Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas

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1 Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir conceitos importantes sobre erros de medidas Erros de uma Medida Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. Matematicamente: erro = valor medido valor real A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da medição. Portanto, o erro verdadeiro de uma medida é sempre impossível de ser conhecido, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro aleatório provável, dado pelo cálculo do desvio padrão. Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, há três principais que são: 1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de medida.. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é possível de ser minimizado ou até mesmo sanado; 3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los. O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que por motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados neste assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física Valor mais provável de uma grandeza Sejam, x, x 3,..., x n as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. O valor médio desta grandeza denotado por x é definido pela média aritmética dos valores medidos, ou seja, x = (+x +x 3 + +x n ) n = 1 n n i=1 x i (1)

2 Deste modo, x representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se realizar várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor. O valor médio é o que melhor representa o valor real da grandeza Desvio das medidas No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se pode dizer que a diferença (Xi - X = δx) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando se conhece o valor mais provável, não se fala em erro, mas sim em Desvio ou Discrepância da medida (ou Incerteza). Desvio de uma medida, δx, é a diferença entre um valor medido e o valor adotado que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio). É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A esse fato denominamos dispersão. Para medir a dispersão são utilizadas algumas propriedades da série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão: Variância (s ): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância é representada por s, sendo calculada pela fórmula: s = x + x x + +(x n x) = n i=1 x i x () O denominador n 1 da variância é determinado pelos graus de liberdade. O principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto de n observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n 1 observações, o valor da última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os n graus de liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque numa estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância. Desvio padrão (σ x ): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.): σ x = x + x x + +(x n x) = n i=1 x i x (3) Para um conjunto com n medições, o desvio padrão experimental representa uma estimativa da dispersão de X i em torno do valor médio x. Isso significa que se os resultados forem bastante próximos uns dos outros, então o desvio padrão será "pequeno", e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será "grande".

3 3.1. Desvio padrão final Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma grandeza submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser representada, de modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um conjunto de medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma incerteza associada à média encontrada. Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da média leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os erros sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada. Essa incerteza residual (σ r ), no caso de instrumentos de medida, costuma vir indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que se trata da metade da menor divisão da escala. Assim, o resultado de um conjunto de medições é: x = x ± σ f em que σ f é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por: σ f = σ f + σ r Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão. Tabela 3.1. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note que aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido. Medida Comprimento (m) 1 1,4 1,40 3 1,38 4 1,41 5 1,43 6 1,4 7 1,39 8 1,40 Assim, o valor mais provável da medida, X, é dado por: X = 1 11,5 1,4 + 1,40 + 1,38 + 1,41 + 1,43 + 1,4 + 1,39 + 1,40 = = 1,4065m 8 8 X = 1,41m O desvio padrão será dado por

4 σ X = (1,4 1,41) + 1,40 1,41 + 1,38 1,41 + 1,41 1,41 + 1,43 1,41 + 1,4 1,41 + 1,39 1,41 + (1,40 1,41) 8 1 σ X = 0, , , , , , , σ X = 0,0173m σ X = 0,0m Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu respectivo erro é o seguinte: 1,41 ± 0,0 m Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores têm que ser compatíveis. 3.. Propagação de Incertezas Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a propagação de incertezas associadas a cada medida em particular. Imagine que queiramos fazer a soma de duas grandezas e x, para obter uma grandeza y. Sabemos que para expressar corretamente o resultado de nossa operação devemos relatar um valor médio e uma incerteza associada a este valor. De maneira geral, um resultado y deve ser expresso como: Se y é uma função de outras variáveis f(, x ), então: No caso da soma, por exemplo, y = + x, então: y = y ± σ y (4) y = f(, x ) (5) y = + x (6) Já o cálculo de σ y é mais complicado. O processo rigoroso para o cálculo das incertezas envolve uma equação com derivadas parciais, também conhecida como lei de propagação de incertezas o qual é apresentada a seguir. Lei de Propagação de Incertezas Suponha que um certo experimento necessite de vários instrumentos para ser realizado. E que cada um destes instrumentos têm uma variabilidade diferente em suas medições. Os resultados de cada instrumento são dados como:, x, x 3,.... O resultado final desejado é y, de modo que y é dependente de, x, x 3,.... Então, pode-se escrever que y é uma função dessas variáveis: y = f(, x, x 3 ) (7)

5 Uma vez que cada medida tem uma incerteza sobre sua média, pode-se escrever que a incerteza de dy i da i-ésima medição de x depende da incerteza das i-ésimas medições de, x, x 3,... : dy i = f(di, dx i, dx 3i ) (8) O desvio total de y é então obtido da derivada parcial de y com respeito a cada uma das variáveis: dy = y d, y x dx, y x 3 dx 3 (9) A relação entre os desvios padrão de y e, x, x 3,... é dada em duas etapas: i) pela quadratura da equação 9, e ii), tomando a soma total de i = 1 para i = n, onde n é o número total de medições. Logo: dy i = y di + y x dx i + (10) Dividindo ambos os lados por n-1: dy i = y dx 1i + y dx i + x (11) Da equação 3 tem-se que: σ y = dy i reescrita como: = y i y, logo a equação onde pode ser σ y = y σ x x1 + y σ 1 x x + (1) Assim, tendo a equação que expressa y em função de suas componentes, x,..., deve-se, primeiramente, obter as expressões das derivadas parciais da função y em relação a cada uma das componentes. Obtidas essas expressões, substituem-se os valores apropriados e calcula-se o valor de cada derivada parcial em questão. A seguir, deve-se multiplicar cada valor obtido pela incerteza da respectiva componente. Por fim, procede-se a soma de todas as parcelas, sendo cada parcela relativa a uma determinada componente da função. Exemplo: Calcule o volume de um cilindro de comprimento L = (4,0±0,1)mm e diâmetro D = (,0±0,)mm. Resolução: O volume do cilindro é dado por: V = πd L = π (,0) 4,0 4 4 = 1,566 mm 3 = 1,6 mm 3

6 Agora iremos utilizar as incertezas das medidas de comprimento e diâmetro do cilindro, para calcular a incerteza propagada para V: V = f D, L σ V = V σ D D + V σ L L σ π DL V = σ π D D + σ 4 L σ V = π,0 4,0 0, + 6, ,0314 = 6,3478 mm 6 σ V = 6,3478 σ V =.5 mm 3 π (,0) 4 0,1 = O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira: V = (1.6±.5) mm Propagação de Incertezas nas Operações Básicas Abaixo estão listadas as equações da incerteza propagada para as operações mais utilizadas. 1. Adição ou Subtração: y = + x ou y = - x σ y = σ x1 + σ x. Multiplicação ou Divisão: y =.x ou y = /x σ y y = σ x1 + σ x x 3. Potenciação: y = a σ y y = a σ x1 No caso da função do tipo y = a. x b, tem-se: σ y y = a σ x1 + b σ x x

7 4. Logaritmo: y = log( ) σ y = 0,434. σ x1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples, obtendo-se os seguintes resultados: L = (59,90 ± 0,05) cm e T = (1,555 ± 0,001) s. Utilizando a equação do pêndulo simples T = π L g, calcule o valor da aceleração da gravidade (g). ) Em uma mola de constante elástica k = (,56 ± 0,003).10 4 dyn/cm colocou-se a oscilar uma massa m = (49,86 ± 0,01)g. Calcule o período do oscilador para os valores dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica através da equação T = π m k.

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