Análise de Variância com mais de duas variáveis independentes (mais de dois fatores) Na aula do dia 17 de outubro (aula #08) introduzimos

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1 Análise de Variância com mais de duas variáveis independentes (mais de dois fatores) Na aula do dia 17 de outubro (aula #08) introduzimos a técnica de Análise de variância (ANOVA) a um fator, que resulta num teste F cuja hipótese nula é a igualdade das médias para a condições diferentes (variável independente). As suposições são de que a variável resposta (dependente) tem distribuição normal e as variâncias são iguais sob as diferentes condições. Podemos ter amostras independentes (experimento entre participantes ou como chamamos em estatística: experimento completamente aleatorizado) ou amostras relacionadas (experimento intraparticipantes ou como chamamos em estatística experimentos em blocos completos aleatorizados). 1

2 Na ANOVA a um fator (uma variável independente) com amostras independentes, os dados são representados da seguinte forma condição 1 condição 2... condição a y 11 y y 1a y 21 y y 2a. y n1 1 y n y na a y ij representa a i-ésima observação sob a j- ésima condição (variável independente), i = 1, 2,..., n j, n j - é o número de observações sob a j-ésima condição e j = 1, 2,..., a. 2

3 Na ANOVA a um fator a hipótese nula é dada por { H0 : µ 1 = µ 2 =... = µ a H 1 : pelo menos uma das médias é diferente das demais µ j corresponde à média do j-ésimo grupo. Variância entre grupos: corresponde à variação devida às condições que definem os grupos. Variância intra-grupos: corresponde à variação dentro de cada grupo. Na ANOVA a um fator com amostras independentes a variação total é decomposta em duas parcelas correspondentes à variação entre grupos e à variação intra-grupos. SQ T ot }{{} variação total = SQ entre }{{} variação entre grupos + SQ dentro }{{} variação dentro dos grupos Se a hipótese nula de que todas as médias são iguais, isto é, de que não há variação entre grupos, é verdadeira, segue que a variação dentro dos grupos tende a ser igual à variação total. 3

4 Notação: SQ T ot : variação total, SQ entre : variação entre grupos e SQ dentro : variação intra grupos. QM T ot = SQ T ot : é uma média da variação total. N 1 N = n 1 + n n a é o número total de observações no problema. Se n j = n para todo j, teremos N = an. QM entre = SQ entre : é uma média da variação a 1 entre grupos, chamada quadrado médio entre grupos. a é o número de grupos (condições) no problema. QM dentro = SQ dentro : é uma média da variação N a intra grupos, chamada quadrado médio intra grupos ou quadrado médio residual. 4

5 A estatística do teste realizado pela ANOVA é dada pela razão dos quadrados médios entre grupos e intra grupos, a saber, F = QM entre QM dentro. Se a hipótese nula é verdadeira, é possível mostrar que a estatística F tem uma distribuição F de Snedecor com a 1 e N a graus de liberdade no numerador e denominador, respectivamente. Se a hipótese nula é verdadeira, espera-se que a razão entre os quadrados médios entre e dentro dos grupos seja pequena. Em geral, rejeitaremos H 0 quando os valores amostrais de F forem grandes. 5

6 Usando um nível de significância α, a Região Crítica do teste da ANOVA será a cauda superior da distribuição F a 1,N a de área α. Na ANOVA é comum apresentar os resultados usando uma tabela chamada tabela ANOVA. Esta tabela contém as seguintes informações: fontes de variação, graus de liberdade, quadrados médios e a razão F. fonte de variação SQ gl QM F entre grupos SQ entre a 1 QM entre F = QM entre QM dentro dentro dos grupos (residual) SQ dentro N a QM dentro - total SQ T ot N QM entre = SQentre a 1 e QM Dentro = SQ dentro N a Se o valor de F for grande, H 0 será rejeitada. 6

