais comparações são feitas. A relação entre TEC e TEF é expressa pelas equações: TEF = 1 (1 TEC) N TEC = 1 (1 TEF ) 1/N sendo N comparações. Obs.: para N muito grande vale a aproximação: TEF N TEC.

19 São as comparações entre ou grupos de determinadas por ocasião do planejamento da estratégia de análise dos dados, isto é, os contrastes são denidos a priori, sugeridos pelos dados. É recomendável que os contrastes sejam mutuamente ortogonais, de modo que as comparações tenham sobreposição de informações. Há duas formas de realizar comparações : Particionando a soma de quadrados de tratamento Usando o t para duas amostras independentes

20 Particionando a SQ(Trat) Com I tratamentos, I 1 contrastes mutuamente ortogonais podem ser construídos, cada um associado a 1 grau de liberdade, de tal forma que: SQ(Trat) = SQ(Ĉ 1 ) + SQ(Ĉ 2 ) SQ(Ĉ I 1) O F da ANOVA pode então ser utilizado para testar o constraste C 1 (por exemplo), pois SQ(Ĉ 1 ) F (1, ν) QMRes em que ν é graus de liberdade do resíduo.

21 Particionando a SQ(Trat) Exercício em sala Com o exemplo do milho, desdobrar a SQ(Trat) em contrastes mutuamente ortogonais e realizar o F para cada um deles.

22 Teste t-student Os contrastes planejados podem também ser testados com t, pois Ĉ t ν Var(Ĉ) ˆ em que ν é graus de liberdade do resíduo. O contraste C será considerado nulo com TEC = α quando Ĉ t α Var(Ĉ) ˆ 2,ν

23 Testes post-hoc Referem-se às comparações de todos os pares de de um modo post-hoc, isto é, após análise dos dados. Os contrastes formados são geralmente ortogonais, contudo é possível controlar a TEF. Alguns dos principais s post-hoc são...

24 Teste de Scheé Pode ser utilizado para testar qualquer tipo de contraste de Tem a propriedade de manter a TEF, exigindo para isso que o F da ANOVA seja signicativo. A estatística é: S = (I 1) Var(Ĉ)F ˆ α (I 1, ν) em que I é tratamentos do e ν é número de graus de liberdade do resíduo. A hipótese H 0 : C = 0 é rejeitada ao nível α quando: Ĉ S

25 Teste de LSD protegido de Fisher Baseia-se na diferença mínima signicatica (least square dierence). Apenas para testar contrastes envolvendo duas, do tipo: C = µ i µ j. Deve ser aplicado quando o F da ANOVA é signicativo (método protegido). A TEF é controlada. A estatística é: ( ) 1 LSD = t α 2,ν QMRes + 1 r i r j A hipótese H 0 : µ i = µ j será rejeitada ao nível α quando Ĉ LSD

26 Teste de Bonferroni Baseia-se na desigualdade: TEF N TEC. Apropriado para testar contrastes entre duas. Procedimento idêntico ao LSD, mas agora controlando a TEF por meio de α = TEF N sendo N comparações aos pares. A hipótese H 0 : µ i = µ j será rejeitada ao nível α quando ˆµ i ˆµ j t α 2,ν ( ) 1 QMRes + 1 r i r j

27 Teste HSD de Tukey HSD: honestly signicant diference (diferença honestamente signicativa). Apropriado para testar contrastes entre duas. Baseia-se na amplitude total estudentizada (q), que é um valor de t ajustado para mais de duas amostras. A TEF é controlada. A estatística é: 1 HSD = q α,i,ν Var(Ĉ) ˆ 2 sendo I tratamentos.

28 Teste HSD de Tukey Para um contraste do tipo Ĉ = ˆµ i ˆµ j, tem-se que: HSD = q α,i,ν QMRes Sendo r i r j, o procedimento é aproximado e referido como método Tukey-Kramer, e a estatística HSD passa à: ( ) QMRes 1 HSD = q α,i,ν r i r j r

29 Teste de Duncan Apropriado para comparações entre duas. Também é baseado na amplitude total estudentizada, com a diferença que o valor tabelado é único em todas as comparações, mas leva em conta o número (h) de ordenadas abrangidas pelo contraste. A comparação das extremas é feita de forma mais sensível que com o Tukey. Não controla a TEF. A estatística é análoga àquela do Tukey, substituíndo o valor único q α,i,ν por z α,h,ν, o valor tabelado por Duncan para comparar a uma distância h.

30 Teste de Dunnet Apropriado para comparações aos pares das de tratamentos com a média de um tratamento controle ou munha. Se I tratamentos são ensaiados e µ 1 é a verdadeira média do controle, então as hipóteses do tipo H 0 : µ 1 µ i, i = 2, 3,..., I serão rejeitadas quando µ 1 µ i d α,i ˆ,ν Var(ˆµ 1 ˆµ i ), i = 2, 3,..., I. sendo d α,i,ν o valor tabelado.

31 Números diferentes de repetições Quando repetições por tratamento é o mesmo, isto é, r 1 r 2... r I, muitos softwares estatísticos utilizam uma média harmônica d repetições (r H ) no cálculo das estatísticas, tal que r H = I I 1 i=1 r i

32 As estatísticas podem ser utilizadas para constuir intervalos de para os contrastes ao nível 100(1 α)% de. Exemplo, a estatistica HSD de Tukey pode ser utilizada para armar ( ) P = Ĉ q α,i,ν 2 1 Var(Ĉ) ˆ C Ĉ + q α 2 2,I,ν 1 Var(Ĉ) ˆ 2 = 1 α

33 adequado Não há uma regra geral. No caso de comparações... t-student. No caso de comparações, deve-se considerar a seguinte escala crescente de rigor: LSD, Duncan, Tukey, Bonferroni, Scheé. Precisão experimental (CV%)

34 Testes post-hoc podem ser utilizados para determinar o número necessário de. Exemplo: a estatística HSD de Tukey QMRes HSD = q α,i,ν r pode ser utilizada para obter r q2 α,i,ν QMRes (HSD) 2

35 1 Utilizando o resultado da ANOVA do exemplo de milho (aula4.pdf), compare as duas-a-duas com os s LSD, Tukey e Bonferroni (use α = TEC = 0, 05). Compare os resultados. 2 Verique se há diferenças (α = 0, 05) entre as do cultivar D vs os demais. 3 da página 13 do arquivo aula6.pdf.

36 múltiplas na análise Arquivo aula6.pdf (