9 Correlação e Regressão. 9-1 Aspectos Gerais 9-2 Correlação 9-3 Regressão 9-4 Intervalos de Variação e Predição 9-5 Regressão Múltipla

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1 9 Correlação e Regressão 9-1 Aspectos Gerais 9-2 Correlação 9-3 Regressão 9-4 Intervalos de Variação e Predição 9-5 Regressão Múltipla 1

2 9-1 Aspectos Gerais Dados Emparelhados há uma relação? se há, qual é a equação? usar a equação para predição 2

3 9-2 Correlação 3

4 Definição Correlação existe entre duas variáveis quando uma delas está, de alguma forma, relacionada com a outra. 4

5 Suposições 1. A amostra de dados emparelhados (x,y) é uma amostra aleatória. 2. Os pares de dados (x,y) tem uma distribuição normal bivariada. 5

6 Definição Diagrama de Dispersão é um gráfico de dados amostrais emparelhados (x,y) com o eixo x horizontal e o eixo y vertical. Cada par individual (x,y) é plotado como um ponto. 6

7 Diagrama de Dispersão 7

8 Correlação Linear Positiva y y y (a) Positiva x (b) Positiva Forte x (c) Positiva Perfeita x Figura 9-1 Diagramas de Dispersão 8

9 Correlação Linear Negativa y y y (d) Negativa x (e) Negativa Forte x (f) Negativa Perfeita x Figura 9-1 Diagramas de Dispersão 9

10 Sem Correlação Linear y y (g) Não há Correlação x (h) Correlação não-linear x Figura 9-1 Diagramas de Dispersão 10

11 Notação S xx = Σ(x x) - 2 = (Σx 2 ) n( x - ) 2 S yy = Σ(y y) - 2 = (Σy 2 ) n( y - ) 2 S xy = Σ (x x)(y - y) - = (Σxy) n( x - )( y - ) 11

12 Definição Coeficiente de Correlação Linear r mede o grau de relacionamento linear entre os valores emparelhados x e y em uma amostra r = S xy (S xx ) (S yy ) Fórmula 9-1 Calculadoras podem fornecer r ρ (rô) é o coeficiente de correlação linear de todos os dados emparelhados da população. 12

13 Notação para o Coeficiente de Correlação Linear n Σ número de pares de dados presentes denota a adição dos itens indicados. Σx denota a soma de todos os valores de x. Σx 2 (Σx) 2 Σxy r ρ indica que devemos ao quadrado cada valor de x e somar os resultados. indica que devemos somar os valores de x e elevar o total ao quadrado. indica que devemos multiplicar cada valor de x pelo valor correspondente de y e somar então todos estes produtos. representa o coeficiente de correlação linear para uma amostra. representa o coeficiente de correlação linear para uma população 13

14 Interpretando o Coeficiente de Correlação Linear Se o valor absoluto de r excede o valor na Tabela A - 6, concluímos que há correlação linear significativa. Caso contrário, não há evidência suficiente para apoiar a existência de uma correlação linear significativa. 14

15 TABELA A-6 Valores Críticos do Coeficiente de Correlação de Pearson r n α =.05 α =.01,950,878,811,754,707,666,632,602,576,553,532,514,497,482,468,456,444,396,361,335,312,294,279,254,236,220,207,196,999,959,917,875,834,798,765,735,708,684,661,641,623,606,590,575,561,505,463,430,402,378,361,330,305,286,269,256 15

16 Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear r r 1 2. O valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das variáveis são convertidos para uma escala diferentes. 3. O valor de r não é afetado pela escolha de x ou y. Permutando todos os valores de x e y, o valor de r permanecerá inalterado. 4. r mede a intensidade, ou grau, de um relacionamento linear. 16

17 Erros Comuns Envolvendo Correlação 1. Causalidade: É errado concluir que correlação implica causalidade. 2. Médias ou Taxas: Taxas ou médias suprimem a variação individual e podem inflacionar o coeficiente de correlação. 3. Linearidade: Pode haver alguma relação entre x e y mesmo quando não há correlação linear significativa. 17