7 Amostras relacionadas: experimento intraparticipantes: Como fica? Em Estatística o nome usado para esse tipo de situação é Experimento a um fator em Blocos Completos Aleatorizados. No Bioestat usa-se a seguinte função para esse caso: Estatisticas, Análise da Variância, ANO- VA:dois critérios. Nesse caso as amostras não são independentes e além da variação entre grupos e dentro do grupos, passamos a poder medir uma variação inerente a cada participante (variação de linha, também chamada variação devido aos blocos). Observe que agora as amostras sob cada condição terão tamanhos iguais. 7

8 ind. cond. 1 cond cond. a 1 y 11 y y 1a 2 y 21 y y 2a. n y n1 y n2... y na a representa o número de condições diferentes. n representa o número de observações sob cada condição. N = an é o número total de observações. y ij representa a i-ésima observação sob a j- ésima condição, i = 1, 2,..., n e j = 1, 2,..., a. 8

9 Na ANOVA a um fator com amostras relacionadas a variação total é decomposta em três parcelas correspondentes à variação entre grupos, a variação inerente a cada participante (variação dos blocos) e a variação residual. SQ T ot }{{} variação total = SQ entre }{{} variação entre grupos + SQ Bl }{{} variação do indivíduo + SQ res }{{} variação residual Notação: SQ T ot : variação total, SQ entre : variação entre grupos, SQ Bl - variação nos blocos (individual) e SQ dentro : variação residual (dentro de cada grupo). QM T ot = SQ T ot : é uma média da variação total. N 1 N é o número total de observações no problema. 9

10 QM entre = SQ entre : é uma média da variação a 1 entre grupos, chamada quadrado médio entre grupos. a é o número de grupos (condições) no problema. QM Bl = SQ Bl : é uma média da variação dos n 1 blocos, chamada quadrado médio dos blocos. n é o número de observações (igual) sob cada condição. SQ dentro QM dentro = : é uma média da (a 1)(n 1) variação residual, chamada quadrado médio residual ou intra grupos. 10

11 A estatística do teste realizado pela ANOVA nesse caso é dada pela razão dos quadrados médios entre grupos e residual, a saber, F = QM entre QM dentro. Se a hipótese nula é verdadeira, é possível mostrar que a estatística F tem uma distribuição F de Snedecor com a 1 e (a 1)(n 1) graus de liberdade no numerador e denominador, respectivamente. Observe que apesar da aparência da estatística F ser a igual em ambos os casos, o cálculo de QM Dentro é diferente em ambos os casos. Se a hipótese nula é verdadeira, espera-se que a razão entre os quadrados médios entre e dentro dos grupos seja pequena. Em geral, rejeitaremos H 0 quando os valores amostrais de F forem grandes. 11

12 A tabela ANOVA correspondente a esse caso é dada por fonte de variação SQ gl QM F entre grupos SQ entre a 1 QM entre F = QM entre QM dentro blocos (individual) SQ Bl n 1 QM Bl dentro dos grupos (residual) SQ dentro (a 1)(n 1) QM dentro total SQ T ot N 1 QM entre = SQ entre a 1, QM Dentro = SQ dentro (a 1)(n 1) Se o valor de F for grande, H 0 será rejeitada. O Bioestat tem essa função. Estatísticas, Análise da Variância, ANOVA: dois critérios. 12

13 Cuidado: toda vez que as medidas forem repetidas para as mesmas unidades amostrais é fundamental rodar a ANOVA adequada, pois, caso contrário, a variação dentro dos grupos poderá ficar inflacionada acarretando na não rejeição de H 0 um maior número de vezes por conta da variação residual inflacionada, ou seja, aumentando a chance de cometer o erro tipo II. Se as amostras forem relacionadas, ou seja, se for um experimento intra-participantes, rode o a ANOVA adequada. No Bioestat isso corresponde a rodar o caso ANOVA a dois critérios. 13

14 Na aula de hoje veremos uma extensão da A- NOVA: ANOVA com mais de um fator (mais de uma variável independente) nas seguintes situações: (S1) dois fatores inter participantes (experimento completamente aleatorizado); (S2) dois fatores intra participantes (experimento em blocos completos aleatorizado); (S3) dois fatores um inter e um intra participantes. (experimento hierárquico a dois estágios). O mais importante aqui é o princípio por trás de cada uma dessas situações que é a decomposição da variação total dos dados em parcelas devidas a cada um dos fatores e possíveis interações entre fatores mais a variação que sobre chamada variação residual. 14

15 Todas as situações levarão a uma tabela ANO- VA similar às já estudadas na aula #08, incluindo mais linhas na tabela devido à presença de mais fontes de variação. Vamos começar com o caso em que há duas variáveis independentes A e B e as amostras são independentes sob cada condição do experimento. Se a variável A admite a níveis e, a B admite b níveis, teremos ao todo ab combinações de níveis de tratamento. 15

16 Veja na figura a seguir, como é o planejamento de uma situação como essa na qual as variáveis independentes tem duas respostas cada. Observe que para cada combinação de condições, os grupos investigados são independentes. 16

17 Na situação mais simples temos a = 2 e b = 2 tal que o número de combinações possíveis é 2 2 = 4. Veja o exemplo a seguir. EXEMPLO 1: Os dados a seguir referem a notas finais para cada participante em quatro condições distintas: revisão na sala de estar ou na sala do exame, exame na sala de estar ou na sala do exame. Suponha que os quatro grupos seja independentes (experimento interparticipantes). A - sala do exame: estar ou de exame B - sala da revisão: estar ou de exame Variável observada: desempenho final na avaliação após o processo de revisão. 17

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19 Nesse primeiro momento vamos supor que temse 4 grupos diferentes de 20 participantes: ao todo N = 80 participantes distribuídos aleatoriamente em 4 grupos de 20. A variação total SQ T ot aqui será decomposta em 4 parcelas, a saber, SQ A - variação devido à sala do exame, SQ B - variação devido à sala da revisão, SQ AB - variação devido a uma interação entre sala do exame e sala da revisão e, SQ Res - variação residual. SQ T ot }{{} N 1=abn 1 = SQ A }{{} a 1 + SQ B }{{} b 1 + SQ AB }{{} (a 1)(b 1) + SQ Res }{{} ab(n 1) 19

20 A tabela ANOVA conterá as linhas de variação devido ao fator A, ao fator B, ao fator de interação AB mais a variação residual, que juntas dão a variação total. fonte de variação SQ gl QM F A SQ A a 1 QM A F A = QM A QM Res B SQ B b 1 QM B F B = QM B QM Res AB SQ AB (a 1)(b 1) QM AB Residual SQ Res ab(n 1) QM Res F AB = QM AB QM Res total SQ T ot abn 1 n é o número de observações sob cada combinação de níveis dos fatores (variáveis independentes). No exemplo sob investigação n = 20, a = b = 2, as variáveis independentes são sala do exame(estar ou exame) e sala da revisão (estar ou exame). A variável dependente é o desempenho (nota) do exame. 20

21 As hipóteses de interesse aqui são investigar se os fatores A (sala do exame), B (sala da revisão) e de interação AB sala do exame com sala de revisão exercem algum efeito sobre a média do desempenho. Nos testes da ANOVA nesse caso, a hipótese nula é a de que esses fatores não exercem nenhum efeito sobre a média, contra a alternativa de que exercem algum efeito. Sob H 0 as estatísticas de teste seguem uma distribuição F com os seguintes graus de liberdade F A F a 1,ab(n 1), F B F b 1,ab(n 1) e F AB F (a 1)(b 1), abn(n 1). 21

22 Rejeitaremos a hipótese nula de ausência de efeito sobre a média em relação a cada fator se o valor amostral da estatística de teste for grande. Vamos ver como realizar essa ANOVA usando o Bioestat. Estatísticas, ANOVA fatorial a b. Nesse caso, o Bioestat demanda que entremos com os dados de forma isolada conforme a tela a seguir. 22