18 Erros Comuns Envolvendo Correlação FIGURA Distância (pés) Tempo (segundos) Diagrama de dispersão da distância acima do solo e do tempo para um objeto lançado para cima 18

19 Teste de Hipótese Formal Para determinar se existe uma correlação linear significativa entre duas variáveis Dois métodos Ambos métodos utilizam: H 0 : ρ = 0 (não há correlação linear significativa) H 1 : ρ 0 (correlação linear significativa) 19

20 Método 1: Estatística de Teste é t (segue formato apresentado anteriormente) Estatística de Teste: t = r 1 - r 2 n -2 Valores Críticos: utilizar a Tabela A-3 com graus de liberdade = n -2 20

21 Método 1: Estatística de Teste é t (segue formato apresentado anteriormente) Figura

22 Método 2: Estatística de Teste é r (exige menos cálculos) Estatística de teste: r Valores críticos: Consulte a Tabela A-6 (não há graus de liberdade) Rejeitar ρ = 0 Não rejeitar ρ = 0 Rejeitar ρ = 0-1 Figura 9-5 r = - 0,811 0 r = 0,811 1 Valor amostral: r = 0,828 22

23 FIGURA 9-3 Teste para a Correlação Linear Início Seja: H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 Escolha um nível de significância l α Calcule r com a Fórmula 9-1 MÉTODO 1 MÉTODO 2 A estatística de teste é r t = 1 - r 2 n -2 Os valores críticos de t estão na Tabela A-3, ( n -2 graus de liberdade) A estatística de teste é r Os valores críticos de r encontram-se na Tabela A-6 Se o valor absoluto da estatística de teste excede os valores críticos, rejeitar H 0 : ρ = 0 Caso contrário, não rejeitar H 0 Se H 0 é rejeitada, concluir que há Correlação linear significativa. Se H 0 não é rejeitada, então não há evidência suficiente para concluir pela existência de uma correlação linear. 23

24 Há correlação linear significativa? Dados do Projeto do Lixo: Análise de plástico descartado x Plástico (kg) y Tamanho da residência 0, , , ,284 n = 8 α = 0,05 H 0 : ρ = 0 6 H 1 :ρ 0 0, , , ,383 5 Estatística de teste é r = 0,842 24

25 Há correlação linear significativa? n = 8 α = 0,05 H 0 : ρ = 0 H 1 :ρ 0 Estatística de teste é r = 0,842 Valores críticos são r = - 0,707 e 0,707 (Tabela A-6 com n = 8 e α = 0,05) TABELA A-6 Valores Críticos do Coeficiente de Correlação de Pearson r n α =,05 α =,01,950,878,811,754,707,666,632,602,576,553,532,514,497,482,468,456,444,396,361,335,312,294,279,254,236,220,207,196,999,959,917,875,834,798,765,735,708,684,661,641,623,606,590,575,561,505,463,430,402,378,361,330,305,286,269,256 25

26 Há correlação linear significativa? 0,842 > 0,707, ou seja, a estatística de teste está na região crítica. REJEITAMOS, pois, H 0 : ρ = 0 (ausência de correlação) e concluímos que há correlação linear significativa entre o Peso de plástico descartado e o tamanho das residências. Rejeitar ρ = 0 Não Rejeitar ρ = 0 Rejeitar ρ = 0-1 r = - 0,707 0 r = 0,707 1 Dados amostrais: r = 0,842 26

27 Justificação para a Fórmula de r Fórmula 9-1 é desenvolvida de Σ (x -x) (y -y) r = (x, y) centróide dos pontos (n -1) s x s y 24 y x = 3 x - x = 7-3 = 4 (7, 23) da amostra 20 y - y = = II Quadrante III Quadrante (x, y) I Quadrante IV Quadrante x y = 11 FIGURA

28 Definição 9-3 Regressão Equação de Regressão Dada uma coleção de dados amostrais emparelhados, a equação de regressão y ^ = b 0 + b 1 x descreve a relação entre as duas variáveis Reta de Regressão (reta de melhor ajuste ou reta de mínimos quadrados) o gráfico da equação de regressão 28