23 Observe que nessa entrada de dados os tratamentos correspondem ao tipo de sala do exame e os blocos correspondem ao tipo de sala da revisão. tratamento 1: sala do exame em sala de estar, tratamento 2: sala do exame em sala do exame. Bloco A: sala da revisão em sala de estar, Bloco B: sala da revisão em sala do exame. 23

24 O resultado obtido está na tela a seguir. Da saída do Bioestat, verificamos que ao nível de significância de 5%, os efeitos de sala da revisão (blocos) e de interação de sala da revisão com sala de exame são significativos. 24

25 Para interpretar os efeitos dos fatores sobre a média, um gráfico de médias é sempre útil. A seguir apresentamos gráficos ilustrando os efeitos principais de sala do exame (que foi não significativo) e de sala de revisão. Observe que as médias são calculadas com base nas 40 notas sob cada nível do fator principal. 25

26 Para entender melhor o efeito de interação que foi significativo para esses dados, observe o gráfico de médias a seguir. Agora as médias foram calculadas com base nos 4 grupos de 20, sob as diferentes combinações dos níveis dos fatores. Percebe-se que se o exame foi feito na sala do exame, a média parece sofrer um efeito positivo quando a revisão é feita também na sala do exame; ao passo que se o exame é feito na sala de estar, a média parece sofrer um efeito negativo se a revisão é feita na sala do exame. 26

27 Quando o efeito de um fator varia com os níveis do outro fator, dizemos que há interação. Nos gráficos ilustrativos, os perfis tendem a ser paralelos, na ausência de interação. A figura a seguir ilustra o gráfico típico quando não há interação num experimento

28 A seguir apresentam-se gráficos que ilustram a presença de interação em experimentos

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30 Vamos supor agora que os grupos de 20 são os mesmos, ou seja que foram realizados 4 e- xames para o mesmo grupo de 20 pessoas em cada uma das 4 combinações. Ao todo temos um grupo de N=20 participantes testados em 4 condições distintas. O que está ocorrendo agora, é que há uma nova fonte de variação a ser considerada na decomposição da soma de quadrados total que corresponde à variação individual que costumamos chamar de variação devida ao bloco indivíduo. 30

31 Veja na figura o formato dos dados nesse caso numa situação em que as respostas tem duas categorias cada. Observe que são os mesmos participantes sob cada combinação de condições. 31

32 Suponha que seja essa a situação dos dados do exemplo 1. 32

33 Para cada linha da tabela de dados, temos um mesmo participante e, portanto, fará sentido, quantificar a variabilidade referente a cada indivíduo (linha) da tabela que denotaremos por SQ Bl. Nesse caso, a decomposição da variação total inclui a parcela SQ Bl referente à variação devida à cada participante. Isso, de fato, irá reduzir o valor de SQ Res, pois as outras variações permanecem as mesmas. SQ T ot = SQ A +SQ B +SQ AB +SQ Bloco +SQ Res Aqui teríamos a segunda situação na qual estamos investigando duas condições num experimento intraparticipantes. 33

34 Uma tabela ANOVA para esse caso é dada por fonte de variação SQ gl QM F Bloco SQ Bl n 1 QM Bl A SQ A a 1 QM A F A = QM A QM Res B SQ B b 1 QM B F B = QM B QM Res AB SQ AB (a 1)(b 1) QM AB Residual SQ Res (ab 1)(n 1) QM Res F AB = QM AB QM Res total SQ T ot abn 1 34

35 A terceira possibilidade é quando um dos fatores é interparticipantes e, o outro intra-participantes. Suponha que na condição de exame tenhamos apenas 20 pessoas no grupo em sala do exame e 20 pessoas em sala de estar. Porém, suponha que para cada um desses grupos realizamos dois exames: um deles com revisão na mesma sala em que o exame foi realizado e, o outro com a revisão em sala diferente da de exame. Ao todo temos N = 40 participantes em dois grupos de 20 e a variável sala do exame é interparticipantes, mas sala de revisão é intra participantes. 35

36 A tabela a seguir ilustra a forma dos dados nesse caso simples em que as duas variáveis sob investigação tem duas categorias de resposta. Observe que os participantes são os mesmos para ambos os níveis de sala de revisão (B), fixado o nível da sala do exame. Mas, os participantes são diferentes, quando variamos o nível do fator sala do exame (A). 36

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38 Nesse último caso, a decomposição da variação total pode ser da forma: SQ T ot }{{} abn 1 = SQ }{{ A + SQ }} B.(A) {{} a 1 a(b 1) + SQ Res }{{} ab(n 1) A tabela ANOVA desse caso envolve fonte de variação SQ gl QM F A SQ A a 1 QM A F A = QM A QM Res B dentro de A SQ B.(A) a(b 1) QM B Residual SQ Res ab(n 1) QM Res F B = QM B QM Res total SQ T ot abn 1 38

39 Observação: A medida que o modelo torna-se mais complexo, isto é, inclui mais variáveis independentes a modelagem também fica mais complexa e, neste caso, o Bioestat torna-se inadequado para realizar as análises quantitativas. Se você se deparar com um problema mais complexo, a recomendação é consultar um especialista ou usar um programa mais sofisticado do que o Bioestat, por exemplo o SPSS (comercial) ou o R (domínio público). 39

40 Exemplo 2: Dr. Kid está interessado em investigar se meninos e meninas diferem na habilidade de perceber cores. Ele acha que as meninas são melhores do que meninos na percepção de cores desde os 5 anos de idade. Ele testa dois grupos de idades diferentes (5 e 11 anos) por intermédio de um teste padrão de percepção de cores e compara o desempenho (notas de 0 a 10) de meninos e meninas. Os dados obtidos estão na tabela a seguir. 40

41 meninos de 5 meninas de 5 meninos de 11 meninas de Qual é a situação nesse caso? 2. Quais são as variáveis dependentes e independentes? 3. Entre com os dados no Bioestat e realize uma ANOVA. 4. Existem efeitos significativos de idade, gênero ou interação idade e gênero? Em caso afirmativo, descreva os efeitos por meio de um gráfico de médias. 41

42 1. Observe que são 4 grupos diferentes de 12 crianças nas seguintes condições: meninos de 5 anos, meninas de 5 anos, meninos de 11 anos e meninas de 11 anos. Logo, trata-se da situação 1: duas variáveis independentes ao ANOVA a dois fatores num experimento completqamente aleatorizado. 2. Variáveis independentes: idade - 5 ou 11 anos e gênero: menino ou menina. Variável dependente: medida quantitativa da habilidade de perceber cores. 42

43 3. Entramos com os dados: 43

44 E, obtemos Ao nível de significância de 5% verificamos que todos os efeitos são significativos, a saber, de gênero, de idade e de interação gênero e idade. 44

45 A seguir apresentamos os gráficos de médias para interpretar os efeitos dos fatores. Quanto aos efeitos principais percebe-se um efeito positivo na média quando: - o gênero varia de menino para menina e, - a idade varia de 5 para 11 anos (de menor amplitude). 45

46 Para interpretar o efeito significativo de interação gênero versus idade, o gráfico a seguir será útil. Vemos que em ambas as idades o efeito é positivo na média, mas na idade menor (5 anos) a variação na média de menino para menina é de menor intensidade do que na idade de 11 anos. 46

47 Referências bibliográficas: (1) Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia. Penso. (2) Triola. Introdução à Estatística. LTC. (3) Montgomery, D. C. - Design and Analysis of Experiments. Wiley. (4) Busssab e Morettin - Estatística Básica. Editora Saraiva. 47