29 Reta de Regressão em Diagrama de Dispersão 29

30 A Equação de Regressão x é a variável independente (variável preditora) ^y é a variável dependente (variável resposta) y ^= b +b x 0 1 y = mx +b b 0 = y - intercepto b 1 = inclinação 30

31 Notação para a Equação de Regressão Parâmetro Populacional Estatística Amostral y-intercepto da equação de regressão β 0 b 0 Inclinação da equação de regressão β 1 b 1 Equação da reta de regressão y = β 0 + β 1 x y ^ = b 0 + b 1 x 31

32 Suposições 1. Estamos investigando apenas relações lineares. 2. Para um dado valor de x, y é uma variável aleatória com distribuição normal (em forma de sino). Todas essas distribuições de y tem a mesma variância. E ainda, para um dado valor de x, a média da distribuição dos valores de y está sobre a reta de regressão. (Os resultados não são afetados seriamente se os desvios da normalidade e da igualdade da variância não são grandes.) 32

33 Fórmula para b 0 e b 1 Fórmula b 0 = y - b 1 x (intercepto y) Fórmula 9-3 b 1 = (S xy ) (S xx ) (coeficiente angular Calculadoras ou computadores podem determinar estes valores Fórmula

34 A reta de regressão é a que melhor se ajusta aos pontos amostrais. 34

35 Predições Ao predizer um valor de y com base em determinado valor de x Se não há uma correlação linear significativa, o melhor valor predito de y é y. 2. Se há uma correlação linear significativa, obtém-se o melhor valor predito de y substituindo-se o valor de x na equação de regressão. 35

36 FIGURA 9-7 Predizendo o Valor de uma Variável Iniciar Calcular r e testar a hipótese que ρ = 0 Há correlação linear significativa? Não Dado um valor arbitrário de uma variável, o melhor valor Predito da outra variável é sua média amostral. Sim Utilizar a equação de regressão para fazer predições. Levar o valor Dado na equação de regressão. 36

37 Diretrizes para o Uso da Equação de Regressão 1. Se não há correlação linear significativa, não use a equação de regressão para fazer predições. 2. Ao aplicar a equação de regressão para predições, mantenha-se dentro do âmbito dos dados amostrais. 3. Uma equação de regressão baseada em dados passados não é necessariamente válida hoje. 4. Não devemos fazer predições sobre uma população diferente daquela de onde provêm os dados amostrais. 37

38 Qual é a melhor predição do tamanho de uma residência que descarta 0,227 kg de plástico? Dados do Projeto Lixo: Análise de plástico descartado x Plástico (kg) y Tamanho da residência 0, , , ,284 Usando uma calculadora: b 0 = 0, , , , ,383 5 b 1 = 3,263 y = 0, ,263 (0,227) y = 1,29 Uma residência que que descarta 0,227 kg de plástico tem aproximadamente uma pessoa. 38

39 Definições Variação Marginal a quantia que uma variável varia quando a outra variável sofre uma variação de exatamente 1 unidade Outlier um ponto que está muito afastado dos demais pontos. Pontos de Influência pontos que afetam fortemente o gráfico da reta de regressão. 39

40 Resíduos e Propriedade de Resíduos Mínimos Quadrados Definições dado um par de dados amostrais (x,y), um resíduo é a diferença (y - y) ^ entre um valor amostral observado y e ^ o valor y predito com base na equação de regressão. Propriedade dos Mínimos Quadrados Uma reta verifica a propriedade dos mínimos quadrados se a soma dos quadrados dos resíduos é a menor possível. 40

41 Resíduos e a Propriedade dos Mínimos Quadrados x y y = 5 + 4x ^ FIGURA y Resíduo = 11 Resíduo = Resíduo = 7 Resíduo = -13 x 41

42 9-4 Intervalo de Variação e de Predição 42

43 Definições Desvio Total (de um particular ponto (x, y) em relação à média) é a distância vertical y - y, que é a distância entre o ponto (x, y) e a reta horizontal que passa pela média amostral y. Desvio Explicado ^ é a distância vertical y - y, que é a distância entre o valor predito y e a reta horizontal que passa pela média amostral y. Desvio não-explicado ^ é a distância vertical y - y, que é a distância vertical entre o ponto (x, y) e a reta de regressão. (A distância y - ^y também é chamada resíduo, definido na Seção 9-3.) 43

44 Figura 9-9 Desvios: Não-explicado, Explicado e Total y Desvio total (y - y) y ^ = 3 + 2x (5, 19) (5, 13) (5, 9) y = 9 Desvio não-explicado (y - y) ^ Desvio explicado (y ^ - y) x 44

45 (desvio total) = (desvio explicado) + (desvio não-explicado) ^ (y - y) = (y - y) + (y - y) ^ (variação total) = (variação explicada) + (variação não-explicada) Σ (y - y) 2 = Σ (y ^- y) 2 + Σ ^ (y - y) 2 Fórmula

46 Definição Coeficiente de determinação é o valor da variação de y que é explicado pela reta de regressão R 2 = variação explicada. variação total ou simplesmente o quadrado de r (determinado pela Fórmula 9-1, seção 9-2) 46

47 Intervalos de Predição Definição Erro-padrão da estimativa é uma medida das diferenças (ou distâncias) entre os valores amostrais y observados e os valores preditos y^ obtidos através da reta de regressão. 47

48 Erro-padrão da Estimativa s e = Σ (y - y) 2 n -2 ^ ou s e = Σ y 2 -b 0 Σ y - b 1 Σ xy n -2 Fórmula

49 Intervalo de Predição para um ^ determinado y ^ y - E < y < y + E onde E = t α /2 s e n (x 0 x ) 2 S xx x 0 representa o valor dado de x t α /2 tem n - 2 graus de liberdade 49

50 9-5 Regressão Múltipla Definição Equação de Regressão Múltipla Um relacionamento linear entre uma variável dependente y e duas ou mais variáveis independentes (x 1, x 2, x 3..., x k ) ^y = b 0 + b x b x b x k k 50

51 Notação ^ y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x b k x k (Forma geral da equação de regressão múltipla estimada) n = tamanho da amostra k = número de variáveis independentes ^ y = valor predito da variável dependente y x 1, x 2, x 3..., x k são as variáveis independentes 51

52 Notação ß 0 = intercepto y, ou valor de y quando todas as variáveis preditoras são 0. b 0 = estimativa de ß 0 baseada nos dados amostrais ß 1, ß 2, ß 3..., ß k são os coeficientes das variáveis independentes x 1, x 2, x 3..., x k b 1, b 2, b 3..., b k são as estimativas amostrais dos coeficientes ß 1, ß 2, ß 3..., ß k 52

53 Definições R 2 Ajustado Coeficiente de determinação múltipla uma medida do grau de ajustamento da equação de regressão múltipla aos dados amostrais Coeficiente de determinação ajustado o coeficiente múltiplo de determinação R 2 modificado de modo a levar em conta o número de variáveis e o tamanho da amostra. 53

54 R 2 Ajustado R 2 Ajustado = 1 - (n - 1) [n - (k + 1)] (1 - R 2 ) Fórmula 9-7 onde n = tamanho da amostra k = número de variáveis independentes (x) 54

55 Determinação da Melhor Equação de Regressão Múltipla 1. Use o bom senso e considerações de ordem prática para incluir ou excluir variáveis. 2. Em vez de incluir todas as variáveis disponíveis, inclua um número relativamente pequeno de variáveis independentes (x), eliminando as variáveis independentes que não tenham influência na variável dependente. 3. Escolha uma equação que tenha um valor de R 2 ajustado com esta propriedade: Se se inclui uma variável independente adicional, o valor de R 2 ajustado não é aumentado substancialmente. 4. Para um dado número de variáveis independentes (x), escolha a equação com o maior valor ajustado R Escolha uma equação que tenha significância global, tal como determinada pelo valor P na tela do computador. 55

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